2015年中考数学压轴题答案及解析(全国通用)

2015年中考数学压轴题答案及解析（全国通用）
1、某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
2、如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，对称
轴为直线l：，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
3、如图①，直线l:与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线.
（1）若l:,则P表示的函数解析式为，若P:，则l表示的函数解析式
为 .
（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；
（3）如图②，若l:，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l:，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式.
（图①）（图②）（图③）
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
6、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
7、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．
（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2AD•NF=DE•DM．
8、如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．
9、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．
（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
10、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
11、如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．
12、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与轴相交于点E(8, 0 ), 抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m, 0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标(用含m的代数式表示)；
(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.
13、如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
14、如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．
15、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．
（1）求出直线AC的函数解析式；
（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．
16、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．(1)A的坐标，∠AOB= 。

(2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
(3)在(2)的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；
(4)若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17、如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．
18、1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图① ，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②‚，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
19、如图，在△ABC中，∠A BC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．
20、如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．
参考答案
1.
1、
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：≤x≤10．因为x的正整数解为3，4，5，6，7，8，9，10，所以共有8种进货方案；
（3）设总获利为W元．则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车3辆，B款汽车12辆时对公司更有利．
考点：1.分式方程的应用2.一元一次不等式组的应用．
2、（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠ABP，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠ABP，∴AP=AO；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，
，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；
（3）解：设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，
∴，即∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，由∠CBO=∠ABP，根据轴对称BC=BD=10﹣4k，
∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，∴△BCO∽△PEO，∴=，即=，
解得k=1．∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO===3．
3、 (1)P: y=- x2-x +2 ; L: y=-4x+4 (2)对称轴是直线 x=-(mn+n)/2m
(3) (-1,3.5)或(-1,8.5) (4)m=2 ; L: y=-2x+8 ; P: y=-0.25x2-x +8
4.
∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为；（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG=．
5、
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，解得：k=，b=1，
对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），∴直线BC的斜率为=﹣，设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，
与反比例解析式联立得：，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
6、解：（1）如图1，
∵⊙M与OP相切于点P，∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，∴OP=2．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．∴OK⊥PQ，QK=PK．∴PK===．∴OK==3．∴点P的坐标为（，3）．
（2）如图2，
设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，∵点P（，3）在抛物线y=ax2+6上，∴3a+6=3．
解得：a=﹣1．则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6．
（3）当直线y=m与⊙M相切时，则有=2．解得；m1=2，m2=6．①m=2时，如图3，
则有OH=2．当y=2时，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．
同理可得：AB=2．则S梯形ABCD=（DC+AB）•OH=（4+2）×2=4+2．②m=6时，如图4，此时点C、点D与点N 重合．
S△ABC=AB•OC=×2×6=6．综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6．
7、（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，
∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，
∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，
所以，sin∠DAF===；
（2）证明：在△ADF和△DCE中，
，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，
∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．
8、
，解得.
∴x1+x2=b1，x1x2=b1﹣3.
∵，
∴当b1=2时，|x1﹣x2|最小值=2.∵b1=2时，y=（2﹣b1）x+b1=2，∴直线MN∥x轴．
（3）如答图，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4.又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α.
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO.∴△ADP∽△AOD. ∴AD2=AO•AP. ∵AF=2，DF=4，∴AD2=AF2+DF2=20. ∴OP=19.∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．
9、
长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．
又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，∴∠AME=∠MCD.
∵∠MAE=∠CDM=90°，∴△MAE∽△CDM. ∴，即，解得a=1或3.
代入CM=得CM=或.∵点G与点C重合，∴MG=或.
（3）①当点M在AD上时，如答图2，过点M作MN⊥BC交BC于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a。

