高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

1、利用直角坐标计算三重积分：

（1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy

2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。

2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分

3、利用球面坐标计算三重积分

定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算

设积分区域Ω关于xoy 平面对称，

(1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。

(2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.

使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性；

２）被积函数关于变量的奇偶性。

(cos ,sin ,)f z d d dz

ρθρθρρθΩ

⎰⎰⎰(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰(sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ

=⎰⎰⎰2sin r drd d φφθ

例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 +

z 2 =2所围成的空间闭区域.

解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称

故其积分为零。

2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x x 2)(2

)(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz

z y x x 2)(222+++ ,022⎰⎰⎰Ω=∴ydv x ⎰⎰⎰Ω

++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22⎰⎰⎰Ω=zdxdydz x ⎰⎰⎰Ωθρρ⋅⋅θρ=dz d d z 22cos 2⎰⎰⎰⋅θρρθ=zdz d d 23cos 2 ⎰⎰πρρ-ρ-θρθ=20104223)2(cos d d 245π

=222ρ-ρπ20