正交变换的应用

正交变换的应用

刘铮

摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用.

关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor公式

近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法.

正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于V

ξ,,都有

∀η

∈

()()η

()()

ξ

σ

σ,

η

ξ

,=.

本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用.

1 正交变换的定义及性质]1[

正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不ξ,,都有

变,即对于V

∈

∀η

()()η

()()

ξ

σ,

σ

η

ξ

,=.

根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V的一个变换,则下列条件是等价的:

①σ是V的正交变换;

②σ保持向量的内积不变;

③σ保持向量的长度和夹角不变;

④对V ∈∀ηξ,,()()ηξησξσ+=+;

⑤σ保持向量的长度不变且满足条件:对V ∈∀ηξ,有

()()()ησξσηξσ+=+;

⑥σ保持向量的距离不变且对任意的V ∈ξ,()()ξσξσ-=-.

根据正交变换的定义和性质,现在我们来系统的研究一下它在近代数学中的应用.

2 正交变换的应用

2.1 正交变换在重积分中的应用]2[]3[

在计算重积分时常用到变量替换,而一般的变量替换随意性很大,它要考虑被积函数和积分区域等,因此积分起来较困难.在有些情形下,利用正交变换不失为变量替换的一种有效方法.

定理1 设A 是为正交矩阵,且其行列式为1.右手系坐标()T

z y x P ,,=在正交

变换AP Q =形成另一右手坐标系下的()T

w v u Q ,,=,原坐标系下的区域P V 相应变

换成新坐标系下的曲面Q V ,则:

()()

dudvdw

Q A f dxdydz P f Q

P

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

-=1.

证明：由AP Q =,得Q A Q A P '==-1,而雅可比行列式()()

,1det ,,,,='=∂∂=A w v u z y x J 所以可证得该式.

例 1 计算三重积分

dxdydz e I xz xy z y x ⎰⎰⎰

+∞∞-+∞∞-+∞

∞

---++-=

)

44465(222

.

解 令xz xy z y x z y x f 44465),,(222--++=,它对应的矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----402062225,容易判定它是一个正定矩阵,设其特征值为321,,λλλ,则01>λ,02>λ,03>λ且080321>==A λλλ

取正交变换,使

232221),,(w v u z y x f λλλ++=

由正交变换的性质可得:

dxdydz e

I xz xy z y x ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞

∞

---++-=

)

44465(222=dudvdw e w v u

⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞

∞

-++-)

(23222

1

λλλ

=⎰⎰⎰+∞

∞

--+∞

∞

--+∞

∞

--dw e

dv e

du e

w v u 2

32

22

1λλλ=

3

21λπλπλπ⋅⋅=803

π. 所以在平时的学习中,我们可以利用正交变换就一个复杂的重积分化归为一个已经能解决的,或比较容易解决的问题加以解答. 2.2 正交变换在第一型曲面积分中的应用]5[

由于第一型曲面积分在正交变换下形式不变性,因此正交变换在也可用在曲面积分中.

设光滑曲面S :()v u x x ,=,()v u y y ,=,()v u z ,=;()D v u ∈,.在正交变换：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332

31

232221131211

1111 之下变成曲面S ':()v u x x ,11=,()v u y y ,11=,()v u z z ,11= 则对于S 上连续函数()z y x f ,,有：

()()S d X A f dS X f S S

''=⎰⎰⎰⎰'

(1)

例 2 证明普阿松公式()()

d u c b a u f dS cz by ax f S

⎰⎰⎰-++=++1

1

2222π其中S

是单位球面1222=++z y x .

证明 若0===c b a 等式显然成立,否则令222c b a k ++=(因为

,⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=++z k c y k b x k a

k cz by ax 若令k a =αc o s ,k b =βcos ,k c =γcos 有1cos cos cos 222=++γβα,则考虑用正交变换).以单位向量⎪⎭

⎫

⎝⎛k c k b k a ,,扩充成一