课题平面几何图形面积的求解与应用
数学公式知识：几何图形的面积与体积的计算及其应用举例
数学公式知识：几何图形的面积与体积的计算及其应用举例几何图形是我们生活中经常遇到的一种图形，它们有着各种各样的形状，如长方形、圆形、三角形等等。
其中，面积和体积是几何图形中最基本的概念。
在我们的学习中，我们需要通过这些概念来进行计算和学习，理解其应用，以帮助我们更好地理解世界和发现问题的解决方案。
一、几何图形的面积计算面积是一个物体表面所占用的空间大小。
不同的几何图形有不同的计算方法，下面我们就来看看这些常见的几何图形的计算方法。
1.矩形矩形是一种有四个内角都是直角的平面几何图形。
如果它的长度和宽度分别是L和W，则它的面积是LxW。
例如，一个长为3米，宽为4米的矩形的面积是3x4=12平方米。
2.三角形三角形是由三条边所围成的图形。
如果它的底边是b，高度是h，那么它的面积就是bh/2。
例如，一个底边长为6米，高度为4米的三角形的面积是6x4/2=12平方米。
3.圆形圆是一个几何图形，它是由位于平面上某个固定点的一组点所构成的。
它的面积是πr²，其中r是圆的半径。
例如，一个半径为3米的圆形的面积是3.14x3x3=28.26平方米。
4.梯形梯形是由两条平行的底和两条不平行的腰所形成的四边形。
如果它的上底是a，下底是b，高度是h，则它的面积是(a+b)h/2。
例如，一个上底为6米，下底为8米，高为4米的梯形的面积是(6+8)X4/2=28平方米。
二、几何图形的体积计算体积是指三维空间中物体所占用的空间大小。
计算不同几何图形体积的公式也各不相同，下面我们就来学习一下最常见的几种几何图形的计算方法。
1.立方体立方体是一个三维图形，其长、宽、高是相等的。
如果立方体的长宽高分别为a，则它的体积是a³。
例如，一个边长为3米的立方体的体积是3×3×3=27立方米。
2.圆柱圆柱是由一个圆和一个矩形所组成的几何图形。
如果它的底面积是S，高度是h，那么它的体积就是πS×h。
面积的计算与应用
面积的计算与应用面积作为一个基本的几何概念，在日常生活中具有广泛的应用。
无论是建筑设计、土地测量、科学研究还是日常购物，都需要准确计算和应用面积。
本文将从面积的计算方法和实际应用出发，探讨面积的重要性以及如何正确地计算和应用面积。
一、面积的计算方法在几何学中，面积是一个封闭图形所覆盖的平面区域的大小。
面积的计算方法主要取决于所涉及的图形类型。
以下是常见几何图形的面积计算方法：1. 矩形和正方形：矩形和正方形的面积计算非常简单，只需将宽度与长度相乘即可。
例如，一个宽度为5米，长度为10米的矩形的面积为50平方米。
2. 三角形：三角形的面积计算需要知道底边长度和高度。
公式为：面积 = 0.5 ×底边长度 ×高度。
假设一个底边长度为8米，高度为6米的三角形，其面积为24平方米。
3. 圆形：圆形的面积计算需要知道半径的长度。
公式为：面积= π ×半径的平方。
例如，一个半径为5米的圆形的面积为25π平方米。
4. 梯形：梯形的面积计算需要知道上底、下底和高度的长度。
公式为：面积 = 0.5 × (上底 + 下底) ×高度。
假设一个上底为5米、下底为10米，高度为8米的梯形，其面积为60平方米。
以上只是一些常见几何图形的面积计算方法，其他复杂图形的面积计算可能需要使用更专业的方法和公式。
二、面积的实际应用1. 建筑设计和室内装修：在建筑设计和室内装修中，准确计算建筑物和房间的面积至关重要。
建筑师和设计师需要根据房间面积确定空间布局，选择适合的家具和装饰品，以及估算建筑材料的数量和成本。
2. 土地测量和规划：在土地测量和规划中，面积的计算可以用于确定土地的使用权和价值评估。
土地测量师使用专业设备测量地块的面积，这对于土地分割、风险评估和土地规划具有重要意义。
3. 科学研究：在科学研究中，面积的计算常常用于确定物体或区域的特征。
例如，地理学家使用面积计算来研究陆地和海洋的分布；生物学家使用面积计算来估算生态系统的面积以及物种的栖息地范围。
几何图形面积的应用
几何图形面积的应用几何学是数学的一个重要分支，旨在研究图形的形状、大小以及相互关系。
而图形的面积对于实际生活和工作中的许多问题都有着重要的应用。
本文将从几个实际问题出发，探讨几何图形面积的应用。
一、房屋面积的计算在房地产领域，面积是衡量一个房屋价值的重要指标之一。
购房者常常会关心房屋的实际面积，以便正确评估其价格和使用效率。
而测量房屋面积的方法就是利用几何学中的面积计算公式。
例如，一个矩形房间的面积可以通过测量其长度和宽度并使用矩形面积公式进行计算：面积等于长度乘以宽度。
而对于一个不规则形状的房间，可以将其划分为若干个规则形状（如矩形、三角形等），分别计算其面积，再相加得到整个房间的总面积。
二、土地面积的测算在农业和城市规划等领域，测算土地面积是十分重要的工作。
农民需要知道自己的农田面积以合理安排种植数量和施肥量，而城市规划师需要准确测算土地面积以规划新建筑物、道路等。
测算不规则土地面积的方法可以采用分割法。
将土地划分为若干个规则形状的区域，计算每个区域的面积，最后相加即可得到整个土地的总面积。
这样的测算方法在实际应用中非常实用，能够准确地得出土地的面积。
三、建筑材料的计算在建筑工程中，几何图形面积的应用也是非常广泛的。
例如，要计算一片屋顶需要多少瓦片，就需要知道屋顶的面积。
同样，如果想要铺设地板所需的瓷砖数量，就需要计算地面的面积。
对于屋顶面积的计算，可以将整个屋顶分割为一个个规则形状的小区域，计算每个小区域的面积，再相加得到整个屋顶的面积。
同样地，对于地面砖的计算也可以采用这种方法。
四、农田灌溉面积的规划在农业生产中，农田的灌溉面积规划是提高农作物产量的重要环节。
农民需要准确测算每块土地的面积，以确保正确配置灌溉资源。
几何学中的面积计算方法可以应用于农田的灌溉面积规划中。
首先，将农田分割为规则形状的区域，计算每个区域的面积。
然后，结合农作物的需水量和水资源供给能力，合理安排农田的灌溉面积，以实现高效节水的目标。
如何应用数学解决几何体的表面积问题
如何应用数学解决几何体的表面积问题在数学中，计算几何体的表面积是一个重要的问题。
通过几何体的表面积，我们可以计算出物体所占据的空间以及它与外界的接触面积大小。
本文将介绍如何使用数学知识解决几何体表面积的问题，并提供一些实际应用的例子。
一、计算立方体的表面积立方体是最简单的几何体之一，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 6a^2，其中S表示表面积，a表示立方体的边长。
例如，如果我们有一个边长为5cm的立方体，那么它的表面积就是6 × 5^2 = 150 平方厘米。
通过这个方法，我们可以计算出任意边长的立方体的表面积。
二、计算长方体的表面积长方体也是常见的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 2(ab + ac + bc)，其中S表示表面积，a、b、c分别表示长方体的三个相邻面的边长。
例如，如果我们有一个长方体，其三个相邻面的边长分别为3cm、4cm、5cm，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 2(3 × 4 + 3 ×5 + 4 × 5) = 94 平方厘米。
