浅谈关于分数指数幂的几点见解
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nk nk n
m
p
还有如下情 况 : r < 0 , s < 0 ; r < 0, s > 0; r , s 有一 为 0 . 仿照 ( 1) , ( 2) , 均可证 明 ar ∋ as = ar + s . 性质 2 &、 3&的证法类似 . 教学中不一 定要 论证 这些性 质 , 但值 得注 意 的是 , 证明中必 须利 用根 式的一 些性 质 , 所以 条 理上应 是先 有 根式 的 性质 , 后 有 幂运 算 的性 质 . 而有些 教材 恰 好相 反 , 给 出幂 运 算的 性 质以 后 , 才得到一些根式的 性质 . 譬如教 材说 : 由 幂的 运 算性质可得 ( ab) n = a n∋ b n , ( a n ) m = a m n , %, 按照分数指数幂的意 义 , 可把 这些 式子表 成根 式 的形式 , 即 ab = a ∋ b , a= a, %. 这 样 处理 , 就是因果倒置了 . 3 分数指数幂的底可以是负数吗 m n m 设 a < 0 , 考虑 正分数 , 看 a n = a m 是 否 n m 唯一确定 , 并且 满足运 算性质 1 & ~ 3&. 不妨 设 n 是既约分数 , 它代表与它相等的一类分数 .
浅谈关于分数指数幂的几点见解
余炯沛
( 北京师大数学系 100875 )
分数指数幂是整 数指数 幂的 推广 , 它 又是 进 一步建立无理数指数幂的依据 . 其定义如下 : an= 1) ; am n= m
n
张鸿菊
( 北京师大二附中)
数 , n > 1) . 1 定义的合理性问题 在使用定义 时 , 通 常都把 分数 指数幂 中的 指 数理解为有理数 . 由于 一个有 理数 可以用 一类 相 等的分数中任何一 个来代 表 , 例如 0 6 可 以表 为 3 3 6 9 分数 , , , % 中 任 一 个, 就 会 问: a 5 , 5 10 15
am ( a 1
m an
0 , m , n 都是 正整 数 , n > 1 ( a > 0, am
=
n
m , n 都是正整
1998 年
6 9
第5期
数学通报 m, n , l , k 都是正整数 , 则 a r ∋ as = ar ∋ a - | s | = a n ∋ an
5
a 10, a 15 , %都相等吗 ? 只有都相等 , a 0 6的值 才 能唯一确定 , 定义 a 0 6 = a 5 = a 10 = a 15 = %. 才 算合理 , 否则就不合理 . 合理性并非显然 . 假如条件允许 a < 0, 就 有 ( - 1) 5 =
1 3 1 3 1
3
合确定性原则 , 但是 a n 不能直接参加运算 . 例如 在性质 2 &下 , 如果直接运算 , 就有 ( a 5) 而实际上 (
4 a5 4 15 4
= a5( ( | a|
m
4
15 4 4 5
= a3 < 0
15 )4
)
15 4 =
= | a | > 0, 要 参
n
3
的解 释 不一 样 . 我
n
= a n-
m
= ar+ s .
