等比数列前n项和的性质ppt课件

答案：可以，A＝－1－a1 q. 2．等比数列前 n 项和公式 Sn＝a11－－aqnqq≠1，是否可以 写成 Sn＝Aan＋B(AB≠0 且 A≠1)的形式？
答案：可以，A＝－1－q q，B＝1－a1q.
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题型1 等比数列前 n 项和性质的应用 例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前 3n 项的和． 自主解答：解法一：设数列为{an}， 依题意，可得Sn＝10，S2n＝30. 又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)， 即S3n＝70.
993 ∴SS1150＝ 3321xx＝999932.
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2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝ －9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝___1_6___1_－___－__12_n_ ___.
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题型2 等比数列前 n 项和的综合运算 例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前 n 项和 Sn＝126，求 n 及公比 q. 自主解答：∵a1an＝a2an－1＝128， 又a1＋an＝66， ∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 解方程得x1＝2，x2＝64， ∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
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若a1＝2，an＝64，由a11－－aqnq＝126， 得2－64q＝126－126q，∴q＝2. 由an＝a1qn－1，得2n－1＝32，∴n＝6. 若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝12，n＝6. 综上所述，n的值为6，公比q＝2或12.
解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出 a1，an，要注意a1，an有两组解．
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掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
练习2：Leabharlann Baidu正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4 的值为( A )
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解法二：∵S2n≠2Sn，∴q≠1. 由已知，得
a111－－qqn＝10， ① a111－－qq2n＝30. ②
由②÷①，得1＋qn＝3，
即qn＝2.
③
将③代入①，得1－a1 q＝－10. ∴S3n＝a111－－qq3n＝－10×(1－23)＝70.
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与Sn有关的性质主要是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 的关系．在与Sn 有关的运算中，经常用到两种技巧，①两式相 除法；②整体代入法，但都不要忽略对q 的讨论．
练习4：在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18，
a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8=( A )
A．480
B．493
C．495 D．498
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1．等比数列前n项和公式Sn＝
a11－qn 1－q
q≠1
，是否可以写成
Sn＝A(qn－1)(Aq≠0且q≠1)的形式？若可以，A等于什么？
2 1
q4＝1，因此a1＝
1 q2
.又因为S3＝
a1(1＋q＋q2)＝7，联立两式有
1q＋3
1q－2
＝0，所以q＝
1 2
，所
以S5＝4×1－1－12 215＝341.
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题型3 等比数列前 n 项和的实际应用 例3：小君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若 存入银行年利率为 6%，若购某种股票年红利为 24%，不考虑 物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公 司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行． (1)求小君购股票或储蓄 x 年后所拥有人民币总额 y 与 x 的 函数关系式； (2)问：经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等 (lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg1.06＝0.025 3)?
(2)由1.06x·a＝4(1.06x－1)a，得1.06x＝
4 3
，两边取以10为底
的对数，得 x＝lgl4g－1.0l6g3＝0.60200.0－2503.477 1≈4.936 8.
由a4与2a7的等差中项为54知：a4＋2a7＝2×54，∴a7＝14.
∴q3＝aa74＝18，即a1＝16，q＝12. ∴S5＝31.
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4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已 知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( B )
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31
A. 2
B. 4
33
17
C. 4
D. 2
解析：由a2a4＝1，可得a
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【变式与拓展】
1．在等比数列{an}中，a1＝－1，前n项和为Sn，若
S10 S5
＝
3312，求SS1150的值．
解：∵SS150＝3312，∴设S10＝31x，S5＝32x，且x≠0. 则S10－S5＝31x－32x＝－x. 又(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， ∴S15＝S10－S5 S52＋S10＝－32xx2＋31x＝93923x.
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自主解答：(1)设小君有人民币 a 元，若长期储蓄，则 x 年
后人民币总额为 y＝a(1＋0.06)x，即 y＝1.06x·a.
若购买股票，则 x 年后利息和红利总额为
y ＝[0.24 ＋0.24(1 ＋0.06) ＋0.24(1 ＋0.06)2 ＋…＋0.24(1 ＋
0.06)x－1]a，
即 y＝4(1.06x－1)a.
A．28
B．32
C．35 D．49
2
2．在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，S偶与 S奇分别为
偶数项和与奇数项和，则S偶 S奇
＝___q___.
练习3：已知等比数列{an}中，公比 q＝3，a1＋a3＋a5＋a7
＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝__1_2__，a3＋a5＋a7＋a9＝__3_6__.
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【变式与拓展】
3．(2010 年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若 a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为—54 ，则 S5＝( C )
A．35 B．33
C．31
D．29
解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知： a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.