三、计算球体的表面积球体是一种圆形的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 4πr^2，其中S表示表面积，r表示球体的半径。
例如，如果我们有一个半径为10cm的球体，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 4 × 3.14 × 10^2 = 1256 平方厘米。
四、计算圆柱体的表面积圆柱体是由两个圆和一个矩形所围成的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 2πrh + 2πr^2，其中S表示表面积，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
例如，如果我们有一个底面半径为6cm，高为8cm的圆柱体，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 2 × 3.14 × 6 × 8 + 2 × 3.14 ×6^2 = 376.8 平方厘米。
五年级数学之平面图形应用题
详解之平面图形应用题【知识讲解】一、面积公式：平行四边形面积=底×高三角形面积=底×高÷2梯形面积=（上底+下底）×高÷2二、组合图形面积求法：1.割补法割：把组合图形分割成已学过图形，再求面积和。
例：阴影面积=12×2×6+12×4×6补：把不规则的组合图形补成已学过图形，再求面积差。
例：阴影面积＝长方形面积－三角形Ⅰ面积－三角形Ⅱ面积－三角形Ⅲ面积2.平移法阴影面积=大长方形面积-小长方形面积【例题讲解】【例题1】计算下面图形的面积。
【解析】分别根据三角形的面积公式和梯形的面积公式计算出面积，然后相加即可解答。
【答案】解：60×（78﹣48）÷2+（60+100）×48÷2=60×30÷2+160×48÷2=900+3840=4740（平方米）答：图形的面积是4740平方米。
【小结】本题主要考查了三角形和梯形面积公式的应用，三角形的面积=长×宽÷2，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2【例题2】在一长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如图所示，草坪的面积是________平方米。
【解析】如图，小路的宽为1米，如果把小路两边的草坪利用平移的性质将他们平移到一起，正好组成一个长为10﹣1=9，米宽为8﹣1=7米的长方形，由此计算得出这个长方形的面积就是草坪的面积。
【答案据题干分析：（10﹣1）×（8﹣1）=63（平方米），答：草坪的面积是63平方米。
【小结】根据平移的性质，将草坪平移到一个长方形中，利用长方形的面积公式计算即可解决问题。
【巩固练习】一、平行四边形1.把一个平行四边形割补成一个长方形后，面积不变，周长（）A．扩大了 B．缩小了 C．不变2.如图，把平行四边形沿高剪开，在把三角形向右平移（）cm，可以得到一个与原图形面积相等的长方形。
如何用面积法解决平面形问题
如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。
本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。
面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。
首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。
其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。
二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。
解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。
解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。
解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。
解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。
解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。
解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。
初中数学教案：平面几何的面积计算
初中数学教案：平面几何的面积计算一、引言在初中数学学科中，平面几何是一个重要而基础的概念。
而面积计算则是在平面几何中的一个重要内容，它不仅能够帮助学生理解图形的大小，还能够培养学生的逻辑思维和数学运算能力。
本教案将介绍平面几何中面积计算的基本方法和应用场景。
二、基本概念1. 面积的基本概念面积是指二维平面上一个图形所占据的空间大小。
我们通常用单位面积来表示，如平方厘米、平方米等。
2. 常见图形的面积计算公式在平面几何中，常见的图形包括正方形、长方形、三角形等。
它们的面积可以通过以下公式进行计算：- 正方形：面积 = 边长的平方- 长方形：面积 = 长 ×宽- 三角形：面积 = 底边长 ×高 ÷ 2三、计算方法1. 分割法当图形较为复杂时，我们可以通过将其分割为若干个简单图形，再计算每个简单图形的面积，最后将它们加起来得到整个图形的面积。
这就是分割法。
2. 化简法对于一些简单图形，我们可以将其化简为更简单的形式，然后计算面积。
例如，将一个梯形化简为两个三角形和一个矩形，分别计算它们的面积后再相加。
3. 特殊情况有时候，图形的特殊情况需要特殊的计算方法。
例如，当图形是由一些已知图形组成时，我们可以利用已知图形的面积计算结果，根据组合规则计算整个图形的面积。
四、应用场景1. 日常生活中的应用面积计算在我们的日常生活中有着广泛的应用。
例如，我们可以用面积计算来确定地板的面积，从而计算所需的地板材料的数量；我们也可以用面积计算来确定房间的面积，从而帮助我们合理布置家具。
2. 建筑工程中的应用在建筑工程中，面积计算是必不可少的一项工作。
通过计算建筑物的面积，可以确定所需材料的数量，从而合理安排建筑物的施工计划。
同时，面积计算也可以用于设计房间的功能分区，确保使用空间的合理利用。
3. 农业生产中的应用在农业生产中，面积计算被广泛应用于土地规划和农作物的种植面积计算中。
通过计算土地的面积，农民可以合理规划农作物的种植面积，从而提高农产品的产量和质量。
数学六年级上册教案二：使用平面几何图形计算圆面积
数学六年级上册教案二：使用平面几何图形计算圆面积本教案的主要内容是介绍如何使用平面几何图形计算圆面积。
在这个过程中，我们会逐步介绍圆的定义、性质以及计算方法。
希望同学们通过这个教案的学习，可以掌握如何计算圆的面积，以及如何运用这些知识去解决实际问题。
一、圆的定义和性质1、定义圆是由平面上所有到定点距离相等的点构成的图形。