am =
m
nq
am q =
nq
a np =
q
ap ,
得 an = a q . 即 ar = a n = am 唯一确定 . 解决了合理 性 , 我们 就可以 说 , 在底 数是 正 数时 , 指 数由 整 数扩 充 到了 任 意 有理 数 . 这 时 , 指数既可写 成分数 , 也可写 成小数 . 例 如 , 2 5 = 2 10 = 20 6 , 8- 0 75 = 8- 100 = 8 - 4 . 2 有理数指数幂运算性质的由来 有理数指数幂有下列运算性质 : 1 & ar∋ as = ar + s ( r , s 是任意有理数 , a > 0) ; 2 & ( ar ) s= a rs ( r , s 是任意有理数 , a > 0 ) ; 3 & ( ab) r = ar ∋ br ( r 是 任意 有理 数 , a > 0, b > 0) . 这三条 性质 是 从整 数指 数 幂 中继 承 过来 的 , 指数由整数扩充到有理数 , 底数则限制为正实数 . ( 这些性质还将扩充到实数指数幂的范围 ) 中学教材 直 接给 出 这 几 条性 质 , 不加 证 明 . 其实证明并不难 , 只需 用到整 数指数 幂的 运算 性 质和根式的性质 , 不过比较繁琐 . 性质 1&的 证法 设 a > 0 , r , s 是任 意有 理 数 . 对 r 、 s 分情况论证 . m l ( 1) 若 r > 0, s > 0. 设 r = , s= , n k m, n , l , k 都是正整数 , 则 a r ∋ as = a n ∋ a k = = =
1
加运算就必须先把 a n 转化为正底数的幂 . 以上三种情况说明 , a < 0 时 , 用
m
们赞成乙的解释 , 函数 y = x 是幂函 数 , 自变 量 是幂底数 . 甲的解释实质上把 函数 y = x 3 等同 于 无理函数 y = x , 自变 量是被开方 数 , 这是不 妥 的. 3 无理函 数 f ( x ) = x 与 幂 函 数 g ( x ) = x 3 既有联系 , 又有区别 . 那就是 : x f (x) =
4 如果以后的某一年高考出现一个考题 :
3
数学通报 求函 数 y x
1998 年
第 5期
在 [ 1] 文 中 , 作 者 提 出的 限 制 幂 函 数 y = 也是值得商榷的 . 1. 根据中学数学教学的 严谨性 与量力性 相 结合的原则 [ 3] , 在中学数学中 , 对于有理数 的 四则运算 一般都是默 认其结果 所在 的类的 代表 元 是既约分数 , 这样实际上解决了如 [ 1] 所说的 定 义的确定性问题 . 2. [ 1 ] 文 作 者 的另 一 篇 文 章 [ 4 ] 中 指 出 , 解析式恒等应理解为 , 以两个解析式定义域的 公 部为定义域的函数相等 . 因此 , 当我们一旦写 出 等式 a = a 2 时 , 这 就意味着等式的左边的定 义 域已经 限制 为 全体 非 负实 数了 . 在这 时 , - 1 = - 1 ∃ ( - 1) 2 = 1 . 也就是说 , [ 1 ] 所推出 的 矛盾是缺乏说服力的 . 3. [ 1] 文指出 , 我们 引入分 数指数 , % % 是为了定 义实数指数 从而引进 非常 重要的 指数 函 数与对数函数 . 这是缺乏说服力的 . 事实 上 , 从 数学的发展史看 , 人类 是先认 识对 数函数 而后 认 识指数函数的 . 关于这点 , 可参阅 [ 5] .
m 2m
2 k+ 1
参考文献 1 数学通报, 1996, 10. P. 20- 21. 2 华东师范大 学数学系. 数 学分析. 高 等教育 出 版社, 1980. 3 曹才翰. 中学数 学教学概 论. 北京师 范大学 出 版社, 1990. 4 陈 重 穆. 解 析 式 恒 等 质 疑. 数 学 通 报, 1997, 3. P. 2- 3. 5 米山国藏. 数 学的精 神、思想和 方法. 四川 教 育出版社, 1986.
x + 0
m 2 k + 1 的定义域的几点论据 ,
1
1 3
= lim x
x 0
1 3
= 0, lim
∀x + 0
∀x3 =+ # , ∀x
1
lim
∀x
0
∀x =- # . ∀x
m
1 3
在限制了幂函数 y = x 2 k + 1的定义 域之后 , 这就 无 意义了 . 最后我们还要指 出 , 对于 一些更 为特 殊的 幂 函数 , 如 y = x 2 k + 1 = ( x m ) 2 等, 其 定 义 域 不管从哪个方面来说 , 其 定义 域都应 该是 全体 实 数. 由此可 见 , 限 制 了 幂 函数 y = x 2k + 1 的 定 义 域 , 其利少弊多 . 第三 关于 [ 1] 文中的几个问题
n
6
3
5
m
l
n
am ∋ al
nk
k
a mk ∋ a mk+
l k nl
nk
3
5
3
anl =
a mk ∋ a nl
= a
mk+ nl nk
= a n+ ( 2)
m
= ar+ s .
