量子统计简介

(N
′)}∑δ
Pˆ
{u P r
k P~1
(
P1)...u
r k P~N
(PN
)}
2)
rr r
rr
r
Er r
r
=
h
2
(
k2 1
+
k
2 2
+...+
k
2 N
)
=
h
2
(
k
2 P1
+
k
2 P2
+...+
k2 PN
)
=
Er
r
r,
k1 ,k2 ,...,kN
2m
2m
kP1 ,kP 2 ,...,kPN
利用公式：
r kN
(PN
−
N ′)}，
← 推导过程见后页
1 P
−
βh2 2m
k12
r ik1⋅( P1−1′)
∑ ∑ ∑ = δ e e ... e e N
r
V N! Pˆ
k1
−
βh2 2m
k
2 N
r ikN ⋅( PN −N′)
r
kN
∑ =
1
λ3N N!
Pˆ
δ
P
f
( P1 − 1′)
f
(P2
N粒子能量本征函数：
ψ
rS , Ar k1 ,k2
r ,...,kN
r (r1 ,
r r2
,...,
r rN
)
=
1 N!
∑δ Pˆ
P
Pˆ{u r k1
r (r1
)u r k2
r (r2
)...u r kN
r (rN
)}
rr
r
k1 ≠ k2 ≠ ... ≠ kN
∑ =
1 N!
Pˆ
δ
Pu r k1
r (rP1
)u r k2
r (rP 2
)...u r kN
r (rPN
)
∑ =
1 N!
Pˆ
rr
r
δ
Pu r kP1
(r1
)u r kP 2
(r2
)...u r kPN
(rN
)
能量本征值：
rr r
Er r
r
=
h
2
(
k2 1
+
k
2 2
+...+
k
2 N
)
,
k1 ,k2 ,...,kN
2m
( ) r r r r
简化的描述方法： K ≡ k1, k2 ,..., kN ，
=
eik2 x2 L
，k2
=
2π
L
n2，n2
=
0,±1,...
1、可分辨经典粒子：
Hˆ的本征态矢ϕ
C k1
,k
2
(
x1,
x2
)
=
ϕk1
(
x1 )ϕ k2
( x2
)
2、不可分辨全同粒子：
波函数应满足交换对称性
Hˆ的本征态矢 :
ϕ
k1
(
x1
)ϕ
k1
(
x2
)
=
eik ( x1 + x2 ) L
，k1
=
k2
r r2
r ,..., rN
)
=
(−1)Pψ
A
r (r1 ,
r r2
,...,
r rN
),
Antisymmetric — Fermion
任一能量本征函数
ψ
rr r (r1, r2 ,...,rN
)
均可以用来构造对称与反对称波函数：
ψ
S
,
A
r (r1,
r r2
,...,
r rN
)
=
C
∑δ
P
Pˆψ
r (r1,
r (rN
),
ψ
A
r (r1 ,
r r2
r ,..., rN
)
=
1 N!
∑
Pˆ
(−1)
P
Pˆ uk1
r (r1
)uk2
r (r2
)...ukN
r (rN
),
r
r
r
uk1 (rr1) uk1 (rr2 ) L uk1 (rrN )
=
1 uk2 (r1) N! M
uk2 (r2 ) M
L O
uk2 (rN ) M
,k2
(
x1
,
x2
)ϕ C* k1 ,k2
(
x1′,
x2′
)
∑ ρ
S
(
x1,
x2 ;
x1′,
x2′
)
=
QS−1
k1 ,k2
e − βEk1 ,k2
ϕS k1 ,k2
( x1 ,
x2
)ϕ S* k1 ,k2
( x1′,
x2′
)
k1 ≥k2
考察密度矩阵的对角元：
ρ C (x1, x2; x1, x2 ) = (1 L)2 = ρ (x1, x1)ρ (x2 , x2 )
Pˆij
对波函数的作用：
Pˆijψ
r (r1
,...,
r ri
r ,...rj
r ,...rN
)
=
ψ
r (r1,...,
r rj
r ,...ri
r ,...rN
)
由所有Pˆij为生成元形成的对称群，称为置换群SN，阶为N!，元素称为置换
P
→
1 P1
2... P2...
N PN
Pˆψ
r (r1,
r r2
P~ {u k*r 1
(P~1′)...uk*r N
(P~N
′)}∑δ
Pˆ
P~P{ukr 1
(P~P1)...ukr N
(P~PN
)}
=
∑P~ˆ
{uk*r 1
(P~1′)...uk*r N
(P~N
′)}∑δ
Pˆ
P {u kr 1
(P~P1)...ukr N
(P~PN
)}
=
∑P~ˆ
{u*r
k P~1
(1′)...uk*rP~N
rr
r
Qk1 ≠ k2 ≠ ... ≠ kN
∑ ∑ ∑ ≈
1 N!
r k1
r ... r ,
k2
kN
← 经典近似,在什么条件下成立？
放到后面再回答这个问题！
1、配分函数：
∑ ∑∑ ∑ Q =
e '
r
− βE Kr
≈
1
...
