2013年上海中考数学真题卷含答案解析

2013年上海市初中毕业统一学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.下列式子中,属于最简二次根式的是()
A.√9
B.√7
C.√20
D.√1
3
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是()
A.x2+1=0
B.x2+x+1=0
C.x2-x+1=0
D.x2-x-1=0
3.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是()
A.y=(x-1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1
D.y=x2+3
4.数据0,1,1,3,3,4的中位数和平均数分别是()
A.2和2.4
B.2和2
C.1和2
D.3和2
5.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于()
A.5∶8
B.3∶8
C.3∶5
D.2∶5
6.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等腰梯形的是()
A.∠BDC=∠BCD
B.∠ABC=∠DAB
C.∠ADB=∠DAC
D.∠AOB=∠BOC
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.因式分解:a2-1=.
8.不等式组{x-1>0,
2x+3>x
的解集是.
9.计算:3b2
a ·a
b
=.
10.计算:2(a-b)+3b=.
11.已知函数f(x)=3
x2+1
,那么f(√2)=.
12.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取一张,那么取到字母e的概率为.
13.某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示,那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为.
14.在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为.
15.如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是.(只需写一个,不添加辅助线)
16.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是升.
17.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tan C=32,如果将△ABC 沿直线l 翻折后,点B 落在边AC 的中点处,直线l 与边BC 交于点D,那么BD 的长为 .
三、解答题(本大题共7题,19~22题10分,23、24题12分,25题14分,满分78分)
19.计算:√8+|√2-1|-π0
+(12
)-1.
20.解方程组{x -y =-2,
x 2-xy -2y 2=0.
21.已知平面直角坐标系xOy(如图),直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B,点A(2,t)在这条直线上,连结AO,△AOB 的面积等于1.
(2)如果反比例函数y=k
(k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.
x
22.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF升起后的位置如图2所示,其示意图如图3所示,其中AB⊥BC,EF∥BC,∠EAB=143°,AB=AE=1.2米,求当车辆经过时,栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离).(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计)参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75.
23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF ∥AB交DE的延长线于点F.
(2)连结CD,过点E作DC的垂线交DC于点H,交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠HGC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
25.在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连结BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,垂足为点M,连结QP(如图).已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当以AP长为半径的☉P和以QC长为半径的☉Q外切时,求x的值;
(3)点E 在边CD 上,过点E 作直线QP 的垂线,垂足为F,如果EF=EC=4,求x 的值.
答案全解全析：
1.B ∵√9=√3,√20=2√5,√13=√3
3.故A 、C 、D 排除,选B.
2.D 在x 2
-x-1=0中,Δ=b 2
-4ac=(-1)2
-4×(-1)=5>0.故选D.
3.C 原抛物线向下平移1个单位,则所得新抛物线的表示式为y=x 2
+1.故选C.
评析 本题比较容易,根据二次函数图象的平移规律“上加下减,左加右减”进行解题.考查二次函数图象的平移.
4.B ∵数据已经从小到大排列,
∴中位数为(1+3)÷2=2,平均数为(0+1+1+3+3+4)÷6=2. 故选B.
5.A ∵DE∥BC,∴AE∶EC=AD∶DB=3∶5, ∵EF∥AB,∴BF∶FC=AE∶EC=3∶5, 故CF∶CB=5∶8.故选A.
6.C 若满足∠BDA=∠CAD,则∠ACB=∠DBC,∴BO=OC,OD=OA.故AC=DB.对角线相等的梯形是等腰梯形,故选C.
7.答案 (a+1)(a-1)
解析 利用平方差公式分解得a 2
-1=(a+1)(a-1). 8.答案 x>1
解析 两个不等式的解集分别为x>1,x>-3,根据“同大取大”知,不等式组的解集为x>1. 9.答案 3b 解析
3b 2
b
·b b =b
b ·
3b 2
b
=3b.
10.答案 2a+b
解析 原式=2a-2b+3b=2a+b. 11.答案 1 解析 f(√2)=2
+1=3
3
=1.
12.答案 2
7
解析 ∵字母e 在单词中共出现两次,单词一共7个字母,∴概率为2
7
.
13.答案 40%
解析 百分比为(50+30)÷(50+80+30+40)=40%. 14.答案 √5
解析 如图,连结OA,过点O 作OC⊥AB 于点C.根据垂径定理得:AC=1
2AB=2. ∴OC=√bb 2-A b 2=√32-22=√5.
15.答案 答案不唯一,如∠ABC=∠DEF
解析 ∵BF=CE,∴BC=EF,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.添加∠ABC=∠FED,可由“ASA”公理推断出△ABC≌△DEF.
16.答案 20
解析 设直线解析式为y=kx+b.将(0,35),(160,25)代入可得y=-b
16
+35.当x=240时,y=20,
即到达乙地时油箱剩余油量是20升.
评析 本题考查利用待定系数法求解一次函数解析式. 17.答案 30°
解析 当特征角是100°时,角β=50°,另一个角为180°-100°-50°=30°,∴最小内角的度数为30°. 18.答案
154
解析 如图1,过点A 作AH⊥BC 交BC 于点H,∴BH=HC=4,∵tan C=3
2,∴AH=6,AC=2√13.如图2,R 为AC 中点,则RC=√13.过点R 作RM⊥BC 于点M,∴RM=3,CM=2.∴BM=6.设BD=x,∴DM=6-x ,∵直线l 垂直平分BR,∴BD=RD=x,在Rt△DRM 中,利用勾股定理建立方程:32
+(6-x)2
=x 2
,解得x=15
4,即BD=15
4.
