最优化问题举例

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令V ( x) 60x 3 x2 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
f3 0,即瓶子半径是3cm 时,
饮料的利润与饮料瓶的成本恰
23
o
r
好相等;当r 3时,利润才为正值.
当r 0,2时,fr是减函数,你能
解释它的实际意义吗?
图1.4 4
问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
规格（L）
2
1.25
0.6
价格（元）
5.1
4.5
2.5
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)

0
,得x1

2

2
3 3
,
x2

2

2
3 3
.
Q x1 (0, 2), 所以当 因此当点B为(2 2
是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解∴：每由瓶于饮瓶料子的的利半润径：为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 p r3 0.8p r 2
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值
２．半径为６cm时，利润最大
换一个角度: 如果我们不用导 y
数工具,直接 从函数的图象(图 1.4 4)上观察,你有什么发现?
f r

0.8π
r3 3
r2

从 图象上容易看出,当 r 3 时,
f ' r 2p R r ,
mn
令
f ' r 0
解得
r R
2
当r R 时，f 'r 0;当r R 时，f ' r 0,
2
2
因此，当 r R 时，磁道具有最大的存储量，最大
2
存储量为 pR 2 .
2mn
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。
练习1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做 成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时， 箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128cm2，上、下两边各 空2cm，左、右两边各空1cm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
=
0.8π( r 3
-
3
r2)
(0 r 6)
令f '(r ) = 0.8π3(r 2 - 2r ) 0，得r = 2
r
(0，2)
2
(2，6]
f '(r)
-
0
+
f (r)
减函数↘ -1.07p
增函数↗
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
x
3

2
23 3
时,S( x)max

32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3.
2
9
结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最 大。
练习2、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正
方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长 度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S

s1

s2

( x)2 4

(l
x)2 4

1 16
(2x2
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（ 6 x） 6x x（2 0 x 6) S(x) 6 2x（0 x 6) 令S(x) 0，解得x 3 当S(x) 0时,得0 x 3 S(x)在(0,3)上是单调递增的, S(x)在(3,6)是单调递减的 S(x)在x 3cm处取到最大值S(3) 9cm2 答 :当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm2
m 同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即
每条磁道上的比特数可达到 2pr .所以，磁道总存储量
n
f r R r 2pr 2pr rR r.
m n mn
（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可 以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.
(2)为求 f x 的最大值，计算 f 'r 0,
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b） 比较,从而确定函数的最值。
生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、效率最高等问题，这 些问题通常称为优化问题.通过前 面的学习，我们知道，导数是求 函数最大（小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生 活中的 优化问题.
练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省?
解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
h
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
则h

V
pR 2
.
R

S
(R)

2pR

V
pR 2
2pR2

2V R
2pR2.
由S(R) 2V 4pR 0.
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
3.4生活中的 优化问题举例
第三章 导数及其应用
一、如何判断函数的单调性？
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？
求函数极值的一般步骤
（1）确定定义域
（2）求导数f’(x)
（3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断
求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤：
(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例3：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的
R
环行区域。
r
(1)是不是r越小，磁盘的存
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以 磁道最多可达 R r , 又由于每条磁道上的比特数相
解得：x 16，x 1（6 舍）
于是宽为：128 128 8 x 16
当x0,16时，s' x 0；
当x16,时，s' x 0.
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16cm，宽为8cm时，能使四周空白面积最 小。
说明
R2
解得R 3
V.
2p
从而h

V
pR 2
23
V
2p
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
练习3 如图,在二次函数
f(x)=4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个内接
矩形ABCD,求这 个矩形的
最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
解: 设版心的高为xdm,则版心的宽为128 dm,此时四周空白面积为
S(x) (x 4)(128 2) 128
x
x
你还有其他解法
2x 512 8, x 0 x
吗？例如用基本 不等式行不？
求导数,得S
令：S ' (x) 2
'(

x)
512
2


0
512 x2
x2
2lx
ห้องสมุดไป่ตู้
l2)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l 2
由问题的实际意义可知：
当x l 时, S取最小值. 最小值为 l 2 .
2
32
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?