∴，MD=AD-AM=4-a.
∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF. ∴，即.
∴.∴.
∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG.
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG. ∴∠MGN=∠AME.
②当点M在AD的延长线上时，如图3，过点M作MN⊥BC，交BC延长线于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，∴，MD=a-4.
∵DC∥AB，∴△MAE∽△MDF.∴，即.∴. ∴.
考点：1.单动点问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4. 等腰三角形的判定和；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用.
10、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，解得，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），∴设AD为解析式为y=kx+b，有，解得，
∴AD解析式：y=2x+6，∵P在AD上，∴P（x，2x+6），
∴S△APE=•PE•y P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S取最大值．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，
∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN，∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN，设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，∵（3﹣m）2+（）2=m2，∴m=．∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，
∴P′M=．在Rt△EMP′中，∵EM==，∴OM=EO﹣EM=，∴P′（，）．
当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，∴点P′不在该抛物线上．
11、解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），
∴点P的坐标是（2，1）．∴PA的长为2．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．
∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1．
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．
∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，
∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM=OA．设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴
∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，
∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．
∴PA：PC=PN：PM=x：x=．综上所述：PA：PC的值为或．
12、（1）解：点E（8，0），AB⊥x轴，由抛物线的轴对称性可知B（4，0）点A（4，-4），抛物线经过点O（0，0），A（4,-4）、E（8,0）得，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵∠APC=90°∴∠APB+∠CPG=90°∵AB⊥PE∴∠APB+∠PAB=90°∴∠CPG=∠PAB
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA∴△ABP≌△PGC ∴PB=CG，AB=PG=4
∵P（m，0），OP=m ，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CG=︱4-m︱， OG=︱m+4︱
①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，
m＜4，4-m＞0，PB=CG=4-m∴C（m+4，4-m）
②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，m＞4，4-m＜0，∴PB=︱4-m︱=-(4-m)=m-4
∴CG=m-4 ∴C（m+4，4-m）综上所述，点C坐标是C（m+4，4-m）（3）解：如图1，当点P在OB上时
∵CD∥y轴，则CD⊥OE∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x= m+4代入
得
化简得：∴D（m+4，）
∴CD=4-m-（）=
∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD=4，∴=4 解得,
∵点P在线段OE上，∴不符合题意，舍去∴P（，0）如图2，当点P在线段BE上时，∵C（m+4，4- m）
∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x= m+4代入得
化简得：
∴D（m+4，）∴ CD=∵四边形ABDC是平行四边形∴AB=CD=4，
∴解得，∵点P在线段OE上，∴不符合题意，舍去
∴P（，0）综上所述，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为
P（，0）或P（，0）
13、解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，
解得x=6，x=0时，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴点A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），
∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20，∵﹣＜0，0＜t≤3，
∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20=；
（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=，∴=，解得t=，若∠AQP=90°，则cos∠OAB=，
∴=，解得t=，∵0＜t≤3，∴t的值为，此时，OP=6﹣2×=，PQ=AP•tan∠OAB=（2×）×=，
∴点Q的坐标为（，），综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标
为（，）．
14、（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，
∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；
（2）解：连结OD，BG，如图，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，
∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD为等边三角形，
∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周长为3；
在Rt△ADE中，AD=CD=，∴DE=AD=，AE=DE=，∵AB为直径，∴∠AGB=90°，而∠GAE=∠BAG，
∴Rt△AGE∽Rt△ABG，∴AG：AB=AE：AG，∴AG2=AE•AB=×4=6，∴AG=6．
15、
时，列出方程，解方程求出m的值均不合题意舍去；由，列
出方程，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（6，﹣4）．
试题解析：（1）由A（0，2）知OA=2，在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=，
∴y=-x2+x+2；
（3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=-x2+x+2上，∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，∴PM=m2﹣m ﹣2．
∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，∴或．
①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．当时，，
解得m1=﹣4，m2=4（不合题意舍去），此时点P的坐标为（﹣4，﹣4）；当时，，
解得m1=﹣10，m2=4（不合题意舍去），此时点P的坐标为（﹣10，﹣28）；
16、（1）（-2，-2）；45°（2分）(2)四边形ACOC′为菱形．（1分）
由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是(2，﹣4)，
∴抛物线的解析式为：y=(x﹣2)2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，（1分）
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，
∴OC===2，
同理，AC=2，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．（1分）（共3分）
(3)如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．（1分）
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，∴OG=4，C′G=2，∴点C′的坐标为(﹣4，2)，（1分）
把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；（1分）（共3分）
(4)存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，∴设Q(a，(a﹣2)2﹣4)，∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，∴=0，解得x1=6，x2=4，
∴P(6，4)或(﹣2，4)(舍去)，
∴点Q的坐标为(6，4)．（直接写出即可，2分，多写1个只得1分）
文澜中学的难度系数约0.76，全杭州市的难度系数约0.63
17、解：（1）如图1，
∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA，BC∥OA．∵A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），
∴点C的坐标为（2，4）．∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．
∴．解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．
（2）如图1，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．∴对称轴x=﹣=，设OC所在直线的解析式为y=ax，
∵点C的坐标为（2，4），∴2a=4，即a=2．∴OC所在直线的解析式为y=2x．
当x=时，y=1，则点F为（，1）．∴S2=EC•EF=×（2﹣）×（4﹣1）=．∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=．
∴S1：S2=： =23：9．∴S1与S2的比为23：9．
（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，
∵点C的坐标为（2，4），∴tan∠BOC=．∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，∴tan∠OMD==．∵点D的坐标是（0，），
∴=，即OM=7．∴点M的坐标为（7，0）．设直线DM的解析式为y=kx+b，则有，解得：
∴直线DM的解析式为y=﹣x+．∵点D与点D′关于直线O′C′对称，∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．∴点D′是直线DM与抛物线的交点．
联立解得：，，
∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（，）．设直线O′C′的解析式为y=2x+c，①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如图3，
线段DD′的中点为（，）即（﹣，），则有2×（﹣）+c=，解得：c=．此时直线O′C′的解析式为y=2x+．②当点D′的坐标为（，）时，如图4，同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+．
综上所述：当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+；当点D′的坐标为（，）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．
18、解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，∴∠B′OC′=∠BOC=90°，∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，∴∠B′OB′=∠COC′，在△BON和△COM中，∴△BON≌△COM，
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，∴AC=AB，BC=BO，∴BD=AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，∴BC′=BO′，
∴==，∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠2，∴△BDC′∽△BAO′，∴==，
∴DC′=AO′；
（3）如图③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=；
在Rt△DAC中，cos∠DAC=，∵∠EAF=∠DAC=α，∴==cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，∴==cosα．
19、（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，
又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．
20、解：（1）∵y=﹣3x﹣3，
∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，∴A（﹣1，0）；∵当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x P，﹣t）．
∵PN∥OA，∴△CPN∽△CAO，∴=，即=，
∴x P=﹣1．过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），
∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），
又∵﹣=＜3，∴当t=时，PM2最小值为，
故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．。