（这个定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径，两倍半径叫做直径）2、性质（1）圆心到圆上任何一点的距离都相等；（2）圆上任何一条线段都等于圆周长的一半，这条线段叫做圆的弧；（3）圆的周长等于直径的长度乘以π（π≈3.14）C=π×d，其中C表示圆的周长，d表示圆的直径；（4）圆的面积等于半径的平方乘以π，S=π×r^2，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径。
二、如何计算圆面积计算圆的面积，可以使用以下公式：S=π×r^2其中，S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.14。
例如，一个半径为5cm的圆的面积，可以计算如下：S=π×r^2=3.14×5×5≈78.5（cm^2）这个圆的面积为78.5（cm^2）三、使用平面几何图形计算圆面积在计算圆的面积时，我们可以使用平面几何图形来帮助我们进行计算。
具体的方法如下：1、将圆心O和半径r画出来；2、将圆心O和半径r画出直角三角形OAB，其中OA=r，AB=r；3、计算直角三角形OAB的面积S_1=（AB×OA）÷ 2=r^2÷ 2；4、计算扇形AOB的面积S_2=（AOB的弧长×r）÷ 2，其中AOB 的弧长可以通过圆的周长公式计算得到；5、圆的面积是由扇形AOB和三角形OAB组成的，圆的面积为S=S_1+S_2=r^2÷ 2+（AOB的弧长×r）÷ 2。
例如，一个半径为5cm的圆的面积，可以计算如下：（1）画出圆心O和半径r（2）画出直角三角形OAB（3）计算直角三角形OAB的面积S_1=r^2÷2=5×5÷2=12.5（cm^2）（4）计算扇形AOB的面积扇形AOB的弧长为：AOB的弧长=C÷2=π×r÷2=3.14×5÷2≈7.85（cm）扇形AOB的面积为：S_2=（AOB的弧长×r）÷ 2=（7.85×5）÷ 2≈19.63（cm^2）（5）计算圆的面积圆的面积为：S=S_1+S_2=12.5+19.63=32.13（cm^2）这个半径为5cm的圆的面积为32.13（cm^2）。
课题平面几何图形面积的求解和应用
课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）教学目的：知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心. 教学重点与难点：重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值围. 教学用具：直尺、多媒体 教学容： 一、引入在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数容丰富、二、例题例1、 如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 个圆，若点A 的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.分析：由反比例函数的对称性可求点 B 的坐标,个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.解：∵⊙ A 与y 轴相切，且坐标为（1，2），∴ ⊙A 的半径等于1.又∵反比例函数函数关于原点中心对称,∴点B 坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积.∴21S ππ=⨯=阴影.设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.例2、已知：如图，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P （(,)x y 在直线6y x =-上运动，且0,0x y ><.求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．分析：本题要求四边形AOBP 的面积S ，可以用△O AP 的面积与△O BP 的面积之和来表示，还可以过P 点作x 轴或y 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量x 的取值围时应注意结合函数图象思考． 解：解法一：连接OP ．∵ 直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴ A (4，0)，B (0，-2)． 设P (,)x y ，0,0x y ><，1122OBP OAPS SSOB x OA y =+=⋅+⋅1124(6)1222x x x =⨯-⨯-=-+． ∵ 0,0x y ><， 即 60x -<，∴6x <．∴ 自变量x 的取值围是06x <<．解法二：设6y x =-交x 轴于M (6，0)，交y 轴于N (0，6)，则MONBNPAMPS SSS=--．y=21-x解法三：作PG ⊥ x 轴于G ，则PGA PBOG S S S =+梯形．解法四：作PQ ⊥ y 轴于Q ，则PBQ PQOA S S S=-梯形．设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．例3、 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 分析：直线y kx b =+与x 轴的交点坐标是(,0)bk-，与y 轴的交点坐标是(0，b )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C 是OA 的中点．（如图），因此可知BC 将△AOB 分成的两部分面积相等，设直线BC 的解析式为2y kx =+，代入点C 的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．解：(1) 直线2y x =-+与x 轴交点A(2，0)，与y 轴交点B(0，2)， ∵直线BC 经过B(0，2)， C(1，0), ∴ 2,0.b k b =⎧⎨+=⎩ ∴2,2.b k =⎧⎨=-⎩经过B 、C 两点的直线解析式为22y x =-+． ∴ 所以2,2k b =-=．(2)设y kx b =+与y 轴交于M(0，h )，△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，∴16OMCAOB S S =．∴21×1×h =61×21×2×2，可得 h =32． ∴ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0．经过点M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,a ．∴ OMCCANSS=．∵ N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,a 在直线2y x =-+上，∴ a =34，所以N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,34． ∴ y kx b =+经过M ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0、C (1，0)或N ⎪⎭⎫⎝⎛32,34、C (1，0)． 