镜像法3

§2.4 镜象法
根据前面的内容讨论知道，在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，且用Poisson's equation 求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的一个问题。

解决这类问题的一种特殊方法—称为镜象法。

1、镜象法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。

在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？
光学理论给我们的启发，看过哈哈镜的人会有这样的印象：平面镜内的象与物大小一样，凸面镜内的象比物小，凹面镜内的象比物大。

当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。

2、镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。

其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”
来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。

在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson's equation or Laplace's equation 和边界条件决定。

这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson's equation or Laplace's equation。

因此，在所研究的场域内不可放置象的电荷，也就是说，象电荷必须放在研究的场域外。

b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。

也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。

并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。

c)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。

而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。

d)镜象法所适应的范围是：①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。

3、镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行：
a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；
b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；
c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；
d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等
下面按界面形状的不同分类举例讨论：
（1）界面为平面的情况
[例1]接地无限大平面导体板附近有一点电荷，其电量为Q，距板a处，求空间中的势分布。

根据静电屏蔽可判定接地导体板左半空间没有电场。

半空间的电场是Q及S面上的感应电荷面密度共同产生的。

以假想的点电荷Q'等效地代替感应电荷，右半空间的电势必须满足以下条件：
x
为了满足方程（1），假想的电荷Q'必须在左半空间内，这样才能使原方程不变，由（2）、（3）
可求出Q'的位置及大小，等效图为
因此，在右半空间任一点的电势为
这里因为
故有
由（3）式得到，要使该式成立，只有
故得到
x
)
▲如果导体板不接地，左半空间有电场存在。

这时左、右两半空间的电势必须满足以下条件：
▲现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况：
根据导体平衡条件，导体面上有, 所以
其中
故
可见与Q 异号，这是合理的。

▲进一步求无限大导体面上的总感应电荷Q感：
因为S 板面在y , z平面上，所以
故
可见，导体板面上总感应电荷Q感恰好等于点是荷Q的电量。

▲最后，求点电荷Q受到的作用力：
因为力密度
而
所以总力为
故有
这正好说明是源电荷Q与象电荷的库仑力（吸引力）
[例2] 在无穷大空间中充满介电常数为和的两种均匀电介质，其分界面为平面。

设在介质中放一点电荷Q，其所在位置距分界面为a，试求二介质中的电势分布。

解：
设中电势的，中的电势为，并满足如下定解条件：
处理问题的方法是：
a) 求空间的电势
时，设想将半空间换
成与半空间一样，而以假想的电荷Q'来代替分界面上极化电荷对半空间的场的影响；
b) 求半空间的电势时，设想将半空间换成半空间一样，而以假想的电荷Q"来代替Q 和分界面上的极化电荷对半空间场的影响。

由此可见：
在x>0的区域，空间一点的电势为
在x<0的区域，空间任一点的电势为
由（5）式得
即有
故得
再根据电荷守恒守律：Q=Q'+Q" (9)将（9）式代入（8）式，即有
要使该式成立，必有
b=c=a (10)
再根据（4）式，则有
即
由此可见：
从而得到：
故最终得到
x>0区域电势为：
x<0区域电势为：
▲分界面为介质时，镜象法与光路图比较：
根据光的反射可找到Q' 的大小和位置；根据光的 折射可找到Q"的大小和位置，（但严格说来光线 在不同介质内传播，其方向有所改变。

这里仅仅是 理想化的，根据实际问题类比思维）。

2）界面为球面的情况
[例3] 有一半径为R o 的接地导体球，距球心为a (a >R o )
处有一点电荷Q ，求空间
的电势分布。

Solution:
取球心为坐标原点，球心到点电荷Q 的方向为x 轴，设Q 的坐标为（a,0,0)。

根据静电平衡条件（现象）。

球内的电势为零。

故只讨论外空间的电势即可。

球外空间的电势由Q 及球面上感应电荷共同激发的，其电势所满足的定解条件为：
Q
用一个象电荷Q'来代替球面上的感应电荷，为了不改变原方程，Q' 必须在球内，并距球心为b ，故等效为：
球外空间一点的电势为
在b < R 0的区域，不论Q ‘取任何值，其解都满足方程和在无穷远处的边界条件。

现在的问题是如何调
整Q ’和b 的数值使得解也满足（2）式。

因此，把（2）式用于其解，
则
则有
移项得到
x
式中，左边为一常数，右边含有变量，对任何值都要使上式成立，只有使两边都等于零，即
由（4）式得
将（6）式代入（5）式得
即
解此二次方程，得到
将此代入（6）式，即有
分析这里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此时Q'在球外空间，改变了原方程，故b=a 及Q'=±Q
应该舍去。

又由于（2）式的要求，不符合要求。

至此只
有
才是符合要求的解 因此，球外空间任一点的电势为
▲球面上的感应电荷面密度：
▲总感应电荷为
即感应电荷的大小等于象电荷Q'的大小。

根据Gauss 定理，对球作Gauss 面，即
式中的
是象电荷Q' 和真实电荷Q 共同产生的，
即
,
故：
Q
Q感=Q'
即感应电荷的电量Q感等于象电荷的电量Q'。

根据上述例子，作如下几点讨论：
a) 导体球既不接地又不带电
这种情况与[例3]的差别仅在于边界条件，这里
导体球不带电，即要求满足电中性条件
显然，[例3]的解（8）式不满足电中性的条件，如果在球内再添置一个象电荷
，
则满足电中性条件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q"必须放在球心处，于是
再由
得到
b)导体球不带电其电势的U0
这种情况与[例3]的差别仍然在边界条件，这里
U0是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为的点电荷，显然，其解为
由
得到
c)若点电荷Q在导体球壳内距球心a处
这时与[例3]的情况相比，仅是源电荷的位置由球外搬进到球内。

