第十章静电场中的导体与电介质2015版答案

线上电荷线密度为，试求垂足 O 点处的感生电荷面密度．
【解析】
如图取坐标，导体板内 O 点左边邻近一点，半无限长带点直线产生的场
强为：
E0
d
dx 4 0 x2
i
4 0d
i
6
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《大学物理Ⅰ》答题纸 第十章
导体板上的感应电荷产生的场强： E0'
介质。电容器接在电压 U=16V 的电源上，试求距离轴线 R =3.5cm 处的 A 点 的电场强度和 A 点与外筒间的电势差。 【解析】
设内外圆筒的电荷线密度为+ 和- ，由高斯定理得两圆筒间的电场强度为
两圆筒的电势差为 因此
E 2 0 rr
U
R2
E
d
r
R2
dr
ln R2
R1
R1 2 0 r r 2 0 r R1
壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 rc，所以 A 球的电势为U q 。 4 0 rc
4、（自测 14）（自测 14）有三个点电荷 q1、q2 和 q3，分别静止于 圆周上的三个点，如图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷 系统的相互作用电势能 W＝
．
【提示】 该电荷系统的相互作用电势能等于把这三个点电荷依次 从现在的位置搬运到无穷远的地方，电场力所作的功。 5、（自测 16）在相对介电常量r = 4 的各向同性均匀电介质中，求：与电能密度 we =2×106 J/cm3 相应的电场强度的大小 E=3.36×1011 V/m。[真空介电常量 0 = 8.85×10-12 C2/(N·m2)]
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第十章 静电场中的导体和电介质
一．选择题
［B］1、（基训 2） 一“无限大”均匀带电平面 A，其附近放一与它平行的 有一定厚度的“无限大”平面导体板 B，如图所示．已知 A 上的电荷面密度 为+ ，则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感生电荷面密度为：
【解析】
we
1 2
DE
1 2
0
r
E
2
E 2we =3.36×1011 V/m 0 r
6、（自测 20）A、B 为两个电容值都等于 C 的电容器，A 带电量为 Q，B 带电量为 2Q，现
将 A、B 并联后，系统电场能量的增量 W ＝ Q2 / 4C
【解析】
A、B 并联后，系统的等效电容为 2C，带电量为 3Q，因此，系统电场能量的增量为
的点电荷。如图 16 所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷 q 为：
(A) 0．
(B) q ． 2
(C) - q ． 2
(D) q．
【解析】利用金属球是等势体，球体上处电势为零。球心电势也为零。
q dq
q
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0 4oR 4o 2R
R d
O
q
1
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(A)
0
(B)
0 r
(C)
2 0
(D)
r
【解析】 介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为 的无限大平行平面，由叠加
原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为
E 2 0 2 0 0
［B ］6、（自测 9）三块互相平行的导体板，相互之间的距离 d1 和 d2 比 板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面
q U内 40a
（3）球心 O 点处的总电势是由点电荷 q，球壳内、外表面电荷在 O 点产生的电势叠加。
4
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Uq
q 4 0 r
,U内
q 4 0 a
,U外
Qq 4 0b
U
1 4 0
q r
q a
Q b
q
3、（基训 25）三个电容器如图联接，其中 C1 = 10×10-6 F，C2 = 5×10-6 F，C3 = 4×10-6 F， 当 A、B 间电压 U =100 V 时，试求： (1) A、B 之间的电容；
根据公式F Eq q q,C 0S 可求得极板上的电荷；
2 0 S
d
根据公式U E ' d q d可求得两极板的电势差。 0S
C1
C2
3、（自测 13）带电量为 q，半径为 rA 的金属球 A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB 和
rC 的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度是 qr /(4 0r3 ) ，若用
（2）两极板上带电荷±Q，抽出导体板之前W1
1 Q2 2C
1 Q2 2d 2 3 0S
抽出导体板之后
1 Q2 1 Q2d W2 2 C0 2 0S
外力需作功
A外＝W
1 6
Q2d 0S
6、（自测 25）如图，有两根半径都是 R 的“无限长”直导线，彼 此平行放置，两者轴线的距离是 d (d≥2r)，沿轴线方向单位长度上 分别带有+λ 和-λ 的电荷．设两带电导线之间的相互作用不影响它 们的电荷分布，试求两导线间的电势差。 【解析】 设远点 O 在左边导线的轴线上，x 轴通过两导线轴线并与之垂直， 在两轴线组成的平面上，在 R<x<(d-R)区域内，离原点距离 x 处的 P 点场强为
2、（基训 21）如图所示，一内半径为 a、外半径为 b 的金属球壳，带有电荷 Q，在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电荷 q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷．(2) 球心 O 点处，由球壳内表面上电荷产生的 电势．(3) 球心 O 点处的总电势． 【解析】 （1）球壳内空间点电荷 q 偏离圆心，使得球壳内表面电荷分布不均匀，但球 壳内表面上感应生成的负电荷总量由静电平衡条件得知应为-q，球壳外表面 处电荷分布不均匀，外表面处总电量为 Q+q。 （2）球心 O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势为：
上电荷面密度分别为 1 和 2 ，如图所示．则比值 1 / 2 为:
(A)d1/d2
(B)d2/d1
(C) 1
【解析】外面两板相连时为等势体，
(D) d22/d21
U Ed 1d1 2d2
0
0
二、填空题 1、（基训 11）在静电场中有一立方形均匀导体，边长为 a．已知立方导体