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;32,3211b k 或⎩⎨⎧-==.2,222b k 点拨：C (1，0)恰为OA 边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识．例4、已知ABC △中，3,90AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处．（1）如图1-1，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重图1-1图1-2叠部分的面积（直接写出结果）（2）如图1-2，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE x =，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （3）若2BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ，设(1)CF x x =>，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．分析: 解此题关键是用含有x 的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”应分两种情况分类讨论：①12,x <≤②23x <≤．解: (1) 94AEDF S =四边形． (2) 如图1-3,过点D 作DM ⊥AB 于M ．∵3,90AB AC BAC==∠=︒， ∴ BC==∵ BD CD =， ∴ 12BD BC ==． ∴ 11133sin 45(3)(3)(03)22224y BE DM BE BD x x x =⋅=⋅⋅︒=-⋅=-≤≤．图1-4图1-5(3) (i)如图1-4,连结AD,过D 点分别作AB 、AC的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵3,90AB AC BAC ==∠=︒， ∴BC ==．∵ 2BD CD =，∴BD CD ==．∴sin 12DN DC C =⋅==，sin 22DM BD B =⋅==． 易证 12∠=∠．∵ ∠DME=∠DNF=90°， ∴ △DME ∽△DNF ． ∴ME DMFN DN=． ∵ (1)CF x x => ， ∴ 22(1)ME FN x ==-． ∴ 1131(21)2(3)1(12)2222ADE ADFy SSx x x x =+=-⋅+-⋅=+<≤． (ii) 如图1-5, 过D 点作AC 的垂线，垂足为N ． 91911(23)2222ABC CDFy SSx x x =-=-⋅=-<≤．∴ 31(12),2291(23).22x x y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩三、练习1． 函数(0)y kx k =-≠与xy 2-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△BOC 的面积为多少？2．求直线24y x =+和直线26y x =--与y 轴围成的三角形的面积.3．直线28y x =+交x 轴，y 轴于A 、B ，直线l 过原点交AB 于点C ，分△AOB 的面积为1∶3两部分，求直线l 的解析式.4.如图，点B 在直线1y x =-+上，且点B 在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO 的面积为2，求点B 的坐标. 5.直线1y x =+ 与x 轴，y 轴分别交点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限作等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,点P 1(,)2a 在第二象限，△ABP 面积与△ABC 面积相等，求a 的值.简要答案： 1.1 2.2523．6y x =-或23y x =- 4.（3,2-）5.2a =-四、总结本节课要求学生掌握两种基本技能：（1）会应用函数思想表示和求解几何图形的面积；（2）已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解，体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想.建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作。
面积的测量与计算
面积的测量与计算面积是指平面图形所占据的空间大小，是一个重要的数学概念。
在日常生活和各个领域中，我们经常需要测量和计算面积。
本文将介绍常见平面图形的测量和计算方法，并提供一些实际应用的例子。
一、正方形的面积测量与计算正方形是一种边长相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。
例如，假设一块正方形地板的边长为5米，我们可以通过将地板划分为1米乘1米的小方块，然后将这些小方块的数量相加，来测量地板的面积。
在这种情况下，地板的面积为5米 × 5米 = 25平方米。
二、长方形的面积测量与计算长方形是一种两对边分别相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
例如，假设一块长方形花坛的长度为6米，宽度为3米，我们可以直接将长度和宽度相乘，来计算花坛的面积。
在这种情况下，花坛的面积为6米 × 3米 = 18平方米。
三、三角形的面积测量与计算三角形是一种有三个边和三个角的多边形，它的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。
例如，假设一个三角形的底边长度为8米，高为4米，我们可以将底边长度和高相乘，再除以2，来计算三角形的面积。
在这种情况下，三角形的面积为（8米 × 4米）÷ 2 = 16平方米。
四、圆的面积测量与计算圆是由一条闭合曲线围成的平面图形，它的面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径（其中π的近似值为3.14）。
例如，假设一个圆的半径为5米，我们可以将半径的平方乘以π，来计算圆的面积。
在这种情况下，圆的面积为3.14 × 5米 × 5米 = 78.5平方米（近似值）。
五、实际应用例子面积的测量和计算在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些实际应用例子：1. 建筑业：在房屋建设中，建筑师需要测量房间的面积，以确定合适的家具和装饰品。
2. 农业：农民需要测量农田的面积，以确定种植作物的数量和施肥的比例。
教案几何图形的面积计算——教案、学案、说课稿资料文档
教案：几何图形的面积计算教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握三角形、平行四边形、梯形、圆等几何图形的面积计算方法。
