有限单元法及程序设计

在此单元中，单元杆端力列阵和杆端位移列阵分别为
u
F Xi
i
Yi
Mi
X
j
Yj
vi i u j v j j

M
j

T
单元杆端力列阵 杆端位移列阵
T
为了导出一般单元杆端力与杆端位移之间的关系，我们分别考虑以下两种情况。 首先分析两个杆端轴力 X i、X j 与轴向位移 u i、u j 的关系。根据胡克定律，有
此式即为两种坐标系中单元杆端力的变换式，亦可简写为
F T eF e式中： F Fra bibliotek X ie
e
（1-25）
F e Xi Yi Mi Xj cos sin sin cos 0 0 Te 0 0 0 0 0 0
即T

Yi M i
3. 轴力单元:只考虑轴向杆端位移和杆端力的单元 第三节 单元刚度矩阵的坐标变换 上述单元刚度方程和单元刚度矩阵实在局部坐标系 x Oy 中建立起来的，对于一般杆件结 构，分析时所划分的各单元的局部坐标系显然不同。因此在研究结构平衡条件和变形连续条件 时，必须选定一个统一的坐标系 xOy,称为整体坐标系。同时，还必须把在局部坐标系中建立的 单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。 e 在局部坐标系 x Oy 和整体坐标系 xOy 种的杆端力分 图 1-8a)、图 1-8b)分别表示单元○ 量。 为了导出整体坐标系中杆端力 Xi、Yi、Mi 和局部坐标系中 X i、Yi、Z i 之间的关系，将 Xi、 Yi 分别向 x 、y 轴上投影，可得
0 0 1 0
0 0 0 cos
0 0 0 sin cos 0
0 sin 0 0
0 X i 0 Yi 0 M i 0 X j 0 Yj 1 M j
e
（1-24）
4.根据国家标准（GB-1526-89）规定的程序流程图标准化符号及规定 ：
a) b) c) d) e) f)
图表示程序流程图的起点和终点； 图表示数据信息的输入和输出； 图表示数据进行系列运算之前要完成的数据预置； 图表示判断条件； 图表示各种处理功能，如数学运算方式等； 图表示流程的路径和指向。 第一篇 杆件结构的有限单元法及程序设计
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
EA l 0 0
6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
① ②
2 3 kij kjj 0
0 1 0 2 0 3 0 1 kji 2 2 2 kjj 3
1 2 3 0 0 0 1 ② 单元② : K = 0 kii kij 2 0 k ji k jj 3
②将单元贡献矩阵想叠加,形成整体刚度矩阵
1 2 3 kij 1 kjj 1 kii 2 kji 2
1
u1v1 1 u 2 v2 2
2
3
4
T
u3 v3 3
u 4 v4 4
T
Pix、Piy、Piθ 分别代表作用在结点 i（i=1，2，3，4）上的水平力、竖向力和力偶。规定， 结点力 Pix、Piy 的正方向与整体坐标系 x、y 的正方向相同，Piθ 以顺时针指向为正；结点
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
e
EA l 0 0 EA l 0 0
e e
0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l
X i X i cos Yi sin Yi X i sin Yi cos 式中，α 表示由 x 轴到 x 轴之间的夹角，以顺时针为正。
a)
图 在两个坐标系中，力偶分量不变，即 e j 端的杆端力可得 同理，对于单元○
1-8 b)
Mi Mi
X j X j cos Y j sin Y j X j sin Y j cos Mj Mj
e
ui vi i u j v j j
e
(1-17)
上式可简写成 其中单元刚度矩阵为
F k
(1-18)
EA l 0 0 e k EA l 0 0
位移列阵 P= M 1 M 2
= 1 2 3 T
M 3
节点载荷列阵
3.有限元位移法分析连续梁需要考虑的问题 (1) 刚度集成法: ①将(1-3)K 扩阶,扩大的元素为 0,得到单元贡献矩阵
1 kii ① 单元①: K = kji 0 kii 1 K= K + K = kji 0
