课题平面几何图形面积的求解与应用

课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）

教学目的：

知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数. 过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.

情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心. 教学重点与难点：

重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值范围. 教学用具：直尺、多媒体 教学内容： 一、引入

在平面直角坐标系中，

二、例题

例1、 如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 图中两个阴影面积的和.

分析：由反比例函数的对称性可求点 B 的坐标,

好拼接为一个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.

解：∵⊙ A 与y 轴相切，且坐标为（1，2），

∴ ⊙A 的半径等于1.

又∵反比例函数函数关于原点中心对称,

∴点B 坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积.

∴2

1S ππ=⨯=阴影.

设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.

例2、已知：如图，直线1

22

y x =

-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P （(,)x y 在直线6y x =-上运动，且0,0x y ><.求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

分析：本题要求四边形AOBP 的面积S ，可以用△O AP 的面积与△O BP 的面积之和来表示，还可以过P 点作x 轴或y 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量x 的取值范围时应注意结合函数图象思考． 解：解法一：连接OP ．

∵ 直线1

22

y x =

-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，

∴ A (4，0)，B (0，-2)． 设P (,)x y ，0,0x y ><，

y=x

y=

21

-x

11

22

OBP OAP

S S

S

OB x OA y =+=⋅+⋅

11

24(6)1222

x x x =

⨯-⨯-=-+． ∵ 0,0x y ><， 即 60x -<，

∴6x <．

∴ 自变量x 的取值范围是06x <<．

解法二：设6y x =-交x 轴于M (6，0)，交y 轴于N (0，6)，则MON

BNP

AMP

S S S

S

=--．

解法三：作PG ⊥ x 轴于G ，则PGA PBOG S S S =+梯形．

解法四：作PQ ⊥ y 轴于Q ，则PBQ PQOA S S S

=-梯形．

设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．

例3、 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．

(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 分析：直线y kx b =+与x 轴的交点坐标是(,0)b

k

-

，与y 轴的交点坐标是(0，b )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C 是OA 的中点．（如图），因此可知BC 将△AOB 分成的两部分面积相等，设直线BC 的解析式为2y kx =+，代入点C 的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．

解：(1) 直线2

y x

=-+与x轴交点A(2，0)，与y轴交点B(0，2)，∵直线BC经过B(0，2)， C(1，0),

∴

2,

0.

b

k b

=

⎧

⎨

+=

⎩

∴

2,

2.

b

k

=

⎧

⎨

=-

⎩

经过B、C两点的直线解析式为22

y x

=-+．

∴所以2,2

k b

=-=．

(2)设

y kx b

=+

与y轴交

于M(0，

h)，△AOB

被分成的两部分面积比为1：5，

∴

1

6

OMC AOB

S S

=．

∴

2

1

×1×h=

6

1

×

2

1

×2×2，可得h=

3

2

．

∴M ⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

3

2

,0．

经过点M作直线MN∥OA，交AB于N ⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

3

2

,a．