第二章 线性规划及其单纯形法习题
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课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z = 3 x1 + 2 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 2 s.t . 3 x1 + 4 x 2 ≥ 12 x1, x 2 ≥ 0
max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 s.t. 5 ≤ x1 ≤ 10 3 ≤ x2 ≤ 8
max Z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 ≤ 9 st. 5 x1 + 2 x2 ≤ 8 x ,x ≥0 1 2
2 用单纯形法求解下列线性规划问题 max Z = 2 x1 − x2 + x3
+ x2 + x3 ≤ 60 3x1 x − x2 +2 x3 ≤ 10 1 st. + x2 − x3 ≤ 20 x1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2,3)
≤
X3 2 X1 a Cj-Zj (1)a~g的值
(2) 表中给出的解是否为最优解
5、已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯刑法迭代 后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l的值
项目
X4 X5 6 1
X1 (b) -1 (a) (g) (h) 0
X2 (c) 3 -1 2 (i) -7
ห้องสมุดไป่ตู้
X3 (d) (e) 2 -1 1 (j)
m ax Z = 5 x 1 + 6 x 2 2 x1 − x 2 ≥ 2 s .t . − 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 2 x 1, x 2 ≥ 0
m in Z = 2 x 1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 s .t 2 x 1 + 2 x 2 ≥ 4 x 1, x 2 ≥ 0
X4 1 0 0 1/2 1/2 (k)
X5 0 1 0 0 1 (l)
Cj-ZJ X1 X5 (f) 4
Cj-ZJ
6、设
X
0
是线性规划问题
C ∗ 代替 C后，问题的最 的最优解。若目标函数中用
优解变为 X ∗ 求证：
max z = CX , AX = b, X ≥ 0
(C − C )( X − X ) ≥ 0
3、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通
x j = x 'j − x ''j 常用
来替换，其中
x ≥ 0 ，x
' j
'' j
≥ 0。
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
4、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线 性规划的目标函数为 max Z = 5 x1 + 3 x2 约束形式为 x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10 X1 c d b X2 0 e -1 X3 1 0 f x4 1/5 1 g
X = (15, 5,10, 0, 0)
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
m ax Z = 2 x1 + x 2 3 x1 + 5 x 2 ≤ 15 st . 6 x1 + 2 x 2 ≤ 24 x ,x ≥ 0 1 2
max Z = 6 x1 + 2 x2 + 10 x3 + 8x4 +6 x2 −4 x3 −4 x4 ≤ 20 5x1 3x −3x2 +2 x3 +8x4 ≤ 25 1 st. −2 x2 + x3 +3x4 ≤ 10 4 x1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2,3, 4)
2、将下述线性规划问题化成标准形式
min Z = 2 x1 − 2 x2 + 3x3 − x1 + x2 + x3 = 4 st. −2 x1 + x2 − x3 ≤ 6 x ≤ 0, x ≥ 0, x 无约束 2 3 1
3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出那些是基可行 解，并确定最优值。
= 25 2x1 +x2 −x3 x +3x −x4 = 30 1 2 st. 4x1 +7x2 −x3 −2x4 −x5 = 85 x1 x2 x3 x4 x5 ≥ 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X = (5,15, 0, 20, 0) X = (9, 7, 0, 0, 8)
min Z = 5x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7 s.t. 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 3 x ≥ 0( j = 1,....,4) j
4、已知线性规划问题 :
max Z = x1 + 3x2 + x3 =5 x1 x +2x + x4 = 10 1 2 st. x2 + x5 = 4 x1 ... x5 ≥ 0
1 2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A B C D E F X1 2 10 3 1 0 0 X2 4 0 0 4.5 2 4 X3 3 -5 2 4 5 5 X4 0 0 7 0 6 2 X5 0 4 4 -0.5 2 0
5 已知某线性规划问题的约束条件为
0
∗
∗
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z = 3 x1 + 2 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 2 s.t . 3 x1 + 4 x 2 ≥ 12 x1, x 2 ≥ 0
max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 s.t. 5 ≤ x1 ≤ 10 3 ≤ x2 ≤ 8
max Z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 ≤ 9 st. 5 x1 + 2 x2 ≤ 8 x ,x ≥0 1 2
2 用单纯形法求解下列线性规划问题 max Z = 2 x1 − x2 + x3
+ x2 + x3 ≤ 60 3x1 x − x2 +2 x3 ≤ 10 1 st. + x2 − x3 ≤ 20 x1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2,3)
≤
X3 2 X1 a Cj-Zj (1)a~g的值
(2) 表中给出的解是否为最优解
5、已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯刑法迭代 后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l的值
项目
X4 X5 6 1
X1 (b) -1 (a) (g) (h) 0
X2 (c) 3 -1 2 (i) -7
ห้องสมุดไป่ตู้
X3 (d) (e) 2 -1 1 (j)
m ax Z = 5 x 1 + 6 x 2 2 x1 − x 2 ≥ 2 s .t . − 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 2 x 1, x 2 ≥ 0
m in Z = 2 x 1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 s .t 2 x 1 + 2 x 2 ≥ 4 x 1, x 2 ≥ 0
X4 1 0 0 1/2 1/2 (k)
X5 0 1 0 0 1 (l)
Cj-ZJ X1 X5 (f) 4
Cj-ZJ
6、设
X
0
是线性规划问题
C ∗ 代替 C后，问题的最 的最优解。若目标函数中用
优解变为 X ∗ 求证：
max z = CX , AX = b, X ≥ 0
(C − C )( X − X ) ≥ 0
3、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通
x j = x 'j − x ''j 常用
来替换，其中
x ≥ 0 ，x
' j
'' j
≥ 0。
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
4、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线 性规划的目标函数为 max Z = 5 x1 + 3 x2 约束形式为 x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10 X1 c d b X2 0 e -1 X3 1 0 f x4 1/5 1 g
X = (15, 5,10, 0, 0)
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
m ax Z = 2 x1 + x 2 3 x1 + 5 x 2 ≤ 15 st . 6 x1 + 2 x 2 ≤ 24 x ,x ≥ 0 1 2
max Z = 6 x1 + 2 x2 + 10 x3 + 8x4 +6 x2 −4 x3 −4 x4 ≤ 20 5x1 3x −3x2 +2 x3 +8x4 ≤ 25 1 st. −2 x2 + x3 +3x4 ≤ 10 4 x1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2,3, 4)
2、将下述线性规划问题化成标准形式
min Z = 2 x1 − 2 x2 + 3x3 − x1 + x2 + x3 = 4 st. −2 x1 + x2 − x3 ≤ 6 x ≤ 0, x ≥ 0, x 无约束 2 3 1
3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出那些是基可行 解，并确定最优值。
= 25 2x1 +x2 −x3 x +3x −x4 = 30 1 2 st. 4x1 +7x2 −x3 −2x4 −x5 = 85 x1 x2 x3 x4 x5 ≥ 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X = (5,15, 0, 20, 0) X = (9, 7, 0, 0, 8)
min Z = 5x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7 s.t. 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 3 x ≥ 0( j = 1,....,4) j
4、已知线性规划问题 :
max Z = x1 + 3x2 + x3 =5 x1 x +2x + x4 = 10 1 2 st. x2 + x5 = 4 x1 ... x5 ≥ 0
1 2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A B C D E F X1 2 10 3 1 0 0 X2 4 0 0 4.5 2 4 X3 3 -5 2 4 5 5 X4 0 0 7 0 6 2 X5 0 4 4 -0.5 2 0
5 已知某线性规划问题的约束条件为
0
∗
∗