② 去掉附加约束(相当在各结点施加外力荷载 P e ,其大小与约束力矩相同,方向相反) ③ 将两部分杆端弯矩叠加起来.
第二节 局部坐标系中的单元刚度矩阵 1. 一般单元 e 的弹性模量、截面惯性矩、截面积分别为 E、I、A,杆长为 l。单元的 i、j 端各有 设单元○ 三个杆端力、 X、Y和M (即轴力、剪力和弯矩)和与其相应的三个杆端位移 u 、v 、 ，如图 1-7 所示。图中 x Oy 为单元局部坐标系，取 i 点位于坐标原点， x 轴与杆轴重合，规定由 i 到 j 为 x 轴的正方向，由 x 轴顺时针旋转 90◦为 y 轴正方向。力和位移的正方向如图 1-7 所示。
(2) 两端支承条件的引入 先不考虑约束条件,得到整体刚度矩阵后,将其主对角线元素 k ii 改为 1,第 i 行,第 j 列 其余元素改为 0,对应的载荷元素也改为 0. (3) 非结点荷载的处理 利用等效结点荷载进行分析: ① 各结点(包括两端结点)加约束,阻止结点转动,其约束力矩分别为交于该结点的各相关单 元的固端力矩之和,顺时针为正.
0 k ij2
3 k2 jj k ii
k2 ji 0
P0 K 0 0
k3 ji
0 1 0 2 3 k ii 3 3 k jj 4
（1-38）
（1-37）
或 其中
K11 K 21 K0 K 31 K 41
位移的正方向与结点力的正方向一致。 在求出各单元刚度方程之后，根据结点平衡条件和位移连续条件，可建立整个结构的 位移法方程
P1 k ii P2 k 1 ji P3 0 P4 0
1
1 k ij 2 k1 jj k ii
将(a)、(b)两式合在一起，并写成矩阵形式如下
(b)
Xi Yi Mi X j Y j M j
e
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
（1-19）
2. 单元刚度矩阵的性质 ① 每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力,任一元素 krs (r、s 取 1 至 6)的物理意义是第 s 个 杆端位移分量等于 1 时,所引起的第 r 各杆端力分量值. ② 是对称矩阵,其元素 krs ksr(r s) . ③ 是奇异矩阵,它的元素行列式等于零,即 k 0 . ④ 具有分快性质.
将 a)、b)、c)合起来，并用矩阵形式表示，可得
c)
Xi cos Yi sin M i 0 Xj 0 Y 0 j M 0 j
e
sin cos 0 0 0 0
EA EA EA (u i u j ) ui uj l l l （ a） EA EA EA Xj (u i u j ) ui uj l l l 其次考虑杆端弯矩 M i、M j 与杆端剪力 Yi、Y j 与杆端转角 i、 j 和横向位移 vi、v j 的关系。 Xi
根据结构力学位移法的转角位移方程，并按照本节规定的符号和正负号，可得
6 EI 4 EI 6 EI 2 EI vi i 2 v j j 2 l l l l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI M j 2 vi i 2 v j j l l l l 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI Yi 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI Y j 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l Mi
有限单元法及程序设计
绪
论
1.力学分析方法:解析法,数值法 有限元法——实际结构形状和所受载荷比较复杂,大多用解析法很困难,因而数值法得到不断发 展,随着电子计算机的进步,而发展起来的一种新兴的数值分析方法. 2 基本步骤： （1）结构离散化：将结构从集合上用线或面划分为有限个单元。 （2）单元分析： 导出单元的节点位移和结点力之间的关系（单元刚度矩阵） 。 （3）整体分析： 将各单元组成的结构整体进行分析，导出征个结构点位移与结点力之间的关 系。 3 程序设计的步骤： （1） 提出问题，拟定解决方案 （2） 构造数学模型 （3） 画出程序流程图 （4） 编写程序 （5） 编译调试程序 （6） 试算验证程序
Xj Yj Mj
Yj Mj 0 0