e−
βh2 2m
(
k12
+
k22
+...+
k
2 N
)
K
N! r r k1 k2
∑ ∑ ∑ ∑ 限制性 ∑ ∑ （条件）
≡ ' r
K
∑ 求和：
e '
r
− βEKr
K
'r r k1 ,...,kN
k1≥k2 ≥...≥kN
k1>k2 >...>kN
: Boson ≠r
: Fermion k1
r ... r
k2
kN
解决的办法（Fermion）：
∑' r K
1 rr r
≡ N! ∑ , k1≠k2 ≠...≠kN
−1 S
e 1 + −βEk1,k2
k1
L2 k1 >k2
e−βEk1,k2 1 + cos(k1 − k2 )(x1
k1 ,k2
cos(k1 − x2 )
−
k2
)(x1
−
x2
)
发现两个 玻色子
与经典可分辨粒子相比，玻色子在同一空间位置出现的概率变大了！
出现在
2 ∑ e−βEk1,k2
∑ ∑ 同一空
∑ ρ
S
(
x1
,
x2
;
x1
,
x2
)
=
Q −1 S
e ϕ (x , x )ϕ (x , x ) −βEk1,k2
S k1 ,k2
12
S* k1 ,k2
12
k1 ≥ k 2
1( ∑ + ∑)
2 k1>k2 k1<k2
∑ ∑ =
∑ [ [ ] ] =
Q −1 S L2
Q −1 S
2L2
e + Q −βEk1,k1
r kN
=
∑ N1!
r k
− βh2 k 2
e 2m
N =
1 N!
V
λ3
N
求和化积分L无穷大
λ ≡ 2πh2β
m
2、密度矩阵(未归一化的)：
1,2,..., N e−βHˆ 1′,2′,..., N ′
=
∑' r K
e
−
ψ βEKr
r K
(1,2,...,
N
)ψ
*r K
(1′,2′,...,
N
′)
∑ ∑ ∑ =
1 2 N!
e −βEKr
rr k1 ,...,kN
δ P{u r (P1)...u r (PN )} δ P~{u*r (P~1′)...u*r (P~N ′)}
Pˆ
k1
kN
P~ˆ
k1
kN
∑ ∑ =
1 N!
Pˆ
δ
P
r k1
e
r ,...,k N
−
βEKr
{u
r k1
(
P1
−
1′)...u
k1 ≤ k2
∑ ∑ 1 −βE(k1,k2 )
= 2 e + k1,k2
k
e
−βE
(k
,k
)
=
1 2
L
λ
2
+
L
2λ
=
1 2
L
λ
2
1
+
λ
2L
≈
1 2
L
λ
2
考察坐标空间密度矩阵：
∑ ρ C (x1, x2; x1′, x2′ ) = QC−1
e − βEk1 ,k2
ϕC k1
间点 x 的概率：
ρ
S
(x,
x;
x,
x)
=
1 L2
k1 ,k2
e + −βEk1,k2
e−βEk ,k
>
ρC
(x,
x;
x,
x)
=
1 L2
k1 ,k2
k
更一般的，可以得到密度矩阵对角元的严格解：
[ ] [ ] ρ S (x1, x2; x1, x2) [ ] ρ C (x1, x2; x1, x2 )
本征态！
N
=
N
r
uki (ri )
i =1
∑ ε ε ε ε E = + + ... + = 不满足
交换对称性！
k1 ,k2 ,...,kN
k1
k2
kN
ki
i =1
ψ
S
r (r1
,
r r2
,...,
r rN
)
