计量经济学：人均国内生产总值和居民消费水平(解决自相关问题)
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一、研究目的
改革开放以来，我国的经济有了较快地发展，随着居民生活水平的改善，居 民的消费水平也有了显著的提高。国内生产总值(GDP)与居民消费(C)、投资(I)、 政府支出(G)和净出口(NX)有关。所以，居民消费水平影响着我国经济的发展。 探究这二者间的关系，有利于探寻我国居民消费水平增长的规律性，还可以预测 未来居民消费水平的增长趋势。
第 1 页 共 7 页
1997 年 1998 年 1999 年 2000 年 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年
6,457 6,835 7,199 7,902 8,670 9,450 10,600 12,400 14,259 16,602 20,337 23,912 25,963 30,567 36,018 39,544 43,320
R 2 =0.984176，F=2052.388，DW=1.337929
其中， Yt Yt 0.879802Yt 1 ， X t X t 0.879802 X t 1 。
(5.08)
由于使用了广义差分数据，样本容量变为 35，解释变量是一个，在显著性 水 平 =0.01 下 ， 由 DW 统 计 表 可 知 ： d L 1.195 ， dU 1.307 ， 模 型 中
图 5.01 回归结果
估计结果： Yt 371.0737 0.348627 X t Se = (65.19090) (0.004230) t = (5.692110) (82.41654)
R 2 =0.995019，F=6792.485，DW=0.167457
第 2 页 共 7 页
(5.02)
dU <DW<4- d L 。这表明：在 0.01 显著性水平下两步法模型中已不存在自相关。
两步法方程式有：
63.83548 (5.09) 531.086041 1 0.879802 所以，最终人均国内生产总值与居民消费水平模型为：
1
Yt 531.086041 0.345964 X t
(5.10)
由式(5.10)可知：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平提高 0.345964 元。
第 6 页 共 7 页
四、总结
通过广义差分法可得：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平 提高 0.345179 元。 通过德宾两步法可得：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平 提高 0.345964 元。 相较于还没有处理其一阶自相关时，人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致 居民消费水平提高 0.348627 元。消除一阶自相关的影响后，居民消费水平提高 的数值减少。 而广义差分法和德宾两步法得到的数值之所以会有所差别，是因为 德宾两步法中的相关系数 是一个有偏、一致估计。 通过回归估计可知，居民消费水平还是比较低。国家不仅要提高人均 GDP 的增长，还要推动居民消费，这样才能使人均 GDP 增长的更快。
dU <DW<4- d L 。这表明：在 0.01 显著性水平下广义差分模型中已不存在自相关。 56.43986 581.596406 1 0.902957 所以，最终人均国内生产总值与居民消费水平模型为：
由广义差分方程式有： 1
(5.05)
Yt 581.596406 0.345179 X t
对式(5.03)进行回归。结果如下：
(5.03)
图 5.04 广义差分法结果
估计结果： Yt 56.43986 0.348627 X t 第 4 页 共 7 页
t = (2.103239) (41.28507)
R 2 =0.981007，F=1704.457，DW=1.367179
第 7 页 共 7 页
3,002 3,159 3,346 3,632 3,887 4,144 4,475 5,032 5,596 6,299 7,310 8,430 9,283 10,522 12,570 14,110 15,632
利用 EViews 软件，生成 Yt ， X t 的数据，采用这些数据对模型做 OLS 回归。
图 5.05 第一步结果
第 5 页 共 7 页
把 Yt 1 的回归系数 看做是 的一个估计值，它是 的一个有偏、一致估计。 第二步：利用 的估计值 作广义差分。
图 5.06 第二步结果
估计结果： Yt 63.83548 0.345964 X t Se = (26.90994) (0.007637) t = (2.372190) (45.30329)
图 5.02 残差项 et 1 和 et 的散点图
由上图可知：随机误差项 ut 存在一阶正自相关。则模型中存在自相关，这会 使模型中的 t 统计量和 F 统计量的结论就不可信了， 模型的结果也就不符合实际 了。
三、自相关问题的处理
1、广义差分法。 由于随机误差项的值是未知的，所以选用残差项 et 估计随机误差项 ut 。利用 残差项 et 作如下回归： et et 1 vt 。结果如下： 第 3 页 共 7 页
图 5.03 残差项 et 1 和 et 的最小二乘回归结果
估计结果： et 0.902957et 1 ，由此可知： =0.902957。对原模型进行广义 差分，得到广义差分方程式：