2. 过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度价值观：培养对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
教学重点：1. 三角形、平行四边形、梯形、圆的面积计算公式。
2. 能够运用面积计算公式解决实际问题。
教学难点：1. 理解并掌握三角形、平行四边形、梯形、圆的面积计算方法。
2. 能够灵活运用面积计算公式解决实际问题。
第一章：三角形面积计算教学内容：1. 学习三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。
2. 探究三角形面积公式的推导过程。
教学活动：1. 引导学生观察三角形，发现三角形可以看作是由两个相同的三角形拼成的平行四边形。
2. 让学生通过实际操作，剪出一个三角形，并将其拼成一个平行四边形。
3. 引导学生发现三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
第二章：平行四边形面积计算教学内容：1. 学习平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高。
2. 探究平行四边形面积公式的推导过程。
教学活动：1. 引导学生观察平行四边形，发现平行四边形可以看作是由两个相同的三角形拼成的。
2. 让学生通过实际操作，剪出一个平行四边形，并将其拼成一个三角形。
3. 引导学生发现平行四边形的面积是两个三角形面积的和。
第三章：梯形面积计算教学内容：1. 学习梯形的面积计算公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
2. 探究梯形面积公式的推导过程。
教学活动：1. 引导学生观察梯形，发现梯形可以看作是由两个三角形和一个平行四边形拼成的。
2. 让学生通过实际操作，剪出一个梯形，并将其拼成一个三角形和一个平行四边形。
3. 引导学生发现梯形的面积是两个三角形面积加上平行四边形面积的一半。
第四章：圆的面积计算教学内容：1. 学习圆的面积计算公式：圆的面积=πr²。
面积的计算与应用
面积的计算与应用面积是几何学中一个重要的概念，它广泛地应用于各个领域，包括建筑、工程、农业、地理学等等。
正确且准确地计算和应用面积对于解决很多实际问题至关重要。
本文将介绍面积的计算方法、常见应用以及其重要性。
一、面积的计算方法1.平面图形的面积计算平面图形是最基本的几何图形，计算其面积也最为简单。
常见的平面图形包括矩形、三角形、圆形等。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长度 ×宽度。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高÷2。
圆形的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
2.复杂图形的面积计算当遇到复杂的图形时，可以将其分解成简单的几何图形，分别计算各个图形的面积，再进行相加。
这种方法被称为分割法。
例如，当我们需要计算一个不规则多边形的面积时，可以通过将其分割成多个三角形或矩形，计算每个子图形的面积，再相加得到总面积。
二、面积的应用1.建筑领域在建筑领域，面积的计算与应用是必不可少的。
建筑师需要准确计算建筑物的总面积、每层的面积以及各个房间的面积，以便合理利用空间、安排布局。
此外，建筑领域还需要计算地板面积、墙面面积、屋顶面积等。
这些计算对于材料的采购、施工进度的安排以及预算控制都起到重要作用。
2.农业领域在农业领域，面积的计算与应用对于耕地、养殖场、温室等的规划至关重要。
农民需要计算土地的面积，以确定种植的作物数量、养殖的畜禽数量，并合理安排农作物的种植密度和养殖场的容量。
3.地理学领域地理学研究地球上的各种地貌、地理现象和地理空间分布。
面积的计算与应用在地理学领域具有广泛的应用。
例如，计算国家的面积，可以用于国土资源的合理利用和国界的确定。
另外，对湖泊、河流、山脉等的面积计算和比较可以用于研究地理环境的变化和地貌的演化。
三、面积的重要性正确地计算和应用面积对于解决实际问题非常重要。
以下是面积计算的重要性的几个方面：1.规划与设计：面积的准确计算可以帮助规划师、设计师和工程师合理安排、设计和施工，确保空间利用得当。
平面直角坐标中求图形面积导学案
邯郸市汉光中学导学案课题：在平面直角坐标系中求几何图形的面积课型：习题课主备人：蒋朝杰学习目标：会在平面直角坐标系中求三角形和四边形的面积.学习重点：在平面直角坐标系中求多边形的面积学习难点：求解不规则图形的面积、根据图形面积求点的坐标学习过程：【知识回顾】（1）在平面直角坐标系中，点P（a,b)到x 轴的距离等于到y轴的距离等于（2）若P(a,b),Q(a,c),M(d,b),则PM∥轴，PQ ∥轴，MP长为 ,PQ长为【专题训练】题型一、三角形有一条边在坐标轴上例1（1）如图1所示，△ ABC的面积是图1 图2（2）如图2所示，△ ABC的面积是。
【方法总结】：题型二、有边平行坐标轴三角形面积的求法例2（1）已知：A（-3,-2），B（-1,3），C（3,3），则△ ABC的面积是。
（图3）（2）已知：A（4,2），B(-2,4），C（-2,-1），则△ ABC 的面积是。
（图4）图3 图4【归纳总结】：如果在坐标系中，某个三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，，从而求出三角形的面积。
题型三、三角形无边在坐标轴上或平行于坐标轴例3.如图所示，求△ OAB的面积。
归纳总结：在平面直角坐标系中，三角形边不在坐标轴上也不平行于坐标轴时，则需将题型四、例4.（试试看你能想出多少种方法）如图所示，求下图中四边形AOBC的面积，并选一种写出过程.归纳：不规则的四边形的面积不能直接求出，。
【学以致用】独立完成练习.如图所示，则△ABC的面积是。
返回【小结】谈谈你的收获：。
数学公式知识：平面几何图形周长、面积及其应用
数学公式知识：平面几何图形周长、面积及其应用平面几何图形是人类最早研究的数学对象之一，其周长和面积是平面几何中最基本的概念，也是最常用的计算方式。
本文将简要介绍平面几何图形的周长、面积及其应用。
一、周长的概念和计算周长是指封闭曲线形状的物体边界的长度，比如圆、正方形、长方形等。
周长是一个重要的几何量，其公式可以由图形边长、半径等几何参数来计算。
圆的周长：C=2πr，其中r为圆的半径，π≈3.14。
三角形的周长：C=a+b+c，其中a、b、c分别为三角形的三边长度。
正方形的周长：C=4s，其中s为正方形的边长。
等边三角形的周长：C=3a，其中a为等边三角形的三边长度。
矩形的周长：C=2l+2w，其中l、w分别为矩形的长和宽。
切比雪夫距离的应用：在计算机科学中，切比雪夫距离是用来衡量两个向量在每个维度上的差异的距离。
这种距离被广泛应用于计算机视觉、语音识别等领域。
二、面积的概念和计算面积是指平面图形所覆盖的面积大小，如圆形、三角形、长方形等。
面积的计算公式也是由几何参数来决定的。
圆的面积：S=πr²。
三角形的面积：S=1/2bh，其中b、h分别为三角形的底和高。
正方形的面积：S=s²，其中s为正方形的边长。
