连续系统振动(b)-梁的弯曲振动.

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பைடு நூலகம்
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
固有频率和模态函数
变截面梁：
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S f ( x , t ) m( x, t ) 2 2 2 x x t x
讨论梁的自由振动 2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S 0 2 2 2 x x t
机械振动理论
连续系统的振动
• 一维波动方程
• 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法
• 有限元法
2018年10月24日 《振动力学》 1
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
• 梁的弯曲振动
细长梁的横向弯曲振动 动力学方程
y
f ( x, t )
m( x , t )
0 梁参数： 单位体积梁的质量 E 弹性模量 I 截面对中性轴的惯性积
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y( x, t ) aii ( x) sin(i t i )
2018年10月24日 《振动力学》
i 1
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
y( x, t ) 0
挠度和截面转角为零
y ( x, t ) 0 x ( x) 0
x0 或 l
( x) 0
（2）简支端
y( x, t ) 0
挠度和弯矩为零
( x) 0
( x ) 0
2 y ( x, t ) M EI 0 x0 或 l 2 x
（3）自由端 弯矩和剪力为零 M 2 y ( x, t ) F 0 x0 或 l M EI 0 s 2 x x (年 x10 )月 24 0日 ( x ) 0 y ( x, t ) ( x ) q (t ) 2018
( 4) ( x) 4 ( x) 0 ( x) C1 cosx C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
无穷多个
y (i ) ( x, t ) aii ( x) sin(it i )
a i 和 i由系统的初始条件确定
Fs
M
m( x, t )dx
M Fs dx x
M dx x
2 y Sdx 2 t
dx
Fs
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： M dx 2 y dx （M dx) M Fs dx f ( x, t )dx Sdx 2 m( x, t )dx 0 x 2 t 2 M m( x, t ) 略去高阶小量得： Fs x
dx
Fs
2018年10月24日 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f ( x, t )dx
力平衡方程 ：
F 2 y Sdx 2 ( Fs s dx) Fs f ( x, t )dx 0 t x
Fs 2 y f ( x, t ) S 2 x t
x
dx
x
f ( x, t )dx
微段受力分析
2 y Sdx 2 : t
Fs , M :
截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩
M
Fs
m( x, t )dx
M Fs dx x M dx x
f ( x, t )dx :
m( x, t )dx :
2 y Sdx 2 t
2 y ( x, t ) 材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M ( x, t ) EI x 2
变截面梁的动力学方程：
2 2 2 y ( x , t ) y ( x, t ) 2018年10月24日 [ EI ] S f ( x , t ) m( x, t ) 2 2 2 《振动力学》 x x t x
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
变截面梁的动力学方程：
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S f ( x, t ) m( x, t ) 2 2 2 x x t x
等截面梁的动力学方程：
4 y 2 y EI 4 S 2 f ( x, t ) m( x, t ) x t x
x
S 梁横截面积
外部力： m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 假设：
梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内 梁在该平面作横向振动（微振）, 这时梁的主要变形是弯曲变形
在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响
2018年10月24日 《振动力学》
根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
代入自由振动方程：
( EI ) 2 S 0
( 4) 4
4
EI 2 a 等截面梁： ( x) ( x) 0 a0 S 通解： ( x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
2 0
2
月 24日 可通过梁的边界条件确定 Ci (i2018 1年 ~10 4 )和 《振动力学》
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
等截面梁：
主振动：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
4 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) EI S 0 4 2 x t
欧拉－伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）
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连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩
令： y(x,t): 距原点 x 处的截面在 t 时刻
的横向位移
y
f ( x, t )
y( x, t )
0
m( x , t )