2019届高三模拟考试数学试卷(有答案)

2019届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |0

2. 已知复数z ＝(2－i)2(i 是虚数单位)，则z 的模为 Ｗ.

3. 已知一组样本数据5，4，x ，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为 Ｗ.

4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 Ｗ. I ←1

While I <8 I ←I ＋2 S ←2I ＋3 End While Print S

(第4题)

5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a ，再从剩余的两个数中任取一个数记为b ，则“a

b

是

整数”的概率为 Ｗ.

6. 若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与双曲线x 2

－y 2

3

＝1的右焦点重合，则实数p 的值为

Ｗ.

7. 在等差数列{a n }中，若a 5＝1

2

，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为 Ｗ.

8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 Ｗ.

9. 已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为 Ｗ.

10. 已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1

a

，则b 的最大值为 Ｗ.

11. 将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π

6

个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )

的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 Ｗ.

12. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32

PB

→

＋2P A →，则CP →·AB →

的值为 Ｗ.

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，

3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为 Ｗ.

14. 已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为 Ｗ.

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，sin A ＝2

3，A ∈(π2

，π).

(1) 求sin 2A 的值；

(2) 若sin B ＝1

3

，求cos C 的值.

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是B 1C 1，AB ，AA 1的中点. (1) 求证：EF ∥平面A 1BD ；

(2) 若A 1B 1＝A 1C 1，求证：平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C .

如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC

所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC ＝π

6

，AB ＝2 km.

(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2，求道路BC 的长度；

(2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2，新建道路BC 成本为10万元/km.设∠ABC ＝θ(0<θ≤2π

3

)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，且右焦点到

右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M (m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q .

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

19. (本小题满分16分)

已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R ).

(1) 若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程； (2) 若对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值； (3) 若函数f (x )存在两个极值点，求实数a 的取值范围.

已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，且a n ＋1＋a n

≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －

1a n .

(1) 若q ＝1，求T 2 019的值；

(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；

②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，请说明理由.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0123，B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2018，求A －1B .

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，设过点A (3，0)的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率.

C. (选修45：不等式选讲) 已知函数f (x )＝|x －1|.

(1) 解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；

(2) 若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f (b

a

).