Yt 0.902957Yt 1 1 (1 0.902957) 2 ( X 内生产总值 居民消费水平 (X/元) （Y/元） 382 420 464 493 529 584 697 860 966 1,116 1,371 1,528 1,654 1,903 2,324 3,015 4,066 5,074 5,878 184 208 238 264 288 316 361 446 497 565 714 788 833 932 1,116 1,393 1,833 2,355 2,789
(5.06)
由式(5.06)可知：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平提高 0.345179 元。 2、德宾两步法。 因为自相关系数 未知，也可采用德宾提出的两步法消除自相关。 将广义差分方程式表示为： Yt 1 (1 ) 2 X t 2 X t 1 Yt 1 vt 采用如下两个步骤消除自相关。 第一步：作式(5.07)的回归。结果如下： (5.07)
t ( 1 ) =5.69211> t0.025 (34) =2.0322， 应拒绝 H 0 : 0 0 ； t ( 2 ) =82.41654> t0.025 (34) =2.0322， 应拒绝 H 0 : 0 0 。所以，回归系数均显
著并且模型可决系数较高。对于该模型样本，其容量为 36，解释变量是一个， 在显著性水平 =0.01 下，由 DW 统计表可知： d L =1.206， dU =1.315，模型中 DW< d L 。这表明：该模型存在自相关。 作残差项 et 1 和 et 的散点图。由图示检验法可知，如果大部分点落在第一和 第三象限，表明随机误差项 ut 存在着正自相关。图形如下所示： (e=resid，e1=e(-1))
其中， Yt Yt 0.902957Yt 1 ， X t X t 0.902957 X t 1 。
(5.04)
由于使用了广义差分数据，样本容量变为 35，解释变量是一个，在显著性 水 平 =0.01 下 ， 由 DW 统 计 表 可 知 ： d L 1.195 ， dU 1.307 ， 模 型 中
二、建立模型
为了深入探究居民消费水平与我国经济两者之间关系， 选用 “居民消费水平” 和“人均国内生产总值(人均 GDP)”作为研究对象。建立人均国内生产总值与居 民消费水平的回归模型：
Yt 1 2 X t ut
(5.01)
其中 Yt 表示居民消费水平， X t 表示人均国内生产总值，ut 表示随机误差项。 从《中国统计年鉴》中收集 1978~2013 年的人均 GDP 与居民消费水平数据。
表 5.1 1978~2013 年人均国内生产总值和居民消费水平
时间 1978 年 1979 年 1980 年 1981 年 1982 年 1983 年 1984 年 1985 年 1986 年 1987 年 1988 年 1989 年 1990 年 1991 年 1992 年 1993 年 1994 年 1995 年 1996 年
改革开放以来，我国的经济有了较快地发展，随着居民生活水平的改善，居 民的消费水平也有了显著的提高。国内生产总值(GDP)与居民消费(C)、投资(I)、 政府支出(G)和净出口(NX)有关。所以，居民消费水平影响着我国经济的发展。 探究这二者间的关系，有利于探寻我国居民消费水平增长的规律性，还可以预测 未来居民消费水平的增长趋势。
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1997 年 1998 年 1999 年 2000 年 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年
6,457 6,835 7,199 7,902 8,670 9,450 10,600 12,400 14,259 16,602 20,337 23,912 25,963 30,567 36,018 39,544 43,320
R 2 =0.984176，F=2052.388，DW=1.337929
其中， Yt Yt 0.879802Yt 1 ， X t X t 0.879802 X t 1 。
(5.08)
由于使用了广义差分数据，样本容量变为 35，解释变量是一个，在显著性 水 平 =0.01 下 ， 由 DW 统 计 表 可 知 ： d L 1.195 ， dU 1.307 ， 模 型 中
图 5.01 回归结果
估计结果： Yt 371.0737 0.348627 X t Se = (65.19090) (0.004230) t = (5.692110) (82.41654)
R 2 =0.995019，F=6792.485，DW=0.167457
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(5.02)
dU <DW<4- d L 。这表明：在 0.01 显著性水平下两步法模型中已不存在自相关。
两步法方程式有：
63.83548 (5.09) 531.086041 1 0.879802 所以，最终人均国内生产总值与居民消费水平模型为：
1
Yt 531.086041 0.345964 X t
(5.10)
由式(5.10)可知：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平提高 0.345964 元。
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四、总结
通过广义差分法可得：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平 提高 0.345179 元。 通过德宾两步法可得：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平 提高 0.345964 元。 相较于还没有处理其一阶自相关时，人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致 居民消费水平提高 0.348627 元。消除一阶自相关的影响后，居民消费水平提高 的数值减少。 而广义差分法和德宾两步法得到的数值之所以会有所差别，是因为 德宾两步法中的相关系数 是一个有偏、一致估计。 通过回归估计可知，居民消费水平还是比较低。国家不仅要提高人均 GDP 的增长，还要推动居民消费，这样才能使人均 GDP 增长的更快。