m l 若 r > 0 , s < 0. 设 r = , | s| = , n k
am= akm =
n kn
| a| | a|
3
5am a a
l
nk
k nk
=
am k a
nl
nk
nk
=
( - 1 ) 3 = - 1 , 而 ( - 1) 10 =
3 5 6 10 ,
6
am k a nl
10
( - 1) 6
mk- nl l k
= a
mk- nl nk
= 1, 因 而 ( - 1 ) ∃ ( - 1 ) 这 就 不合 理 了 . 然而 , 在规定 a 0 时 , 定 义的 合 理性 是可 以 证 明的 . m 设 a 0 , r 是 任 意一 个正 有 理数 , r = , n p 又r= , n ∃ q, 则 mq = np . 根据根 式的基 本 q 性质 , 有
m
= | a| =
n
m n;
kn
km
| a|
m
= | a|
m n.
6 这时 a m =
n kn
数学通报
km a , 可以说 定义 a n 为 m m
n
1998 年
第 5期
m a 符
同一个问题 , 两 种说 法的答 案不 同 . 按甲 所 说 , 使根 式 x 有意义 的 x 的集 合当 然是 ( - # , + # ) , 没有错 ; 按乙 所说 , 分 数指数 幂 x 3 的 底 数 x 只能是非负数 , 也没有 错 . 那么分 歧在哪 里 呢 ? 我们 说 , 分 歧在 于 对 x
因为
m 2m 和 表 示同 一 个有 理 数 , 同一 个 数 n 2n
m
n
为指数的 幂 不唯 一确 定 , 所 以 定义 a n 为 am 是 不合理的 . 如果对这类 分数 限定 以既约 分数 为代表 , 给 出幂的定义 , 例如 a 10 = a 5 = a 3, 那么 , 唯 一 性是解决 了 . 但 作为有 理指数 幂 , 不能 用性 质 2& 来运算 , 如 ( a 5 ) 4 = a 4 就 没有 意 义 , 况且 这 种 规定也造成麻烦 , 一个 有理数 如果 不化成 既约 分 数 , 就不能判定它是否属于这一类 . ( 3) 若 n 为奇数 , m 为偶数 , 则
n n n mn m n
1
1
1
1
1
1
3
6
75
3
( 1)
若 n 为偶 数 , 则 m 必为 奇 数 ,
m n an为 2m
n
am
无意义 , 不能定义 am. ( 2) 若 n, m 都是奇数 , 则 an=
m an m
n
am < 0 ; a 2 n =
2n
a2 m=
n
| a|
m
> 0.
∃
2m a 2n .
