第二章 静电场

练习： 1、均匀电荷体密度为ρ的球体，半径为a，求其在真空中场分布。 2、求带电量为q，半径为a的带电球体的空间场分布。
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高斯定理描述的是一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间
的关系。要分析一个点的情形，需要用微分形式。如果闭合面内
的电荷是密度为ρ的体分布电荷，则高斯定理可以写为：
V ρdV 又有散度定理： ( A )dV A dS S V 1 E dS EdV V ρdV S V ε0 q E dS ε0 S 1 S E dS ε 0 ρ E ε0
体积V是任意 微分形式的高斯定理 静电场是有散场
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例 3： 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
a2 E er E0 2 ( r a ) r 3 r r E e E 5 3 3 (r a) r 0 2a 2a
求电荷分布。
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解：由高斯定理的微分形式 E 0
， 得电荷密度为
0 E
用球坐标中的散度公式
1 ( r 2 Ar ) 1 (sin A ) 1 A A 2 r r r sin r sin
可得
ρ 0( r a ) 15 2 2 ρ ε o E0 3 ( a r )( r a ) 2a
真空中静止点电荷Q 激发的电场：
r
例1、求点电荷的电场分布。 解：用库仑定理： Q对q的作用力FQq Qq e 2 Qq 4 πε 0 r FQq
q
Q
Q Q在q点的场强 Eq e 2 Qq q 4 πε 0 r
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如果电荷是连续分布，密度为 (r ) ,它在空间 任意一点产生的电场为：
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其中，α 0＝ arctan(
德国数学家和物理学家高斯曾从理论上证明，静电场中任一闭 合曲面上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量 间存在着确定的量值关系，这一关系被称为高斯定理。
( c )、高斯定理： q E dS ε0 S
r
E
高斯面
r
(*)
点电荷的结构具有球对称性，当点电荷位于坐标原点时， 产生的电场分布与球坐标的方位角υ和θ无关，E线呈放 射状从原点向外辐射。 (*)左边＝ E dS＝ E en ds＝ Eds＝E ds＝E 4 πr 2
第二章：静电场
主要内容: 理解电场强度和电位的定义、电场强度与电位间的 关系；了解静电场中的导体和电介质；掌握静电场的基 本方程及电场强度、电位在不同媒质分界面的边界条件， 泊松方程和拉斯方程。
Coulomb定律与静电场
1 Coulomb定律
q1
真空中任意两个静止点电荷q1 和q2之间作用力的大小与两电
电场
静电场：自由空间中相对于观察者静止、并且不随时间变化的 电荷产生的电场称为静电场。
Coulomb定律与静电场
◆电场强度 空间某点电场强度定义为置于该点的单位 点电荷（又称试验电荷）受到的作用力：
F r E r lim q0 0 q 0
点电荷：对于无界自由空间中，位于坐标原点的点电荷q在相 距r处引起的电场，相当于将电荷量q想象集中在几何点上。
qi q j R ij
3 4 πε 0 Rij
多个电荷体系中电荷 qi 受到的作用力是系统
中除 qi 以外的电荷与该电荷单独存在时作用
力之矢量代数和，满足线性叠加原理。
电场与电场强度
◆实验证明，任何电荷在其所 处的空间中激发出对置于其 中别的电荷有力作用的物 质，称为电场。由静止电荷 激发的电场称为静电场。
(ri ' )Vi
E(r)
i 1

ρ(ri ) ΔVi Ri 4 πε0 Ri3
'
ρ(r ' )R dV 3 4 πε0 R V dq R 4 πε0 R 3
小体积元中的电荷产生的电场
q 体电荷分布： ( r ' ) lim C / m 3 ; 某体积中的总电量：q ( r ' )dV V 0 V V q 面电荷分布： ( r ' ) lim ；面分布总电量：q ( r ' )dS S 0 S S q 线电荷分布： ( r ' ) lim ；线分布总电量：q ( r ' )dL l 0 l L
R12
q2
F12
荷的电荷量成正比，与两电荷
距离的平方成反比；方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相互 排斥，异性电荷相互吸引。
q1q2 R 12 F12 3 4πε 0 R12
实验还证明：真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间 的作用力，不受其它电荷存在与否的影响。
qj qi
Fi
j i
B
1 A r 2 d l cos er ,eL
B
q 4 πε0
1 q 1 1 A r 2 dr 4 πε0 r r A B
B
与路径无关
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当移动电荷一周，即积分路径闭合时，
q 1 1 W E d L E d L 0 A L 4 πε0 rA rA
B B B
电位差 AB定义为移动单位正电荷A B电场力做功。
绝对电位无意义，如同绝对高度、压强一样，必须选择电位的参考点，即
B B A B
规定电位零点。如取B点为参考点，则：υ A＝ E dL，且υ B＝ E dL 0。
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dq R 1 E(r) υ( r ) 3 4 πε0 R 4πε 0
τdz' τρ dz' cos α e e ρ 2 2 2 3/ 2 ρ 4 πε 0 R 4 πε 0 ( ρ z' )
l 2 0
l / 2
dEwenku.baidu.com 2 l ) 2ρ
τρ dz' τ e sin α 0 eρ 2 2 3/ 2 ρ 4 πε 0 ( ρ z' ) 2 πε 0ρ
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1 和E( r ) 4πε 0
例1:真空中一线密度τ沿z轴均匀分布长为l的线电荷，求其中垂面上的场分布。
z τ
l/2 dz '
若
l 1，即l很小或 很大时， 2 l l ，则E e。 2 2 4 0 l 1，则 2
有 sin a 0
z'
R
ρ
a
z dE
2r 2 1 E (r ) er er 40 r 2 2 0
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2、r a时，在球外做同心高斯面，则高斯面内 q dq dq
V1 V2 a 0 1 4 3 4 3 d ( πr ) 0d ( πr ) 2 πa 2 a r 3 3
2 E dS E 4 π r S 2 πa 2 a2 2 E 4πr E( r ) e 2 2 r q 2 πa ε0 2ε 0 r ε0 ε0 1 (0 r a) 2ε er 0 总结：E( r ) 2 若已知E( r )，如何求ρ( r' )? a e (r a) 2 r 2ε 0 r
1 r dV 0 R V
'