中心 O 处的电势为 U0，则立方体顶点 A 的电势为U0 。
(2) 当 C3 被击穿时，在电容 C1 上的电荷和电压各变为多少？ 【解析】
(1)
CAB
C12C3 C12 C3
(C1 C2 ) C3 C1 C2 C3
3.16F
(2)如果当 C3 被击穿而短路，则电压加在 C1 和 C2 上，
A U
B
C1 C2 C3
U1 100V , q1 C1U1 1103C
【解析】原来两球壳未连起来之前，内、外球的电势分别为
V1
q1 4π 0R1
q2 4π 0R2
V2
q1 4π 0 R2
q2 4π 0 R2
用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为 R2 的 均匀带电球面，因此其电势为
V
q1 q2 4π 0 R2
V 2
［C］3、（基训 6）半径为 R 的金属球与地连接。在与球心 O 相距 d =2R 处有一电荷为 q
【解析】静电场中的导体为等势体。
2、（基训 14）一空气平行板电容器，电容为 C，两极板间距离为 d．充电后，两极板间相
互作用力为 F．则两极板间的电势差为 2Fd / C ，极板上的电荷为 2FdC ．
2
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【解析】求两极板间相互作用力对应的电场强度 E 是一个极板的电场强度，而求两极板间 的电势差对应的电场强度 E’是两个极板的电场强度叠加。
则 A 点的电场强度大小为
20 rU ln(R2 / R1)
方向沿径向向外。 A 点与外筒间的电势差为
U EA R ln(R2 / R1) 998 V/m
U R2 E d r U
R2 d r U ln R2 12.5V
R
ln(R2 / R1) R r ln(R2 / R1) R
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q dq q
o 4 oR 4 o 2R
q q R 2R
q q 2
［C］4、（基训 8）两只电容器，C1 = 8 F，C2 = 2 F，分别把它们充电到 1000 V，然后
将它们反接(如图 10-8 所示)，此时两极板间的电势差为：
(A) 0 V ．
(B) 200 V． (C) 600 V．
0 2 0
i
由场强叠加和静电平衡条件，该点合场强为零，即 -
2 0
-
4 0d
0 。即 0
两极板间电势差为
E 2 0 r r
电容器的电容为
R2
U
dr
ln R2
R1 2 0 r r
2 0 r R1
（2）电容器储存的能量为
C q 2 0 r L U ln R2 R1
W 1 Uq 2 L ln R2
2
4 0 r R1
5、（自测 21）一空气平行板电容器，极板面积为 S， 两极板之间距离为 d．试求∶(1) 将 一与极板面积相同而厚度为 d / 3 的导体板平行地插入该电容器中，其电容将改变多大？(2) 设两极板上带电荷±Q，在电荷保持不变的条件下，将上述导体板从电容器中抽出，外力需 作多少功？ 【解析】
4、（基训 27）一圆柱形电容器，内圆柱的半径为 R1，外圆柱的半径为 R2，长为 L [L >> (R2 – R1)]，两圆柱之间充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质．设内外圆柱单位长度上 带电荷(即电荷线密度)分别为和-，求：(1) 电容器的电容；(2) 电容器储存的能量． 【解析】 （1）圆柱体的场强分布为
(D) 1000 V
【解析】
Q Q1 Q2 C1U C2U 6 10 3 C
U'
Q C'
Q C1 C2
6 103 C 1105 F
600V
［A］5、（自测 6）一平行板电容器充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质，已知介 质表面极化电荷面密度为 。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为:
（1）设导体板两侧离二极板的距离为 d1 和 d2，空隙中场强为 E0，导体板中静电平衡
5
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时场强为零。则两极板的电势差为
平行板电容为
U
E0d1 E0d2
0
d1
d2
q 0S
d d3
C q 3 0 S U 2d
导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为 q /(4 0rC ) 。（设无穷远处电
势为零） 【解析】过 P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出 异种，但是高斯面内只有电荷 q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0，可得 P
点的电场强度为 E q 。 40r 2
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷 q．用导线将 A 和 B 连 接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球
E
E
E
2 0 x
2 0 d
x
则两导线间的电势差
U
d R
Edx
R
d R R
2 0
x
2
0
d
xdx
d R
ln x ln(d x) ln d R
2 0
R
0
R
附加题：
1、（基训 28）一接地的"无限大"导体板前垂直放置一"半无限长"均匀带
电直线，使该带电直线的一端距板面的距离为 d．如图所示，若带电直
3
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《大学物理Ⅰ》答题纸 第十章
W
W W
1 2
(3Q)2 2C
Q2
2C
(2Q)2 2C
Q2 4C
三、计算题 1、（基训 20）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分
别为 R1 = 2cm，R2 = 5cm，其间充满相对介电常量为 r 的各向同性、均匀电
+ AB
[B]2、（基训 5）两个同心的薄金属球壳，半径为 R1，R2（R1<R2)，若分别带上电量 q1 和 q2 的电荷，则两者的电势分别为 V1 和 V2（选择无限远处为电势零点）。现用细导线
将两球壳连接起来，则它们的电势为:
(A)V1
(B) V2
(C)V1+V2
(D) (V1+V2)/2
(A) 1 = -， 2 = +．
(B) 1 = 1 ， 2 = 1 ．
2
2
(C) 1 = 1 ， 1 = 1 ． (D) 1 = -， 2 = 0．
2
2
【解析】 由静电平衡平面导体板 B 内部的场强为零，同时根据原平面导体
板 B 电量为零可以列出
1S+ 2S=0
1 2 0 2 0 2 0 2 0