3 6 3 6
= log 2 ( 1+ 2 x - 3 x 2) 的 定义 域 , 必 将议 论 纷 纷. 其次 , 这种变动将使 函数 论的一 些定 理不 能 成立 . 例如 , 关于反函数的 定理 严格单调函数 f ( x ) 必有反函数 f - 1 ( x ) , 前者 的定 义域 与后 者的 值域 相同 , 前 者 的 值域与后者的定义域相同 . 在这时就不能成立 . 事实上 , 函 数 f ( x ) = x 3, 与其反函数 f - 1 ( x ) = x 3 , 在如上变动后 , 前者的定义 域与后者的 值域以 及前者 的值 域与 后 者的定义域都不相同 . 再者 , 这种变动将使 微积 分失去 一些 简单 明 了的例子 . 例 如 , 在数 学分析 中常 用 来说 明函 数 在某点 连续 , 而 在该 点不可 导 ! ! ! 左、右 极限 分 别趋于不同的无穷大的例子 : lim x
3 3
am 来定 义
的 a n , 或者没有意义 , 或者数值 不唯一 , 或者 不 满足运 算 法则 , 因 此 都不 能叫 做 有理 数 指数 幂 . 这样我们说 , 分 数指 数幂的 底不 能是负 数 . 我 们 用手边的计算器可以求得 ( - 2 ) 3 = - 1 5157 %, 却无法算出 ( - 2 ) 0 6 , 可见计 算器的 设计 人也 认 为分数指数幂的底不能是负数 . 再从把指数扩充 到实数 这一 目标来 说 , 由 于 m a < 0 时 , 总有 一部 分分 数 ( n 为 偶 数, m 为 n 奇数 ) 使 am 没 有意 义 , 那 么 对其 余 的 分 数 , 无论是 用既约分数 为代表 或是用 其他 方法 定 义 a n , 都无 助于 建立 无理 指数 幂 a . 因为 对 于 无理数 的 任 一 个近 似 有理 数 序 列 r 1 , r 2 , %, r n, % ( r n ) , 我 们 无 法保 证 序 列 a r 1 , a r 2 , r %, a n , % 中 每 一 项 都 有 意 义 , 这 就 不 能 用 { ar n } 的极限 确定 a . 离 开扩 充指 数的 目标 , 去 探求某 些 a n ( a < 0 ) 的定 义 , 或 作为 根式 的 代 表符号保留 是没有什么必要的 . 4 一个值得商榷的问题 常有人问 : 函数 y = x 3 的 定义域 是什么 ? 这 是一个容易引起争论的问题 . 甲说 : x 3 的意义 是 x , 函 数 y = x 3 的定 义 3 域是使 x 有意 义的 实 数 x 的 集 合 , 也 就 是 ( # , + # ). 1 1 乙说 : x 3 是以 x 为 底、以 分数 为指 数 的 3 幂 , 函数 y = x 3 的定 义域 是使 幂 x 数 x 的集合 , 也就是 [ 0 , + # ) .
m
p
还有如下情 况 : r < 0 , s < 0 ; r < 0, s > 0; r , s 有一 为 0 . 仿照 ( 1) , ( 2) , 均可证 明 ar ∋ as = ar + s . 性质 2 &、 3&的证法类似 . 教学中不一 定要 论证 这些性 质 , 但值 得注 意 的是 , 证明中必 须利 用根 式的一 些性 质 , 所以 条 理上应 是先 有 根式 的 性质 , 后 有 幂运 算 的性 质 . 而有些 教材 恰 好相 反 , 给 出幂 运 算的 性 质以 后 , 才得到一些根式的 性质 . 譬如教 材说 : 由 幂的 运 算性质可得 ( ab) n = a n∋ b n , ( a n ) m = a m n , %, 按照分数指数幂的意 义 , 可把 这些 式子表 成根 式 的形式 , 即 ab = a ∋ b , a= a, %. 这 样 处理 , 就是因果倒置了 . 3 分数指数幂的底可以是负数吗 m n m 设 a < 0 , 考虑 正分数 , 看 a n = a m 是 否 n m 唯一确定 , 并且 满足运 算性质 1 & ~ 3&. 不妨 设 n 是既约分数 , 它代表与它相等的一类分数 .