图1
图2
19.解析 √8+|√2-1|-π0
+(12)-1
=2√2+√2-1-1+2=3√2. 20.解析 {x -y =-2, ①
x 2-xy -2y 2
=0,② 由②可得:(x-2y)(x+y)=0, 所以x=2y 或x=-y, 则原方程组可以转化成为 {x -y =-2,x =2y
或{x -y =-2,x =-y .
解得{x =-4,y =-2或{x =-1,
y =1.
评析 本题考查可化为两个二元一次方程组的二元二次方程组的求解方法.对方程②因式分解是解决这道题的关键.
21.解析 (1)因为直线y=1
2x+b 经过第一、二、三象限,所以点B 在y 轴正半轴上,所以b>0.
因为S △AOB =1
2
·b·2=1,所以b=1,点B 的坐标为(0,1).
(2)由(1)知直线的解析式是y=1
2x+1.
又因为点A(2,t)在直线上,所以可得到A(2,2).因为点A 在反比例函数的图象上,所以k=2×2=4,所以反比例函数的解析式为y=4
b . 22.解析 过点A 作AH∥BC,EH⊥AH. ∵∠EAB=143°,∴∠EAH=53°,∠AEH=37°, ∴cos∠AEH=cos 37°=
bb
bb
≈0.8. ∵AE=1.2,∴EH=AE·0.8=0.96.
∴栏杆EF 距离地面的高度是0.96+1.2=2.16≈2.2米. 23.证明 (1)∵DF∥BC,DB∥FC, ∴四边形DBCF 为平行四边形. 又∵D 为Rt△ACB 斜边中点,DE∥BC,
∴
bb bb =bb bb =1
2
, ∴DE=1
2BC,又DF=BC,∴DE=1
2DF, ∴EF=DE.
(2)∵D 为AB 中点,∴DC=DB=AD, ∴∠B=∠DCB.
∵∠EHC=∠ACB=90°,∴∠HEC+∠ACD=90°, ∠DCB+∠ACD=90°,∴∠HEC=∠DCB. ∵∠HEC 为△EGC 的外角, ∴∠HEC=∠ECG+∠G, 又AD∥CF,∴∠ECG=∠A, ∴∠HEC=∠A+∠HGC, ∴∠B=∠A+∠HGC.
24.解析 (1)∵OA=OB=2,∠AOB=120°,作AF⊥x 轴, ∴∠AOF=60°,可得到点A(-1,√3),B(2,0). 代入y=ax 2
+bx(a>0)中,
可得{b (-1)2
+(-1)b =√3,22a +2b =0,解得{a =√3
3,b =-2
3√3,
∴y=√3
3x 2
-2
3√3x.
(2)y=√3
3x 2
-23√3x=√3
3(x 2
-2x+1)-√33=√3
3(x-1)2
-√3
3, ∴点M 的坐标为(1,-√3
3).
过点M 作MQ⊥x 轴,则MQ=√33,OQ=1,tan∠QOM=
bb bb =√33, ∴∠QOM=30°,∠AOM=120°+30°=150°.
(3)连结AB,由(1)知∠AOF=60°.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO=30°,
∴∠ABx=150°=∠AOM,
∴点C 在B 点的右侧,设点C(c,0).
△AOM 相似于△ABC 可分两种情况讨论:
①∠CAB=∠MAO,即△ABC∽△AOM,
AB BC =AO OM ,易知AB=2√3,BC=c-2,AO=2,OM=23
√3, 则2√3b -2=23√3⇒c=4,∴C 1(4,0). ②∠CAB=∠AMO,即△ABC∽△MOA,
bb bb =OM OA ,AB=2√3,BC=c-2,AO=2,OM=23√3, 则2√3c -2=2
3
√32⇒c=8,∴C 2(8,0),
综上两种情况,点C 坐标为(4,0)或(8,0).
25.解析 (1)∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBQ, ∵QM 是PB 的垂直平分线,∴∠QMB=∠PAB=90°,
∴△APB∽△MBQ,∴AP PB =BM
BQ .
∵AP=x,AB=5,∠BAD=90°, ∴BP=√bb 2+A b 2=√b 2+25,又BM=BP 2=√x 2
+252,BQ=y,AP=x,
则√x 2+25=√x 2+25
2
y
, 化简得y=25+b 2
2b (1≤x≤13). (2)如图所示,∵☉P 与☉Q 外切,∴圆心距PQ=AP+CQ=x+(13-y). ∵QM 是PB 的垂直平分线,∴BQ=PQ=y,
即y=x+(13-y),又由(1)知y=25+b 2
2b ,则{y =x +(13-y ),y =25+x 22x ,解得{x =2513,y =9713. ∴x=2513.
(3)连结EQ,∵EC=EF=4,
∠EFQ=∠ECQ=90°,EQ=EQ,
∴△ECQ≌△EFQ,∴∠EQC=∠EQF,
又DM 为BP 的垂直平分线,则可得∠PQM=∠BQM,
∴2(∠EQF+∠PQM)=180°,∴∠EQM=90°,
则可知∠EQC=∠APB,又∵∠ECQ=∠PAB=90°,
∴△APB∽△CQE,∴EC CQ =AB AP ,413-y =5x ,
代入(1)中的y=25+x 2
2x
, 整理之后可得13x 2-130x+125=0,解得x=
65±10√26
13, 检验,当x=65±10√26
13时,在定义域内,∴x=65±10√2613.。