dU <DW<4- d L 。这表明：在 0.01 显著性水平下广义差分模型中已不存在自相关。 56.43986 581.596406 1 0.902957 所以，最终人均国内生产总值与居民消费水平模型为：
由广义差分方程式有： 1
(5.05)
Yt 581.596406 0.345179 X t
对式(5.03)进行回归。结果如下：
(5.03)
图 5.04 广义差分法结果
估计结果： Yt 56.43986 0.348627 X t 第 4 页 共 7 页
t = (2.103239) (41.28507)
R 2 =0.981007，F=1704.457，DW=1.367179
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3,002 3,159 3,346 3,632 3,887 4,144 4,475 5,032 5,596 6,299 7,310 8,430 9,283 10,522 12,570 14,110 15,632
利用 EViews 软件，生成 Yt ， X t 的数据，采用这些数据对模型做 OLS 回归。
图 5.05 第一步结果
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把 Yt 1 的回归系数 看做是 的一个估计值，它是 的一个有偏、一致估计。 第二步：利用 的估计值 作广义差分。
图 5.06 第二步结果
估计结果： Yt 63.83548 0.345964 X t Se = (26.90994) (0.007637) t = (2.372190) (45.30329)
图 5.02 残差项 et 1 和 et 的散点图
由上图可知：随机误差项 ut 存在一阶正自相关。则模型中存在自相关，这会 使模型中的 t 统计量和 F 统计量的结论就不可信了， 模型的结果也就不符合实际 了。
三、自相关问题的处理
1、广义差分法。 由于随机误差项的值是未知的，所以选用残差项 et 估计随机误差项 ut 。利用 残差项 et 作如下回归： et et 1 vt 。结果如下： 第 3 页 共 7 页
图 5.03 残差项 et 1 和 et 的最小二乘回归结果
估计结果： et 0.902957et 1 ，由此可知： =0.902957。对原模型进行广义 差分，得到广义差分方程式：
Yt 0.902957Yt 1 1 (1 0.902957) 2 ( X 内生产总值 居民消费水平 (X/元) （Y/元） 382 420 464 493 529 584 697 860 966 1,116 1,371 1,528 1,654 1,903 2,324 3,015 4,066 5,074 5,878 184 208 238 264 288 316 361 446 497 565 714 788 833 932 1,116 1,393 1,833 2,355 2,789
(5.06)
由式(5.06)可知：人均 GDP 每增加 1 元，平均来说导致居民消费水平提高 0.345179 元。 2、德宾两步法。 因为自相关系数 未知，也可采用德宾提出的两步法消除自相关。 将广义差分方程式表示为： Yt 1 (1 ) 2 X t 2 X t 1 Yt 1 vt 采用如下两个步骤消除自相关。 第一步：作式(5.07)的回归。结果如下： (5.07)
t ( 1 ) =5.69211> t0.025 (34) =2.0322， 应拒绝 H 0 : 0 0 ； t ( 2 ) =82.41654> t0.025 (34) =2.0322， 应拒绝 H 0 : 0 0 。所以，回归系数均显
著并且模型可决系数较高。对于该模型样本，其容量为 36，解释变量是一个， 在显著性水平 =0.01 下，由 DW 统计表可知： d L =1.206， dU =1.315，模型中 DW< d L 。这表明：该模型存在自相关。 作残差项 et 1 和 et 的散点图。由图示检验法可知，如果大部分点落在第一和 第三象限，表明随机误差项 ut 存在着正自相关。图形如下所示： (e=resid，e1=e(-1))
其中， Yt Yt 0.902957Yt 1 ， X t X t 0.902957 X t 1 。
(5.04)
由于使用了广义差分数据，样本容量变为 35，解释变量是一个，在显著性 水 平 =0.01 下 ， 由 DW 统 计 表 可 知 ： d L 1.195 ， dU 1.307 ， 模 型 中
二、建立模型
为了深入探究居民消费水平与我国经济两者之间关系， 选用 “居民消费水平” 和“人均国内生产总值(人均 GDP)”作为研究对象。建立人均国内生产总值与居 民消费水平的回归模型：
Yt 1 2 X t ut
(5.01)
其中 Yt 表示居民消费水平， X t 表示人均国内生产总值，ut 表示随机误差项。 从《中国统计年鉴》中收集 1978~2013 年的人均 GDP 与居民消费水平数据。
表 5.1 1978~2013 年人均国内生产总值和居民消费水平
时间 1978 年 1979 年 1980 年 1981 年 1982 年 1983 年 1984 年 1985 年 1986 年 1987 年 1988 年 1989 年 1990 年 1991 年 1992 年 1993 年 1994 年 1995 年 1996 年