浅谈关于分数指数幂的几点见解
余炯沛
( 北京师大数学系 100875 )
分数指数幂是整 数指数 幂的 推广 , 它 又是 进 一步建立无理数指数幂的依据 . 其定义如下 : an= 1) ; am n= m
n
张鸿菊
( 北京师大二附中)
数 , n > 1) . 1 定义的合理性问题 在使用定义 时 , 通 常都把 分数 指数幂 中的 指 数理解为有理数 . 由于 一个有 理数 可以用 一类 相 等的分数中任何一 个来代 表 , 例如 0 6 可 以表 为 3 3 6 9 分数 , , , % 中 任 一 个, 就 会 问: a 5 , 5 10 15
am ( a 1
m an
0 , m , n 都是 正整 数 , n > 1 ( a > 0, am
=
n
m , n 都是正整
1998 年
6 9
第5期
数学通报 m, n , l , k 都是正整数 , 则 a r ∋ as = ar ∋ a - | s | = a n ∋ an
5
a 10, a 15 , %都相等吗 ? 只有都相等 , a 0 6的值 才 能唯一确定 , 定义 a 0 6 = a 5 = a 10 = a 15 = %. 才 算合理 , 否则就不合理 . 合理性并非显然 . 假如条件允许 a < 0, 就 有 ( - 1) 5 =
1 3 1 3 1
3
合确定性原则 , 但是 a n 不能直接参加运算 . 例如 在性质 2 &下 , 如果直接运算 , 就有 ( a 5) 而实际上 (
4 a5 4 15 4
= a5( ( | a|
m
4
15 4 4 5
= a3 < 0
15 )4
)
15 4 =
= | a | > 0, 要 参
n
3
的解 释 不一 样 . 我
n
= a n-
m
= ar+ s .
am =
m
nq
am q =
nq
a np =
q
ap ,
得 an = a q . 即 ar = a n = am 唯一确定 . 解决了合理 性 , 我们 就可以 说 , 在底 数是 正 数时 , 指 数由 整 数扩 充 到了 任 意 有理 数 . 这 时 , 指数既可写 成分数 , 也可写 成小数 . 例 如 , 2 5 = 2 10 = 20 6 , 8- 0 75 = 8- 100 = 8 - 4 . 2 有理数指数幂运算性质的由来 有理数指数幂有下列运算性质 : 1 & ar∋ as = ar + s ( r , s 是任意有理数 , a > 0) ; 2 & ( ar ) s= a rs ( r , s 是任意有理数 , a > 0 ) ; 3 & ( ab) r = ar ∋ br ( r 是 任意 有理 数 , a > 0, b > 0) . 这三条 性质 是 从整 数指 数 幂 中继 承 过来 的 , 指数由整数扩充到有理数 , 底数则限制为正实数 . ( 这些性质还将扩充到实数指数幂的范围 ) 中学教材 直 接给 出 这 几 条性 质 , 不加 证 明 . 其实证明并不难 , 只需 用到整 数指数 幂的 运算 性 质和根式的性质 , 不过比较繁琐 . 性质 1&的 证法 设 a > 0 , r , s 是任 意有 理 数 . 对 r 、 s 分情况论证 . m l ( 1) 若 r > 0, s > 0. 设 r = , s= , n k m, n , l , k 都是正整数 , 则 a r ∋ as = a n ∋ a k = = =
1
加运算就必须先把 a n 转化为正底数的幂 . 以上三种情况说明 , a < 0 时 , 用
m
们赞成乙的解释 , 函数 y = x 是幂函 数 , 自变 量 是幂底数 . 甲的解释实质上把 函数 y = x 3 等同 于 无理函数 y = x , 自变 量是被开方 数 , 这是不 妥 的. 3 无理函 数 f ( x ) = x 与 幂 函 数 g ( x ) = x 3 既有联系 , 又有区别 . 那就是 : x f (x) =
4 如果以后的某一年高考出现一个考题 :
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数学通报 求函 数 y x
1998 年
第 5期
在 [ 1] 文 中 , 作 者 提 出的 限 制 幂 函 数 y = 也是值得商榷的 . 1. 根据中学数学教学的 严谨性 与量力性 相 结合的原则 [ 3] , 在中学数学中 , 对于有理数 的 四则运算 一般都是默 认其结果 所在 的类的 代表 元 是既约分数 , 这样实际上解决了如 [ 1] 所说的 定 义的确定性问题 . 2. [ 1 ] 文 作 者 的另 一 篇 文 章 [ 4 ] 中 指 出 , 解析式恒等应理解为 , 以两个解析式定义域的 公 部为定义域的函数相等 . 因此 , 当我们一旦写 出 等式 a = a 2 时 , 这 就意味着等式的左边的定 义 域已经 限制 为 全体 非 负实 数了 . 在这 时 , - 1 = - 1 ∃ ( - 1) 2 = 1 . 也就是说 , [ 1 ] 所推出 的 矛盾是缺乏说服力的 . 3. [ 1] 文指出 , 我们 引入分 数指数 , % % 是为了定 义实数指数 从而引进 非常 重要的 指数 函 数与对数函数 . 这是缺乏说服力的 . 事实 上 , 从 数学的发展史看 , 人类 是先认 识对 数函数 而后 认 识指数函数的 . 关于这点 , 可参阅 [ 5] .