长方形的面积：S=lw，其中l、w分别为长方形的长和宽。
梯形的面积：S=1/2(a+b)h，其中a、b为梯形的上下底长度，h为梯形的高。
圆环的面积：S=π(R²-r²)，其中R和r分别为圆环的外半径和内半径。
统计学中的应用：在统计学中，面积被广泛应用于分布函数、概率密度函数等统计图形的计算和表示中，如直方图、箱线图等。
三、应用举例基于周长和面积的应用远远不止于此，它们在各个领域都有着广泛的应用。
建筑学：在建筑学中，周长和面积是衡量建筑物大小、形状和建筑材料用量等重要参数，如在设计建筑物的窗户、墙体以及空间布局时，都需要考虑周长和面积的大小和比例。
地理学：在地理学中，面积和周长的计算也被广泛应用于土地面积、人口密度、物种种群密度等的计算中。
小学数学教案面积的求解与应用
小学数学教案面积的求解与应用小学数学教案——面积的求解与应用介绍：面积是数学中重要的概念之一，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
本教案将帮助小学生理解和求解面积，并通过实际应用情境，帮助他们提高解决问题的能力。
一、教学目标：1. 理解面积的概念，知道如何计算不规则图形的面积。
2. 能够应用面积的概念解决实际问题。
3. 培养学生观察、分析和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 面积的定义和基本概念。
2. 正方形、长方形、三角形和不规则图形的面积计算方法。
3. 面积应用问题的解决方法。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：- 引导学生回顾周围的图形和形状，提出面积的概念，并与学生共同定义。
- 通过展示不同形状的图形，引导学生思考如何计算不同形状的面积。
2. 面积的计算（15分钟）：- 正方形和长方形的面积计算方法：边长乘以边长。
- 通过示例和练习，让学生熟悉使用公式计算正方形和长方形的面积。
- 三角形的面积计算方法：底边乘以高度的一半。
- 引导学生理解三角形面积计算方法，并通过练习加深记忆。
3. 不规则图形的面积计算（20分钟）：- 引导学生思考如何计算不规则图形的面积，提出近似计算的方法。
- 通过示例和练习，让学生学会使用近似计算方法求解不规则图形的面积。
4. 实际应用问题（20分钟）：- 运用所学知识，引导学生解决一些实际应用问题，如田地的面积、房间的地板面积等。
- 强调解决问题的步骤，鼓励学生用图形来帮助他们解决问题。
5. 拓展练习（10分钟）：- 提供一些拓展练习，让学生巩固所学的面积计算方法。
- 鼓励学生使用不同的方法解决问题，培养他们的多元思维能力。
6. 总结与归纳（5分钟）：- 总结面积的计算方法及应用，并强调在实际问题中的重要性。
- 鼓励学生发表自己的观点和感受，分享解决问题的思路。
四、教学资源：1. PPT演示文稿，用于展示面积的概念、计算公式和应用问题。
2. 练习题集，供学生课后巩固和拓展练习使用。
数学上册教案之面积的应用与解决问题
数学上册教案之面积的应用与解决问题在数学学科中，面积是一个重要且常见的概念。
它在日常生活和科学领域中有着广泛的应用。
通过学习面积的概念和相关计算方法，我们能够更好地理解和解决与面积相关的问题。
本文将介绍面积的应用以及如何通过应用面积来解决一些实际问题。
一、面积的概念和计算方法面积是一个平面图形所占据的二维空间的大小。
常见的平面图形包括矩形、三角形、圆形等。
这些图形有各自对应的面积计算方法。
1. 矩形的面积计算方法矩形是最简单的图形之一，其面积可以通过矩形的宽度和长度来计算。
假设矩形的宽度为w，长度为l，则矩形的面积S可以用公式S = w * l计算得出。
2. 三角形的面积计算方法三角形是另一种常见的图形，其面积计算方法与矩形有所不同。
我们可以利用三角形的底边长度和高度来计算面积。
假设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S = (b * h) / 2。
3. 圆形的面积计算方法圆形是一种特殊的图形，其面积计算方法需要使用π（圆周率）进行计算。
假设圆的半径为r，则圆的面积S = π * r^2。
通过掌握这些常见图形的面积计算方法，我们可以更加灵活地应用于实际问题中。
二、面积的应用举例1. 房屋面积的计算在房地产领域，了解房屋的面积是非常重要的。
购房者需要了解每个房间的面积，以便更好地规划和利用空间。
通过测量各个房间的长度和宽度，可以使用矩形的面积计算方法来计算出每个房间的面积，并最终计算出整个房屋的总面积。
2. 地板铺设当我们需要铺设地板时，了解房间的面积可以帮助我们计算需要购买的地板数量。
假设地板的尺寸为标准矩形的长和宽，我们可以通过将房间的面积除以地板的面积来确定所需的地板数量，并避免因购买不足或过多导致的浪费。
3. 农田面积的规划在农业领域，了解农田的面积对于合理规划种植以及计算农作物的产量非常重要。
通过使用三角形的面积计算方法，可以测量并计算出农田的面积，并根据不同农作物的种植密度，来计算出预期的产量。
总复习(第2课时)图形与几何(教案)2024-2025学年数学四年级下册
总复习（第2课时）图形与几何（教案）20242025学年数学四年级下册一、课题名称：总复习（第2课时）图形与几何二、教学目标：1. 知识与技能：帮助学生回顾和巩固平面图形和立体图形的特征、分类及计算方法。
2. 过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方式，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学学习的兴趣，增强学生团结协作的精神。
三、教学难点与重点：难点：平面图形和立体图形的面积、体积计算及在实际问题中的应用。
重点：平面图形和立体图形的特征、分类及计算方法。
四、教学方法：1. 启发式教学：引导学生主动探索，发现问题，解决问题。
2. 小组合作学习：通过讨论、交流，培养学生的合作意识和团队精神。
3. 实践操作：通过动手操作，加深对知识的理解。
五、教具与学具准备：1. 教具：多媒体课件、实物模型（如正方体、长方体等）、平面图形图片。
2. 学具：彩笔、直尺、量角器、计算器等。
六、教学过程：1. 导入新课（1）展示生活中常见的平面图形和立体图形，引导学生回顾所学知识。
（2）提出问题：这些图形有什么特点？它们在现实生活中有哪些应用？2. 回顾平面图形（1）展示正方形、长方形、三角形、平行四边形等平面图形，引导学生说出它们的特征。
（2）分析这些图形的面积计算方法。
3. 回顾立体图形（1）展示正方体、长方体、圆柱、圆锥等立体图形，引导学生说出它们的特征。
（2）分析这些图形的体积计算方法。
4. 实践操作（1）让学生动手操作，测量正方形、长方形、三角形等平面图形的边长、角度，计算面积。
（2）让学生动手操作，测量正方体、长方体、圆柱、圆锥等立体图形的边长、高度，计算体积。
5. 解决实际问题（1）展示实际生活场景，引导学生运用所学知识解决实际问题。
（2）让学生分组讨论，找出解决问题的方法，并展示讨论结果。
（2）让学生谈谈自己在学习过程中的收获和体会。
七、教材分析：本节课通过回顾平面图形和立体图形的特征、分类及计算方法，帮助学生巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
