轴对称图形讲义及例题讲解

第二章 轴对称图形

2.1 轴对称与轴对称图形

1、轴对称概念

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点。

2、轴对称图形

把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

例1、（2013•凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（ ）

A.︒30

B.︒45

C.︒60

D.︒75 变式训练：（2013•池州一模）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）

A.1号袋

B.2号袋

C.3号袋

D.4号袋

例2、（2014•兰州）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

变式训练：（2014•北海）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3、轴对称和轴对称图形的区别与联系

区别：（1）轴对称是指两个图形的位置关系；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；

（2）轴对称是针对两个图形而言；轴对称图形是针对一个图形而言。

联系：（1）它们在定义中，都是沿某直线折叠，图形重合；

（2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分当成两个图形，那么这两个图形就成轴对称。例3、（2014•荆州四月调考）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有___3____个

变式训练：（2011•自贡）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有___4___个

例4、如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=___60____°

变式训练：（2002•荆门）如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行

于β入射到口上，经两次反射后的出射光线O ′B 平行于α，则角θ等于____60___度。

2.2 轴对称的性质

1、线段的垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

【特别提醒】

2、轴对称的性质

①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

③两个图形关于某条直线成轴对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、轴对称图形的性质

①轴对称图形的对应点所连的线段被对称轴垂直平分

②轴对称图形的对应线段相等，对应角相等

例1、（2008•贵阳）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积

为_____cm

2

变式训练：台球和球桌边框碰撞后的路线保持入射角等于反射角．若台球桌面的长方形ABCD 的边AB=32

5，BC=2．从BC 中点P 0，延着与CB 成60°角方向击球，经BA 、AD 、DC 反弹后，击中BC 边P 4处，则CP 4=_______

例2、（2014•玉林二模）如图，OA=OB，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

变式训练：（2014•开封一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）

4、镜面对称

平面镜成像时，物体与其在平面镜中所成的像关于平面镜成轴对称，镜面是对称轴 例3、（2006•梅州）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ B ）

变式训练：（2008•湘西州）某人在平面镜里看到的时间是12：01，此时实际时间是（ B ）

例4、（2014•天水）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，则△ABE 和BC ′F 的周长之和为（ C ）

A.2

B.4

C.6

D.8 变式训练：（2014•丰润区二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（ A ）

A.︒40

B.︒35

C.︒30

D.︒25

2.4 线段、角的轴对称性

1、线段的轴对称性

①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴

②线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等

③到线段两端距离相等的点在垂直平分线上

2、角的对称性：

①角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴

②角平分线上的点到角的两边距离相等

③到角的两边距离相等的点在角平分线上 例1、（2013•滨城区二模）如图，△ABC 中，∠B=40°，AC 的垂直平分线交AC 于D ，交BC 于E ，且∠EAB ：∠CAE=3：1，则∠C 等于（ A ）

A.︒28

B.︒25

C.︒5.22

D.︒20 变式训练：（2014•湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=2

1AB 中，一定正确的是（ B ）

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

例2、（2009•临沂）如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ D ）

A.PA=PB

B.PO 平分APB ∠

C.OA=OB

D.AB 垂直平分OP

变式训练：（2007•荔湾区一模）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=3：2，则△ABD 与△ACD 的面积之比为（ A ）