高等数学三重积分计算方法总结
高等数学§9.3.1-2三重积分的计算
例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
高等数学中的三重积分与曲面积分
高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。
一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。
它可以看作是二重积分的推广。
三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。
一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。
具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
这种方法称为立体分割法。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。
具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。
柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。
它可以看作是线积分的推广。
曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。
一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。
三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法三重积分是微积分中的一种重要工具，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等问题。
在实际应用中，我们经常需要计算三维物体的体积、密度、质心位置等信息，而三重积分提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的各种计算方法，包括直角坐标系下的直接计算方法、柱坐标系和球坐标系下的变量变换方法等。
一、直角坐标系下的直接计算方法直角坐标系是我们最常见的坐标系，三重积分在直角坐标系下的计算方法较为直观。
我们以计算三维实体体积为例来介绍直角坐标系下的直接计算方法。
假设我们要计算一个由函数z=f(x, y)所定义的三维曲面与xy平面围成的体积V。
为了计算这个体积，我们将其划分成n个小立方体，每个小立方体的体积可以近似看作dV=Δx×Δy×Δz。
那么整个体积V可以通过对每个小立方体的体积进行求和得到，即V = ∫∫∫dV = ∫∫∫f(x,y)dxdydz,其中∫∫∫表示对整个三维空间的积分。
我们可以先对z方向进行积分，然后对y方向进行积分，最后对x方向进行积分。
这个积分过程可以通过数值积分的方法进行近似计算。
二、柱坐标系下的变量变换方法直角坐标系下的直接计算方法在计算一些特殊形状的物体时可能不太方便，这时可以采用柱坐标系下的变量变换方法。
柱坐标系与直角坐标系的关系可以表示为x=r*cosθ，y=r*sinθ，z=z，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面的极角。
在柱坐标系下，三重积分的计算公式为V = ∫∫∫f(r*cosθ,r*sinθ,z)r dz dr dθ,其中r的取值范围为[0,∞)，θ的取值范围为[0,2π]。
在进行柱坐标系下的三重积分计算时，我们需要进行相关的变量替换和坐标范围的调整。
具体方法如下：1.将直角坐标系中的函数f(x,y,z)进行变量替换，将x、y、z用r、θ、z表示，并计算出新的函数F(r,θ,z)。
2.确定新的坐标范围，即r的取值范围、θ的取值范围和z的取值范围。
高等数学图形演示系统(7)三重积分
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
4. 计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =12 Ω和 x+y+z =z 6所围成的区域
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
D
.
.
D
0
2 4x
0
6
y
.
2
D
4
2y
6
4
6 x y
x
I
0
dy
3 y 2
dx
0
f ( x, y, z)dz
6
3
5. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω: 抛物柱面Ωy x 与平面y 0, z 0, x z π 所围成的区域。 2
不画立体图做三重积分 是曲顶柱体
1 y2
dxdydz 1
Ω: 锥面 x2 y2 z2 , z 1 所围
16 球面坐标
17 球面坐标的坐标面
18 球面坐标下的体积元素
19 Ω:球面 x2 y 2 z 2 R2及平面x 0,y 0,z 0在第一卦限所
围成的区域。
20 Ω : x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2
2 6 Ω:双曲抛物面 z xy 和平面 x y 1, z 0 所围成的区域.
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
高等数学三重积分
2
2
2
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式
c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三
次积分，其中积分区域 为由曲面 z x 2 y 及 z 2 x 所围成的闭区域.
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
x y 1,
2 2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , x2 2 y2 z 2 x2
1
1 z
1 y z
1
dx
o
0 zdz0 (1 y z )dy
1
1 z
y
1
x
1
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
高等数学-第九章 三重积分及应用-精品文档
f(, xyz ,) d z
关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域.
