大变形问题有限元分析

uK
,J
1 2
uK
,I
uK ,J
eIJ IJ
二者之间满足张
线性部分 非线性部分
量变换关系！
现时（Updated）Green应变增量：
* ij
1
ui
2 x j
u
j
xi
1 2
uk xi
uk x j
*eij *ij
IJ
xm X I
xn X J
* mn
非线性部分
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线性部分
4
kl
1 2
uk,l ul,k um,kum,l
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。
大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量：
Green应变增量：
IJ
1 2
KJ
uK,J
uK ,I KI uK ,I
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大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料
假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构
关系，这类材料称为超弹性材料。
Case-1 W W KL
例如
W
1 20
IJ AIJKL KL
(不限于这种形式）
增量形式 …
SIJ
0
W KL IJ
初始构型时材料 的密度－常数
弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
（大变形分析中）
ij Aijkl kl
Aijkl 为常数
线弹性材料 (elasticity)
ij
W ij
ij t
Aijkl
kl t
W
1 2
ij
Aijkl
kl
超弹性材料 (hyperelasticity)
次弹性材料 (hypoelasticity)
2
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大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。
Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学
表示为
KL
1 2
uK ,L uL,K uM ,KuM ,L
现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构
型所定义的应变，数学表示为
xi
yi
XI
(a)
初始构型（0时刻）
(b)பைடு நூலகம்
现时构型（t 时刻）
(c)
当前构型（ t t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
大变形问题的分析方法：增量法。
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与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力： 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用
表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
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大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形
Green应变增量退化成：
IJ
1 2
KJ
uK,J
uK ,I KI uK ,I
uK ,J
1 2 uK ,I uK ,J
eIJ IJ
线性部分 非线性部分是高阶小量
现时（Updated）Green应变增量退化成：
一阶近似
SIJ
0
2W MN IJ KL
引言
几何线性问题： 位移与应变成线性 （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。
物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移
（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。
研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
* ij
1
ui
2 xj
u j xi
1 uk 2 xi
uk x j
*eij *ij
对于小变形情形
IJ
*ij
1
ui
2 X j
u j X i
@ ij
非线性部分是高阶小量
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线性部分
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大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
Aijkl
2G
il
jm
1 2
ijlm
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大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
若Kirchhoff应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这 类材料为弹性材料
SIJ F KL
特殊情形
SIJ AIJKL KL
不依赖于构型变化
弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。
*Sij ij * Sij
现时Kirchhoff应力增量
现时Kirchhoff应力 Euler应力
t t 时刻
t 时刻
特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
*Sij
1 D N
xi X K
x j X L
Skl
ij
ij
1 D*N 1
yi xk
y j xl
kl *Skl
Kirchhoff应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。* S
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大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系：
DN x1, x2 , x3 xi X1, X 2 , X3 X J
D*N 1
y1, y2 , y3 x1, x2 , x3
yi x j
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大变形分析中的本构关系(1/5)
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对描 述材料的本构关系。
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
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大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。