=
1 N!n1!n2!...
∑
Pˆ
Pˆ u k1
r (r1
)uk2
r (r2
)...ukN
,...,
r rN
)
=
ψ
r (rP1,
r rP2
,...,
r rPN
)
置换群的两个一维表示——对称表示，反对称表示——分别对应玻色和费米子
∀Pˆ ∈ SN
Pˆψ
S
r (r1
,
r r2
,...,
r rN
)
=
ψ
S
r (r1,
r r2
,...,
r rN
)
,
Symmetric — Boson
Pˆψ
A
r (r1 ,
ρ ρ
A C
( (
x1 x1
, ,
x2 x2
; ;
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
提示：对于费米子波函数应满足交换反对称性
Hˆ的本征态矢 :
ϕA k1 ,k2
( x1 ,
x2 )
=
ϕk1
( x1 )ϕ k 2
(x2 )
− ϕk2
2
( x1 )ϕ k1
(x2 )
，k1
≠
k2
交换反对称性的结果：相空间的压缩
≡
k
ϕS k1 ,k2
( x1 ,
x2 )
=
ϕk1
( x1 )ϕ k2
(x2 )
+ ϕk2
2
( x1 )ϕ k1
(x2 ) ，k1
≠
k2
3、交换对称性的结果：态空间的压缩 k2
经典粒子
k2
玻色子
k1
k1
ϕ
C k1
,kபைடு நூலகம்
2
(
x1
,
x2
)与ϕ
C k2
,
k1
(
x1
,
x2
)是不同的态，
ϕ
S k1
,k
2
(
x1
k2
k2
k1 经典 ⇒ 量子
k1
第一节、 全同粒子交换对称性——N粒子波函数
∑ ∑ Hˆ
=
N k =1
pˆ k 2m
+
r V ( rk
k >l
r − rl
)
交换任意两个粒子i ↔ j，Hˆ不变，称为交换对称性
引入交换算符Pˆij，则与Hˆ对易，即
[ ] Pˆij , Hˆ = 0，∀i, j ∈1，2，...，N
,
x2
)与ϕ
S k2
,
k1
(
x1
,
x2
)是同一个态
∑ ∑ QC =
( ) = L2
e−βE (k1 ,k2
k1 ,k2
m
2πh 2 β
=
)
=
Lλ
k 2
e
−βE
(k
)
2
求和化积分，L无穷
λ ≡ 2πh2β
m
Q = ∑ e = ∑ e −βE(k1,k2 ) S
− βE ( k1 ,k2 )
k1 ≥ k 2
第二章、理想全同粒子统计
无相互作用 不可分辨——交换对称性
第零节、 交换对称性——环中的理想两玻色子问题
( ) Hˆ = Hˆ + Hˆ = − + h2 ∂2
∂2
1
2
2m ∂x12
∂x22
Hˆ 1的本征态矢ϕk1 (x1)
=
eik1x1 L
，k1
=
2π
L
n1，n1
=
0,±1,...
Hˆ 2的本征态矢ϕk2 (x2 )
=
ϑ ϑ (0, e ) + ( , e ) −π (λ L)2 2
π ( x1 − x2 )
−π (λ L)2 2
3
3
L
ϑ3 (0, e−π (λ L)2 ) 2 + ϑ3 (0, e−2π (λ L)2 )
以L−2为单位
1.8 1.6 1.4 1.2
-4
-2
0
x1 − x2
λ
2
4
结论：对于2个玻色子来说， 它们在空间某点附近彼此靠近 的概率大于它们彼此远离的概率。
−
2′)...
f
(PN
−
N ′)
令f
高斯积分
r (r )
≡ =
λ3 V
∑r e−
k
exp− π
βh2 2m
k2
r r λ
rr
eik ⋅r
2
1)
∑δ
Pˆ
P {u kr 1
(P1)...ukr N
(PN
)}∑δ P~ˆ
P~ {u k*r 1
(P~1′)...uk*r N
(P~N
′)}
=
∑δ
P~ˆ
r r2
,...,
r rN
),
Pˆ
举例：理想全同粒子系
Hˆ
=
∑N
r h(ri
,
prˆi )
由单粒子薛定谔方程：
i=1
δ = ±1
r h(r
,
prˆ
)uk
r (r
)
=
ε
k
uk
r (r
)
则可以构造N粒r子r本征函r数
rr
r
∏ 不是P的
ψ (r1, r2 ,..., rN ) = uk1 (r1)uk2 (r2 )...ukN (rN )
这种由于全同粒子交换对称性引起的关联称为“统计关联”，以区别于相互 作用力引起的关联。可以看出，玻色子之间的“统计关联”相当于一个“吸引力”， 称为“统计引力”，这是玻色-爱因斯坦凝聚产生的原因。也是自然界里不需要互作用
力就实现凝聚的唯一（为数不多？）的一个例子！
第零节 作业
1、研究环中的理想两费米子问题， 给出其坐标空间密度矩阵对角元随空间位置的变化。
r
r
r
ukN (r1 ) ukN (r2 ) K ukN (rN )
第二节、理想全同粒子系统—密度矩阵，配分函数，经典极限
r
宏观约束条件：3D箱V，粒子数N, 温度T
Hˆ
=
∑N
h
2∇
2 i
单粒子能量本征函数：
r ur (r )
k
=
rr
eik ⋅r V
r ，k
=
2π
L
nr，nr
i=1 2m
= (nx , ny , nz )
(1,2,...,
N
)
≡
(rr1
,
r r2
,...,
r rN
)
ψ
Sr , A K
(1,2,...,
N
)
≡ψ
rS , Ar k1 ,k2
r ,...,k N
r (r1,
r r2
,...,
r rN
)
E ≡ E r
rr r
K
k1 ,k2 ,...,kN
0、 交换对称性引起的态空间压缩导致求和困难
∑ 配分函数： Q =
∑ g(P~ˆ ) × ∑ f (Pˆ)
P~ˆ
Pˆ
= ∑ g(P~ˆ )∑ f (P~ˆPˆ)
P~ˆ
Pˆ
综合1)和2)
∑ r
e−βE r K
r
k ,...,k
1
N
∑δ
Pˆ
P{ukr 1
(P1)...ukr N