史上最详细的平面曲线的弧长公式计算(微积分)[优质PPT]

2
a
计算介于 x b 与 xb 之间一段弧长度.
解 y ach x , y sh x
a
a
y a
1 ( y)2
1
shx
2
a

ch
x a
b O
bx
所求弧长为
s bchxdx2 bchxdx2ashxb 2ashb.
b a
0a
a0
a
4
7.4 平面曲线的弧长
解
星形线的参数方程为

y

a
sin
3
t
(0t2π)
对称性
y
s4s1 第一象限部分的弧长
π
a
4 2 (x)2(y)2dt 0 π
aa
O
x
a
4 23asintcotdst 0
6a.
7
7.4 平面曲线的弧长
例 证明正弦线 y a sx i( 0 n x 2 π ) 的弧长
AB的
弧长(长度). 光滑曲线弧是可求长.
2
7.4 平面曲线的弧长
二、直角坐标情形
设曲线弧为y = f (x)
y
y f (x)
(axb),其中f (x)在
[a, b]上有一阶连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取积分变量为x, 在[a, b]上
dy dx
o ax xdxb x
任取小区间 [x,xdx],以对应小切线段的长代替小
等于椭圆 y x c1o tas2sitn (0t2π)的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1 对称性
π
s120
1y2dx2π 0
1a2co2xsdx
设椭圆的周长为s2
π
s220
(x)2(y)2dt2π 0
(st)i2 n (1a2)(c t)2d o t s
一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够, 必须保证曲线光滑才可求长.
1 33
asi
n
2

co
s
3 3
10
7.4 平面曲线的弧长
例 求阿基米德螺线 ra(a0)上相应于
从0到2π的弧. 长
2πa
解
o
x

s
r2()r2()d
2π

2π
a22a2da
21d
0
0
a [2 π1 4 π 2 ln 2 π (1 4 π 2)]. 2
()参为数参方数程的
弧长元素为 ds(dx)2(dy)2 r2()r2()d
弧长 s r 2( ) r2( )d . 9
7.4 平面曲线的弧长
s r 2( ) r2( )d
例 求极坐标系下曲线 r asin 3的长.
π
2
1a2co2td st
0
π
2
1a2co2xsdx
s1 .
0
8
7.4 平面曲线的弧长
四、极坐标情形
曲线弧为 rr()()
其 r(中 )在 [,]上 具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
x

y

r cos r sin
x r()cos y r()sin
x2 a2dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C
2
2
11
7.4 平面曲线的弧长
四、小结
平面曲线弧长的概念
直角坐标系下 求弧长的公式 参数方程情形下
极坐标系下
12
7.4 平面曲线的弧长
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否
7.4 平面曲线的弧长
7.4平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形 小结思考题作业
7.4 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线 y
Mi

弧上的两个端点, 在
M 2 M 1
弧上插入分点 AM0,
M1, ,Mi,,Mn1,

A M0
Mn1

B Mn
长度的近似值, 即弧长元素为
ds (dx)2(dy)2 2(t)2(t)dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt. 6
7.4 平面曲线的弧长
s 2(t) 2(t)dt
例 求星形线 x23y23a23(a0)的全长.
x a cos3 t
0 2 2
22
nπsintcotsdt4n.
0 2 2
5
7.4 平面曲线的弧长
三、参数方程情形
曲线弧为

x y


(t ), (t)
(t)
其中 (t),(t)在[a, b]上具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取参数t为积分变量, 其变化区间为 [,]. 对应于 [,]上任一小区间 [t,tdt]的小弧段的
x
s b 1 y2dx a
例 计算曲线 y n n sind的弧长 (0xnπ). 0
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1sinnxdxdnxx0π
n0πt
ndt
π
0
1sint ndt
π
n
sit n 2 co t 2s2sitc no td ts
弧段的长, 小切线段的长为:
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx, 弧长 s b 1 y2dx.
(弧微分)
a
3
7.4 平面曲线的弧长
(cx h)sx h cx hdxsh xCs b 1 y2dx a
例 悬链线方程 ya(exaexa)ach x
3
(a0)(03π)
解

s
r2()r2()d
3π

a2 sin 6a2 sin 4 co 2 s d
0 3 3 3
a 3πsin2d 3 πa .
0 3
2
r 3asin32 cos
MnB,依次用弦将 O
xLeabharlann Baidu
相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 记每条弦
的长度为 |M i 1 M i|i, 1 ,2 , ,n ,令 m 1 i n|M ai 1 x M i|.
如果当分点无限增加, 且 0时 ,折线长度的极限
n
lim |
0 i1
Mi1Mi |存在 ,则称此极限为曲线弧