m 2m
2 k+ 1
参考文献 1 数学通报, 1996, 10. P. 20- 21. 2 华东师范大 学数学系. 数 学分析. 高 等教育 出 版社, 1980. 3 曹才翰. 中学数 学教学概 论. 北京师 范大学 出 版社, 1990. 4 陈 重 穆. 解 析 式 恒 等 质 疑. 数 学 通 报, 1997, 3. P. 2- 3. 5 米山国藏. 数 学的精 神、思想和 方法. 四川 教 育出版社, 1986.
x + 0
m 2 k + 1 的定义域的几点论据 ,
1
1 3
= lim x
x 0
1 3
= 0, lim
∀x + 0
∀x3 =+ # , ∀x
1
lim
∀x
0
∀x =- # . ∀x
m
1 3
在限制了幂函数 y = x 2 k + 1的定义 域之后 , 这就 无 意义了 . 最后我们还要指 出 , 对于 一些更 为特 殊的 幂 函数 , 如 y = x 2 k + 1 = ( x m ) 2 等, 其 定 义 域 不管从哪个方面来说 , 其 定义 域都应 该是 全体 实 数. 由此可 见 , 限 制 了 幂 函数 y = x 2k + 1 的 定 义 域 , 其利少弊多 . 第三 关于 [ 1] 文中的几个问题
n
6
3
5
m
l
n
am ∋ al
nk
k
a mk ∋ a mk+
l k nl
nk
3
5
3
anl =
a mk ∋ a nl
= a
mk+ nl nk
= a n+ ( 2)
m
= ar+ s .
m l 若 r > 0 , s < 0. 设 r = , | s| = , n k
am= akm =
n kn
| a| | a|
3
5am a a
l
nk
k nk
=
am k a
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nk
nk
=
( - 1 ) 3 = - 1 , 而 ( - 1) 10 =
3 5 6 10 ,
6
am k a nl
10
( - 1) 6
mk- nl l k
= a
mk- nl nk
= 1, 因 而 ( - 1 ) ∃ ( - 1 ) 这 就 不合 理 了 . 然而 , 在规定 a 0 时 , 定 义的 合 理性 是可 以 证 明的 . m 设 a 0 , r 是 任 意一 个正 有 理数 , r = , n p 又r= , n ∃ q, 则 mq = np . 根据根 式的基 本 q 性质 , 有
m
= | a| =
n
m n;
kn
km
| a|
m
= | a|
m n.