此时，接地球壳外无场强，场的区域在球内。

故可根据光路可逆性原理来解释：
球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）—象电荷Q'（在球外处）产生的电势：
这里要注意：象电荷的电量Q'大于源电荷的电量Q，球内的电势与导体球是否接地、是否带电无关。

d) 若导体球带电q 但不接地
这种情况的物理模型为：
则球心有电荷（q - Q') ，则P 点的电势为
由
得到
▲顺便计算导体对点电荷Q 的作用力：
此时，源电荷Q 所受到的作用力来自球面上的电荷，即
x
从而得到
▲当a >>R 0 ，，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力；
▲当Q 靠近球面时， ，此时不论q 与Q 是否同号，作用力永远为引力，这可由在Q 附近的
感应电荷与其反号来解释。

例4] 均匀场中的导体球所产生的电势 。

由于静电屏蔽，场区域只能在球外。

Q'
Q
Solution:
本题的物理图象是在原有的均匀电场中
放置一中性导体球。

此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。

由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。

第一步：用两个点电荷±Q激发一均匀场
点电荷±Q放在对称轴z= ±a处，a很大，Q也很大，在坐标原点附近的区域内。

第二步：将一中性导体球放在均匀场中
这样一来，±Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即
此时+Q在球面上感应的电量为，-Q在球面上感应电量为，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。

根据唯一性定理，导体球外的电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即
因为a>>R，，则选略去
和
即
又因为皆为小量，
应用展开式
则有
令 , 则
的第一项恰好等于一个原均匀场以o点为参考点电势。

第二项恰好等于位于o点的电偶极矩
为的电偶极子的电势。

3）界面为柱面的情况
[例5]有一线电荷要密度为η的无限长带电直线与半径为R0的接地无限长导体圆柱轴线平行。

直线与圆柱轴线的距离为a (a>R0), 试求空间的电势分布。

Solution:
由于导体柱面把整个空间分成柱内、柱外两个区域，而柱内有
，柱外区域电势满足定
解条件：
处于带电直线的电场中的导体圆柱，其柱面上要出现感应电荷，空间任一点的电势 就是带
电线和感应电荷分别产生的电势的迭加。

现在，假定导体圆柱面的感应电荷密度为
，到轴线的距离为b ，由于原带电直线不仅带电（均
匀）而且是无限长的，导体圆柱也是无限长的，故垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，即是一个二维场，因此可取一个垂直于柱轴的平面来讨论,即
（如右图)
若取oa 连线与圆柱面的交点为电势参考点, 则圆柱外空间任一点的电势为
其中
x
由（2）式得
即
要使该等式成立，必有
由（4）式，即有
比较两边系数，即
由（6）式得
化简（7）式得到：
解这下一元二次方程得到,其中b1=a不符合物理要求。

故有：
因而柱面外任一点的势为
（4）界面为劈形的情况
[例6]有两个相交的接地导体平面，其夹角为，若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷，求下列情况下所夹区域内的电势：
Solution:
从上面的例子可以看出，用镜象法处理问题时，只要象电荷都放在所
考虑的区域之外，就不会改变电势在该区域内所满足的泊松方程。

故检验
解是否正确的关键是看它能否满足全部边界条件。

▲下面按夹角不同情况分别讨论其电势分布情况。

a 、
所考虑的区域内，势满足定解条件。

为了使A 板的电势为零，应在以A 板为对称面，将A 板上的感应电荷以象电荷-Q 放置在与源电荷
Q 对称的位置“1”处，要使B 板的电势为零，应以B 板为对称面，将B 板上的感应电荷以象电荷-Q 放置
在与源电荷Q 对称的位置“2”处，而且还需在“1”相对于B 板的对称位置“3”处放置+Q 的象电荷，才能保证
，不难看出，此时也满足
, 于是所考虑区域内任一点的电势
为
b 、
要保证
A
+Q
则必须有5个象电荷，其位置，大小和符号如图示，于是所求区域内电势为
c 、
要保证
则必须有7个象电荷，故电势为
一般说明：只要满足
偶数的情形，都可用镜象法求解，此时象电荷的个数等于
，加上原来的电荷总共有
个，这些点电荷都在过原点电荷与两导体面的交线垂直
面内。

而且都在此垂面与交线的交点为圆心，交点到原点电荷处的距离为半径的圆周上。

若不满
足该条件，则象电荷在所求区域内，改变了原方程，否掉。

A
+Q
-Q
十电轴法
分析长直两平行带电圆柱导体的电场(见图1—31)具有实际意义，因为这种形式的导体在电力传输和通讯等工程中有着广泛的应用。

但由于两圆柱导体表面上所带电荷的分布并不均匀，且是未知的，已知的通常是沿轴向单位长度表面上所带总电荷分别是+τ和—τ。

所以直接求其引起的电场是有困难的。

图1－31
对于两圆柱导体外部空间的电场，可以设想将两圆柱导体撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电细线。

如图1—31中相距为2 b(b的数值待定)的两根电荷线密度分别为+τ和—τ的带电细线。

它们所在的轴线就是电轴，所以这种方法称为电轴法。

在两圆柱导体外部任一点上，由+，和—r共同引起的电位是
（1－85）
图1—31中圆柱导体的半径a，轴心到原点的距离h，电轴到原点的距离b三者之间也应满足(1—87)式表达的关系，即
（1－88）
上述分析是在已知两圆柱导体表面上沿轴向单位长度所带总电荷量分别为+τ和—τ情况下进行的。

然而，对于已知两圆柱导体间电压为U。

的大多数情况两圆柱导体外部空间中的电位又可表示成
（1－89）。