小学数学几何图形的面积计算与实际应用
小学数学几何图形的面积计算与实际应用在小学数学的学习中，几何图形的面积计算是一个重要的部分。
它不仅是数学知识体系中的关键环节，还与我们的日常生活有着紧密的联系。
首先，让我们来了解一下常见的几何图形及其面积计算公式。
矩形（也就是长方形）是我们最常见的图形之一。
它的面积等于长乘以宽，如果用字母表示，就是 S ＝ a×b（其中 S 表示面积，a 表示长，b 表示宽）。
例如，一个长方形的长是 5 厘米，宽是 3 厘米，那么它的面积就是 5×3 ＝ 15 平方厘米。
正方形是一种特殊的长方形，它的四条边长度相等。
正方形的面积等于边长乘以边长，用字母表示为S ＝a×a ＝a²（其中 a 表示边长）。
比如，一个正方形的边长是 4 厘米，它的面积就是 4×4 ＝ 16 平方厘米。
三角形的面积计算稍微复杂一些，它的面积等于底乘以高除以 2，公式为 S ＝ a×h÷2（其中 a 表示底，h 表示高）。
假设一个三角形的底是 6 厘米，高是 4 厘米，那么面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方厘米。
平行四边形的面积等于底乘以高，即 S ＝ a×h（其中 a 是底，h 是高）。
比如，底为 8 厘米，高为 3 厘米的平行四边形，面积为 8×3 ＝24 平方厘米。
梯形的面积等于（上底＋下底）乘以高除以 2，用公式表示为 S ＝（a ＋ b)×h÷2（其中 a 和 b 分别是上底和下底，h 是高）。
掌握了这些基本的面积计算公式后，让我们看看它们在实际生活中的应用。
在家庭装修中，我们常常需要计算房间的面积，以确定需要购买多少地板、地砖或者涂料。
比如，客厅是一个长方形，长6 米，宽4 米，要铺上地砖，就需要先算出客厅的面积为 6×4 ＝ 24 平方米，然后根据每块地砖的面积，计算出需要购买的地砖数量。
学以致用：将教案中的图形面积知识运用到实际生活中
题目：学以致用：将教案中的图形面积知识运用到实际生活中在我们的日常生活中，数学是一个无处不在的科目，尤其是图形面积知识，它可以帮助我们解决许多实际生活中的问题。
教师在教学中将教案中的图形面积知识教给学生并不仅仅是让学生知道它们的定义和公式，更重要的是让学生学以致用，将所学到的知识应用到实际生活中去。
我们可以将教案中的图形面积知识应用到家庭装修中。
以墙面面积为例，当我们要装修一间房间时，我们需要知道每个房间的墙面面积，以便购买合适的涂料和壁纸以及预算工程费用。
在装修房间时，我们还需要计算家具的面积和布置摆设的位置，这些都离不开图形面积的计算。
如果我们缺乏图形面积的知识，就很难合理地布置房间和计算预算。
我们在购买地板和地砖时也需要运用图形面积的知识。
我们需要计算房间的面积以便购买合适的地板和地砖。
如果我们只是靠感觉来估算地面的面积，就难免会出现购买不足或购买过多的情况，浪费了时间和金钱。
而正确地计算地面的面积，不仅可以选择合适的地面，并且可以节省时间和金钱。
在购买纱窗、布艺沙发和窗帘时，我们也需要运用图形面积的知识。
我们需要计算窗户和沙发的面积，才能买到合适的尺寸和数量，避免浪费不必要的金钱。
在选择窗帘和布料时，我们也需要计算它们的面积以便正确地测量，预算价格以及正确地进行缝制和剪裁。
当我们要在家中建立一个花园时，我们也需要应用图形面积的知识。
例如：我们需要了解蔬菜种植的具体面积，以便为不同的蔬菜分配合适的区域。
如果我们没有相应的知识，我们很难在指定的面积内种植相应数量的植物。
正确地计算面积，可以让我们更高效地利用空间，避免不必要的浪费。
图形面积应用到实际生活中是非常实用的。
我们应该学以致用，将所学到的知识应用在实际生活中。
更进一步，学生应该从基础课程开始，掌握图形面积的基础知识，并将其运用到实际生活中去。
只有这样，我们才能更好地应对现实世界中的问题，让我们的生活更加美好精彩。
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)
专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
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课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）教学目的：知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数. 过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心. 教学重点与难点：重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值范围. 教学用具：直尺、多媒体 教学内容： 一、引入在平面直角坐标系中，二、例题例1、 如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 图中两个阴影面积的和.分析：由反比例函数的对称性可求点 B 的坐标,好拼接为一个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.解：∵⊙ A 与y 轴相切，且坐标为（1，2），∴ ⊙A 的半径等于1.又∵反比例函数函数关于原点中心对称,∴点B 坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积.∴21S ππ=⨯=阴影.设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.例2、已知：如图，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P （(,)x y 在直线6y x =-上运动，且0,0x y ><.求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．分析：本题要求四边形AOBP 的面积S ，可以用△O AP 的面积与△O BP 的面积之和来表示，还可以过P 点作x 轴或y 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量x 的取值范围时应注意结合函数图象思考． 解：解法一：连接OP ．∵ 直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴ A (4，0)，B (0，-2)． 设P (,)x y ，0,0x y ><，y=xy=21-x1122OBP OAPS SSOB x OA y =+=⋅+⋅1124(6)1222x x x =⨯-⨯-=-+． ∵ 0,0x y ><， 即 60x -<，∴6x <．∴ 自变量x 的取值范围是06x <<．解法二：设6y x =-交x 轴于M (6，0)，交y 轴于N (0，6)，则MONBNPAMPS S SS=--．解法三：作PG ⊥ x 轴于G ，则PGA PBOG S S S =+梯形．解法四：作PQ ⊥ y 轴于Q ，则PBQ PQOA S S S=-梯形．