湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点6 破解连接体中速度、位移及加速度关联

难点6破解连接体中速度、位移及加速度关联

在学习了运动的合成与分解后，我们经常会碰到涉及相互关联的物体的速度求解。这样的几个物体或直接接触、相互挤压，或借助其他媒介（如轻绳、细杆）等发生相互作用。在运动过程中常常具有不同的速度表现，但它们的速度却是有联系的，我们称之为“关联”速度。解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果分解，二是沿着相互作用的方向(如沿绳、沿杆)的分速度大小相等。下面通过三种关联媒介来破解连接体中的关联物理量的问题。

连接媒介之一：绳杆连接物体的关联 对于绳子或杆连接的两个物体，轻杆与轻绳均不可伸长，绳连或杆连物体的速度在绳或杆的方向上的投影相等。求绳连或杆连物体的速度关联问题时，首先要明确绳连或杆连物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳或杆的方向和垂直于绳或杆的方向进行分解，令两物体沿绳或杆方向的速度相等即可求出。

【调研1】【2011年高考上海卷第11题】如图，人沿平直的河岸

以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 ，船的速

率为

A 、v sin α

B 、v sin α

C 、v cos α

D 、v

cos α 【解析】本题考查运动的合成与分解。本题难点在于船的发动机是否在运行、河水是否有速度。依题意船沿着绳子的方向前进，即船的速度就是沿着绳子的，根据绳子连接体的两端物体的速度在绳子上的投影速度相同，即人的速度v 在绳子方向的分量等于船速，故v 船＝v cos α，C 对。

【答案】C

【规律总结】绳端速度的分解是绳端物体（绳端连接体如本题小船）实际速度（对地）的分解，实际速度产生两个效果：一是绳的缩短或伸长；二是绳绕滑轮的转动，且转动线速度垂直于绳。绕过滑轮的轻绳力的特点是两端拉力相等，速度特点是沿绳的伸长或缩短方向速度相等。因此绳子关联的物体的分解方法有两种，①将实际速度分解为沿着绳子方向和垂直绳子方向；②绳子两端的速度在绳子上的投影速度相同，比如本题中绳子左端的速度就是拉力的速度与绳子与船连接端的小船在绳子方向上的投影速度大小相等。

【调研2】如图所示，开始时A 、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控

制物体A 的运动，使其恰好以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮

拉动物体B 在水平面上运动，则下列v －t 图象中，最接近物体B 的运动情况

的是

A B C D

【解析】与物体A 相连的绳端速度v 分解为沿绳伸长方向的速度v 1和垂直于绳方向的速度v 2，则物体B 的速度v B ＝v 1＝v sin θ，在t ＝0时刻θ＝0°，v B ＝0，C 错；之后随θ增大，sin θ增大，B 的速度增大。在A 下落相同距离时，绳子与水平方向之间的夹角逐渐增大，显然θ增大的过程中，由正弦函数图象的斜率可知sin θ的变化率越来越小，故v B 的变化率越来越小，也就是v B －t 图线的斜率越来越小，故A 对。（也可通过数学的导数知识将v B 对时间求

导）

【答案】A

【方法技巧】 在进行速度分解时，要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线．虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v B 才等于v 1，才能找出v B 与v 的关系；而对于速度v B 的变化趋势，则可以由开始和最终作极限情况判断，排除BD 。

【调研3】如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其

端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M ，滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率v M 。

【解析】杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度v A 的方向与杆OA 垂直，在所

考察时其大小为v A ＝ωR

对速度v A 作如图所示的正交分解，沿绳BA 的分量就是物块M 是速率

v M ，则v M ＝v A cos φ

由正弦定理知sin∠OAB H ＝sin αR

由图看出∠OAB ＝π2

＋φ 由以上各式得：v M ＝ωH sin α

【误点警示】本题中与绳子连接的物体有M 和OA 杆，由于OA 杆上各点的线速度不同，但角速度相同，且与绳子连接的位置在A 处，故在处理速度关联时要用A 点的线速度进行分解。分解方法依然是沿着绳子方向和垂直绳子方向分解。 连接媒介之二：接触物体间的关联

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

【调研5】如图所示，轻杆的下端用铰链固接在水平面上，上端固定一个质量为m 的小球，轻杆处于竖直位置，同时与一个质量为M 的长方体相接触。由于微小扰动使杆向右侧倒下，当小球与长方体分离时，杆与水平面的夹角为30°，且杆对小球的作用力恰好为零，求M m

。不计一切摩擦。

【解析】在杆从竖直位置开始倒下到小球与长方体恰好分离的过程中，小球和长方体组成的系统机械能守恒，设杆长为L ，小球和长方体的速度分别为v 、u ，则

mgL (1－sin30°)＝12mv 2＋12Mu 2

分离时刻，小球只受到重力，由向心力公式及牛顿第二定律：mg sin30°＝mv 2L

此时小球与长方体的水平速度相同，即：v sin30°＝u

联立解得 M m ＝4

【拓展提升】本题中分离的瞬间小球与长方体的速度是不相同的。小球的运动参与了两个运动，两个速度分别是绕着转动点转动的线速度和与长方体一起想右运动的速度。实际上本题多给了一个条件：分离时杆对小球的作用力为零。这个条件可以这么理解：分离时长方体水平方向不受力作用，故加速度为零，则小球的水平加速度也必定为零，小球没有水平加速度，就不可能有水平的合力，此时若存在杆的弹力，则杆的弹力必定产生水平分力，出现矛盾，只有杆的弹力为零才能符合。故分离时杆的弹力为零是多余的条件。

【调研6】一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个

小球A ，靠在一个质量为m 0，高为h 的物块上，如图所示。若物块与地面

摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A 。（此时杆

与水平方向夹角为θ）

【解析】选取物体与棒的接触点B 为连结点。（不直接选A 点的原因是因为A 点

与物块速度v 的关系不明显）。因为B 点在物块上，该点运动与物块运动一致，故B 点的合速度（实际速度）就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2。因此，将这个合速度（实际速度）沿棒方向及垂直于棒方向进行分解，如图所示，由速度矢量分解图及几何关系可得：v 2＝v s in θ。

设此时OB 长度为a ，则a ＝h

sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω＝v 2a

＝v sin 2θh ，故A 的线速度v A ＝ωL ＝vL sin 2θh

。 【误点警示】本题到底是将物块的速度分解还是将B 点的速度分解是同学们的最大困惑。掌握的方法有两种，一种就是看效果：物体实际的速度分解为连接媒介的两个效果，本题中B 点一边沿着杆向上运动速度v 1，一边绕O 点转动的速度v 2；另一种就是看投影：媒介所连接的对象在媒介上的投影速度相同。

【调研7】一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度v 0匀速运

动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆

运动的速度。

【解析】设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP 方向，所以v 0、v 1在OP 方向的投影相等，即有 v 0sin θ＝v 1cos θ，解得v 1＝v 0tan θ 。

【学法指导】本题中对于杆我们能够看到的就是杆向上运动，这就是实际的运动速度方向，而半圆柱体的实际运动方向是水平向右，两个速度关联必须明确两个接触物体的弹力方向，即关联这两个速度的方法就是OP 方向的投影速度相同。

【调研8】如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角

为θ＝37°。一个“Π”的物体B 靠在斜面体的前后两侧，并可在水平面

上自由滑动而不会倾斜，B 的质量为M ＝2kg 。一根质量为m =1kg 的光滑细

圆柱体A 搁在B 的竖直面和斜面之间。现推动B 以水平加速度a ＝4m/s

2向右运动，并带动A

沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