6 这时 a m =
n kn
数学通报
km a , 可以说 定义 a n 为 m m
n
1998 年
第 5期
m a 符
同一个问题 , 两 种说 法的答 案不 同 . 按甲 所 说 , 使根 式 x 有意义 的 x 的集 合当 然是 ( - # , + # ) , 没有错 ; 按乙 所说 , 分 数指数 幂 x 3 的 底 数 x 只能是非负数 , 也没有 错 . 那么分 歧在哪 里 呢 ? 我们 说 , 分 歧在 于 对 x
因为
m 2m 和 表 示同 一 个有 理 数 , 同一 个 数 n 2n
m
n
为指数的 幂 不唯 一确 定 , 所 以 定义 a n 为 am 是 不合理的 . 如果对这类 分数 限定 以既约 分数 为代表 , 给 出幂的定义 , 例如 a 10 = a 5 = a 3, 那么 , 唯 一 性是解决 了 . 但 作为有 理指数 幂 , 不能 用性 质 2& 来运算 , 如 ( a 5 ) 4 = a 4 就 没有 意 义 , 况且 这 种 规定也造成麻烦 , 一个 有理数 如果 不化成 既约 分 数 , 就不能判定它是否属于这一类 . ( 3) 若 n 为奇数 , m 为偶数 , 则
n n n mn m n
1
1
1
1
1
1
3
6
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( 1)
若 n 为偶 数 , 则 m 必为 奇 数 ,
m n an为 2m
n
am
无意义 , 不能定义 am. ( 2) 若 n, m 都是奇数 , 则 an=
m an m
n
am < 0 ; a 2 n =
2n
a2 m=
n
| a|
m
> 0.
∃
2m a 2n .
3 6 3 6
= log 2 ( 1+ 2 x - 3 x 2) 的 定义 域 , 必 将议 论 纷 纷. 其次 , 这种变动将使 函数 论的一 些定 理不 能 成立 . 例如 , 关于反函数的 定理 严格单调函数 f ( x ) 必有反函数 f - 1 ( x ) , 前者 的定 义域 与后 者的 值域 相同 , 前 者 的 值域与后者的定义域相同 . 在这时就不能成立 . 事实上 , 函 数 f ( x ) = x 3, 与其反函数 f - 1 ( x ) = x 3 , 在如上变动后 , 前者的定义 域与后者的 值域以 及前者 的值 域与 后 者的定义域都不相同 . 再者 , 这种变动将使 微积 分失去 一些 简单 明 了的例子 . 例 如 , 在数 学分析 中常 用 来说 明函 数 在某点 连续 , 而 在该 点不可 导 ! ! ! 左、右 极限 分 别趋于不同的无穷大的例子 : lim x
3 3
am 来定 义
的 a n , 或者没有意义 , 或者数值 不唯一 , 或者 不 满足运 算 法则 , 因 此 都不 能叫 做 有理 数 指数 幂 . 这样我们说 , 分 数指 数幂的 底不 能是负 数 . 我 们 用手边的计算器可以求得 ( - 2 ) 3 = - 1 5157 %, 却无法算出 ( - 2 ) 0 6 , 可见计 算器的 设计 人也 认 为分数指数幂的底不能是负数 . 再从把指数扩充 到实数 这一 目标来 说 , 由 于 m a < 0 时 , 总有 一部 分分 数 ( n 为 偶 数, m 为 n 奇数 ) 使 am 没 有意 义 , 那 么 对其 余 的 分 数 , 无论是 用既约分数 为代表 或是用 其他 方法 定 义 a n , 都无 助于 建立 无理 指数 幂 a . 因为 对 于 无理数 的 任 一 个近 似 有理 数 序 列 r 1 , r 2 , %, r n, % ( r n ) , 我 们 无 法保 证 序 列 a r 1 , a r 2 , r %, a n , % 中 每 一 项 都 有 意 义 , 这 就 不 能 用 { ar n } 的极限 确定 a . 离 开扩 充指 数的 目标 , 去 探求某 些 a n ( a < 0 ) 的定 义 , 或 作为 根式 的 代 表符号保留 是没有什么必要的 . 4 一个值得商榷的问题 常有人问 : 函数 y = x 3 的 定义域 是什么 ? 这 是一个容易引起争论的问题 . 甲说 : x 3 的意义 是 x , 函 数 y = x 3 的定 义 3 域是使 x 有意 义的 实 数 x 的 集 合 , 也 就 是 ( # , + # ). 1 1 乙说 : x 3 是以 x 为 底、以 分数 为指 数 的 3 幂 , 函数 y = x 3 的定 义域 是使 幂 x 数 x 的集合 , 也就是 [ 0 , + # ) .