设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．例3、 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 分析：直线y kx b =+与x 轴的交点坐标是(,0)bk-，与y 轴的交点坐标是(0，b )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C 是OA 的中点．（如图），因此可知BC 将△AOB 分成的两部分面积相等，设直线BC 的解析式为2y kx =+，代入点C 的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．解：(1) 直线2y x=-+与x轴交点A(2，0)，与y轴交点B(0，2)，∵直线BC经过B(0，2)， C(1，0),∴2,0.bk b=⎧⎨+=⎩∴2,2.bk=⎧⎨=-⎩经过B、C两点的直线解析式为22y x=-+．∴所以2,2k b=-=．(2)设y kx b=+与y轴交于M(0，h)，△AOB被分成的两部分面积比为1：5，∴16OMC AOBS S=．∴21×1×h=61×21×2×2，可得h=32．∴M ⎪⎭⎫⎝⎛32,0．经过点M作直线MN∥OA，交AB于N ⎪⎭⎫⎝⎛32,a．∴ OMCCANSS=．∵ N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,a 在直线2y x =-+上，∴ a =34，所以N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,34． ∴ y kx b =+经过M ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0、C (1，0)或N ⎪⎭⎫⎝⎛32,34、C (1，0)． 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;32,3211b k 或⎩⎨⎧-==.2,222b k 点拨：C (1，0)恰为OA 边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识． 例4、已知ABC △中，3,90AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处．（1）如图1-1，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分的面积（直接写出结果）（2）如图1-2，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE x =，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；图1-1图1-2（3）若2BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ，设(1)CF x x =>，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．分析: 解此题关键是用含有x 的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”应分两种情况分类讨论：①12,x <≤②23x <≤．解: (1) 94AEDF S =四边形． (2) 如图1-3,过点D 作DM ⊥AB 于M ．∵3,90AB ACBAC ==∠=︒， ∴ BC==∵ BD CD =， ∴ 12BD BC ==． ∴ 11133sin 45(3)(3)(03)22224y BE DM BE BD x x x =⋅=⋅⋅︒=-⋅=-≤≤．图1-4图1-5(3) (i)如图1-4,连结AD,过D点分别作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵3,90AB AC BAC ==∠=︒， ∴BC ==∵ 2BD CD =，∴BD CD ==．∴sin 12DN DC C =⋅==，sin 2DM BD B =⋅==． 易证 12∠=∠．∵ ∠DME=∠DNF=90°， ∴ △DME ∽△DNF ． ∴ME DMFN DN=． ∵ (1)CF x x => ， ∴ 22(1)ME FN x ==-． ∴ 1131(21)2(3)1(12)2222ADEADFy SSx x x x =+=-⋅+-⋅=+<≤． (ii) 如图1-5, 过D 点作AC 的垂线，垂足为N ．91911(23)2222ABCCDFy SSx x x =-=-⋅=-<≤． ∴ 31(12),2291(23).22x x y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩三、练习1． 函数(0)y kx k =-≠与xy 2-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△BOC 的面积为多少？2．求直线24y x =+和直线26y x =--与y 轴围成的三角形的面积.3．直线28y x =+交x 轴，y 轴于A 、B ，直线l 过原点交AB 于点C ，分△AOB 的面积为1∶3两部分，求直线l 的解析式.4.如图，点B在直线1y x =-+上，且点B 在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO 的面积为2，求点B 的坐标. 5.直线1y x =+ 与x 轴，y 轴分别交点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,点P 1(,)2a 在第二象限，△ABP 面积与△ABC 面积相等，求a 的值.简要答案：1.12.252 3．6y x =-或23y x =- 4.（3,2-） 5. 4a =. 四、总结本节课要求学生掌握两种基本技能：（1）会应用函数思想表示和求解几何图形的面积；（2）已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解，体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想.建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作完成，最后教师引导学生进行归纳总结. 五、课后反思与函数有关的面积问题是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化思想，求解这类问题的重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值范围．例4中第（3）问 条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”是求解这一问的关键，教师可应用几何画板帮助学生分析，提高学生的审题及分析问题的能力．解决这类问题的基本程序是： （1）确定交点坐标（可用参数表示）； （2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解．。