方法一: 根据图形: ①利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出 z 和穿入点就对应上、下曲面，注：中 间所夹立体的边界应为柱面。
②投影点的全体即为投影区域。 方法二:根据方程: ①已给边界曲面方程中含z的若只有 两个，则其必分别为上、下曲面,其它 不含z的方程必对应柱面。
2
法二:
2 2 0 z x y 找上下半曲面：
找投影区域： z 0 z0 2 2 2 y x z x y
D
xy
z 0 y 1
:
2 x y 1 1 x 1
x2 y 2
原式 dxdy
Dxy
0
z dz
z z ( x ,y ) 2
z z ( x ,y ) 1
x D
y
dxd y
②投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投 影曲线所围。 即：可选定一个含z的方程然后再和其它所有方程 （包含柱面方程和另一个含z的方程）相交。
例. 计算积分
2 2
zdxd ydz 其中由曲面
1 ,z 0 所围 . z x y,y x及平面 y
a D Z
b
z Dz a
x
y
适用范围： 积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间; 在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
例(截面法): 计算积分
2 2 2 2
z d x d y d z, 其中是两个球
2
2 2 2
x y z R及 x y z 2 R z
三重积分计算(高等数学)
1 r 2
zdz
zdz
Dxy
1
x
I = 0 dθ 0 rdr 0
. .
0
4
1
y
河南理工大学万方科技学院
例2、 计算 I
2 2 2
zdxdydz，其中 是球面
x y z 4与抛物面 x y 3 z
所围的立体.
x cos y sin 解 由 zz ,
4 2
13 zdz . 4
一般地，先对z，后对p，最后对 积分
河南理工大学万方科技学院
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数，
A
x
r
M ( x, y, z )
z
o
P ， 来确定，其中 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角， 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
且 关于zox 面对称,
( xy yz )dv 0 ,
河南理工大学万方科技学院
同理
zx 是关于 x 的奇函数,
且 关于 yoz 面对称,
由区域对称性知
2
xzdv 0,
2
x dv y dv ,
2
则I
( x y z ) dxdydz
x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
1 2
y
x =0
y=0
0
Dxy z =0
1 2
1 x 2 y
重积分的积分方法和积分公式
重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。
重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。
1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。
不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。
2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。
高等数学随堂讲解三重积分在柱坐标与球坐标系下计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标 设 M (x, y, z) R3,
➢直角坐标与柱坐标的关系
x cos
点M的柱坐标
z
y sin
zz
z M (x, y, z)
规定
在柱坐标系下
常数 常数
圆柱面 半平面
o
y
x (x, y,0)
z 常数
平面
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
➢球坐标系下三重积分计算公式
f (x, y, z)dv f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drdd
二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
二、三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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高等数学三重积分计算方法总结
1、利用直角坐标计算三重积分：
（1）投影法（先一后二）：
1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy
2）内层(定积分)：
从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。
（2）截面法（先二后一）：
1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。
2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。
2、利用柱坐标计算三重积分
3、利用球面坐标计算三重积分
定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r
4、利用对称性化简三重积分计算
设积分区域Ω关于xoy 平面对称，
(1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。
(2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.
使用对称性时应注意：
1）积分区域关于坐标面的对称性；
２）被积函数关于变量的奇偶性。
(cos ,sin ,)f z d d dz
ρθρθρρθΩ
⎰⎰⎰(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰(,,)f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰(sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ
=⎰⎰⎰2sin r drd d φφθ
例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 +
z 2 =2所围成的空间闭区域.
解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称
故其积分为零。
2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称
⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x x 2)(2
)(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz
z y x x 2)(222+++ ,022⎰⎰⎰Ω=∴ydv x ⎰⎰⎰Ω
++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22⎰⎰⎰Ω=zdxdydz x ⎰⎰⎰Ωθρρ⋅⋅θρ=dz d d z 22cos 2⎰⎰⎰⋅θρρθ=zdz d d 23cos 2 ⎰⎰πρρ-ρ-θρθ=20104223)2(cos d d 245π
=222ρ-ρπ20。