任意一个标量函数的梯度的旋度恒等于零。因此，静电场E可以 表示为一个标量函数的梯度的形式。即：
E( r ) υ( r )
沿任意路径将单位电荷从A点移到B点时，电场力做功 : WAB q E dL
A B
将E (r ) (r )代入上式 W q (r ) dL q (r ) eL dl q dl q( A B ) A A A l B WAB AB A B E dL A q
S S S S
(*)左边＝ E
q ε0 E( r ) q e 2 r 4πε 0 r
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q 4 πε 0 r 2
例2：求球状电荷源的场分布。
一般步骤 : (1)依据场源结构特点，选择适当坐标系。 (2)取元电荷dq，计算元电场dE。
a r
(3)对dE在源上积分，得E。 给定电荷源按球对称分布，空间场分布也呈球对称。 建立球坐标系，利用高斯定理有： 1、r a时，内部总电荷q dq dV '
r V 0
高斯面
2 r

1 2 2 r sin drd d 2 r r 0 0 0
已知电荷分布体密度 : 1 (r ' ) r 0 (0 r a ) (r a)
2 E dS E 4 r S 2r 2 2 E 4r q 2r 2 0 0 0
dE dEρ
相当于电量为 l的点电荷产生的电场。

z dE
dE
dq e 2 R 4 πε 0 R
若为无限长的线电荷， 有
a 0＝arctan(
解：dq τdz' dEρ dE cos α E( ρ ,0 ,0 )
l/2
dE
l ) ，从而 E e。 2 2 2 0
对于理想的电荷分布dq ρdV ' σdS' τdL' ，因此自由空间中 由面电荷σ( r' )、线电荷τ( r' )产生的电场分布为： 1 E( r ) 4πε 0 dq 1 σ( r' ) e dS' eR 2 R 2 R 4πε 0 S' R S' dq 1 e 2 R R 4πε 0 L' τ( r' ) dL' eR 2 R L'
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场分布：基于位函数
高斯定理
的分析：
场源 ？ 场分布
dq R E(r) 4 πε0 R 3
例：求真空中电偶极子的空间场分布。
r1 +q O -q
P( r , , )
+q在P点引起的电场为：
-q在P点引起的电场为： E q 则合成电场为：E

er
r r2
E q
q er 1 2 4 πε0 r1
q E dS ε0 S
静电场的Gauss定律表明： 静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷。在 没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。
性质2
静电场是无旋矢量场
1 ' r dV
R E r 3 40 V R
，

1 40
q er 2 2 4 πε0 r2
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p
E q E q
沿任意路径将单位电荷从A点移到B点时，电场力做功
B
L
rB
r dr
dL
rA
er ,eL
A
q
B
r
q q W q' E d L er eL d l 2 A A 4 πε r 4 πε0 0
A
静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力不做功。 应用斯托克斯公式：
( A ) dS A dl
S l
E dL 0
L
E 0
静电场是无旋场
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静电场的性质
性质1 静电场是有散矢量场，电荷是静电场的 通量源。
直接求散度：
r E r 0
参考点的选择是任意的，但从
V'

ρ( r' ) dV ' r r'
1 ρ( r' ) dV ' 可知电位反比于场点与源点 4πε 0 V ' r r'
间的距离 r r' ，因此取无限远处电位为零，符合理论分析，又方便计算。
无界自由空间中，位于坐标原点的点电荷q产生的电场E( r ) 则点电荷在自由空间中产生的电位表达式为： υ P ( r )＝
P q q q E dL e dL e e dl r r r P 4 πε r 2 P 4 πε r 2 4πε 0 r 0 0
q e。 2 r 4 πε 0 r
如果给定源分布不满足特殊结构，高斯定理不成立；直接求E的积分又 不成；或由于其矢量性方向不易判断时，可先求标量电位υ( r )，而后根据 E υ( r )求E的空间分布。