01 张量基础

第一章 张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的，这 些性质常常需要用与方向有关的两个可测量 的量之间的关系来定义，而用张量来描述， 张量是晶体物理的数学基础。

第一章 张量基础
张量的基本知识 张量的变换定律 张量的几何表示法 晶体对称性对晶体性质的影响 晶体物理性质的相互关系


1.1 张量的基本知识（1）
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温 度、密度等等，它们都与方向无关。

这些无方向的 物理量，称为标量（也称零阶张量）。

它们完全由 给定的某一数值来确定。

1.1 张量的基本知识（2）
2、矢量
与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张 量）。

它们不仅有大小，而且有一定的方向。

如电 场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。

矢量用上 方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。

矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐 标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是 就可以 E 写成： E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。

这 样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴 上的分量来确定。

1.1 张量的基本知识（3）
二、二阶张量
在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形 关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与 的三 个分量相关，此时，它们间的关系可表示为： D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3


1.1 张量的基本知识（4）
即
⎛ D1 ⎞ ⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ D2 ⎟ = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ D ⎟ ⎜ε ⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 ε 32
ε 13 ⎞⎛ E1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ε 23 ⎟⎜ E 2 ⎟ ⎜E ⎟ ε 33 ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠
ε 11 ε 12 ε 13 方形表 ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。

ε 31 ε 32 ε 33
它有九个分量，每一个分量都与两个方向相关。

例 如，ε11仅表示在x1方向上加电场E1与在x1方向上产生的电 位移 D1 之间的比例系数； ε 32 则表示在 x2 方向上加电场 E2 与在x3方向上产生的电位移D3之间的比例系数，其它的可 以以此类推，以解释各个分量的物理意义。

1.1 张量的基本知识（5）
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 关系还可以用综合下标i, j来表示为：
Di = ∑ ε ij E j
j =1
3
(i = 1,2,3)
通常去掉求和号，但要引入一个求和规则：当某一项 中有重复出现的下标时，则自动按该下标求和，因此，上 式可表示为： Di = ε ij E j (i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
上式可按j展开，进而可写出Di的三个分量，则 Di = ε i1 E1 + ε i 2 E 2 + ε i 3 E3


1.1 张量的基本知识（6）
以上例子可以说明，在各向异性的介质中，任何两个 相互作用的矢量之间的线性比例关系都形成二阶张量。

上 述二阶张量[εij]就是描述晶体的介电性质的张量。

描述晶体物理性质的二阶张量有许多，例如，介质极 化率张量、磁化率张量、电导率张量等。

如果用 P 和 q 代表在各向异性介质中线性相关的两个 矢量，[T]代表它们之间的比例系数，则可写成：
Pi = Tij q j
(i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标


1.1 张量的基本知识（7）
其展开式为：
P1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 P2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 P3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
注意：用什么字母代替下标并不重要，重要的是重复下标 的位置，因为在一般情况下， Tij≠Tji，如果 Tij=Tji，则二 阶张量是对称的，称为对称二阶张量。

Tij是否对称，取决 于物理性质本身。

总之，二阶张量有两个下标， 9个分量。

标量和矢量也可 以归于张量的范畴，标量无下标，称为零阶张量，仅有一 个分量；矢量有一个下标，3个分量，称为一阶张量。

1.2 张量的变换定律（1）
在物理学中，并不是所有的与方向有关的物理 量都可归于张量，而要看它是否遵守张量的变换定 律。

在坐标系发生改变时(正交变换)，晶体物理性 质本身是不变的，但描述该性质的张量的分量将发 生变化，而且新坐标系中的分量必然与旧坐标系中 的分量存在固定的联系。

因此，有必要研究一下张 量的变换定律。

1.2 张量的变换定律（2）
一、坐标变换
由初等几何学可知，具有相同原点，且轴比例 不变的直角坐标系之间的变换称为正交变换。

假定用 x1 ， x2 ， x3 表示旧坐标系，用 x'1 ， x'2 ， x'3表示新坐标系，则新坐标系轴的轴长为： ′ = a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 x1 x′ 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 ′ = a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 x3
aij—— 新 旧 坐 标 系 之 间夹角的方向 余弦
′ , x1 ), a11 = cos( x1 ′ , x 2 ), a12 = cos( x1 ′ , x3 ) a13 = cos( x1 ........


1.2 张量的变换定律（3）
如果用综合下标来表示，可写为：
x′ i = a ij x j
(i , j = 1,2,3)
注意：符号aij的第一个下标是对新轴的；第二个下标是对 旧轴的，所有的方向余弦形成一个矩阵：
⎛ a11 a12 ⎜ (aij ) = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32 a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a33 ⎟ ⎠
该矩阵是由旧坐标轴变换到新坐标轴的坐标变换矩 阵，常简写为A。

1.2 张量的变换定律（4）
由新坐标轴变换到旧坐标轴称为逆变换，其相应的坐标 变换矩阵为：
⎛ a11 ⎜ (a ji ) = ⎜ a12 ⎜a ⎝ 13 a 21 a 22 a 23 a31 ⎞ ⎟ a32 ⎟ a33 ⎟ ⎠
显然，该矩阵是坐标变换矩阵的逆矩阵，简写为A-1。

根据矩阵的性质，如果A与A-1互为逆矩阵，则AA-1=1。

注意：在一般情况下，aij≠aji，而且aij的9个系数之间不是 独立的，它们必须满足归一化关系式，即


1.2 张量的变换定律（5）
在一般情况下，aij≠aji，而且aij的9个系数之间不是独 立的，它们必须满足归一化关系式，即 2 2 2 a 21a31 + a 22 a32 + a 23a33 = 0 a11 + a12 + a13 =1 2 2 2 a31a11 + a32 a12 + a33a13 = 0 a 21 + a 22 + a 23 = 1
a + a + a =1
2 31 2 32 2 33
a11a 21 + a12 a 22 + a13a 23 = 0
(i = j ) (i ≠ j )
如果用综合下标来表示，可写为：
⎧1 a ik a jk = ⎨ ⎩0
(i , j , k = 1,2,3)
——正交关系式


1.2 张量的变换定律（6）
如果引入一个单位矩阵δij
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ δ ij = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
或
⎧1 δ ij = ⎨ ⎩0
(i = j ) (i ≠ j )
(i , j = 1,2,3)
9个系数之间必须满足的归一化关系可综合写成：
a ik a jk = δ ij
(i , j = 1,2,3)


1.2 张量的变换定律（7）
二、矢量变换定律
假定矢量P在旧坐标系(x1， x2 ， x3) 中有三个分量 P1 ， P2 ， P3 ，在新坐标系 (x‘1 ， x’2 ， x‘3) 中有三个分量 P’1 ， P‘2 ， P’3 。

如图， P‘1 显然是 P1 ， P2 ， P3 在 x’1轴上的投影之和。

因此，有
x3
P'1 P3 P2
x'1
P1
x2
x1
′ , x1 ) + P2 cos( x1 ′ , x 2 ) + P3 cos( x1 ′ , x3 ) P1′ = P1 cos( x1 即P1′ = a11 P1 + a12 P2 + a13 P3


1.2 张量的变换定律（8）
同样可写出：
P2′ = a 21 P1 + a 22 P2 + a 23 P3 P3′ = a31 P1 + a32 P2 + a33 P3
如果用综合下标来表示，可写为：
Pi′ = a ij Pj
也可以写成矩阵形式：
⎛ P1′ ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ P2′ ⎟ = ⎜ a 21 a 22 ⎜ P′⎟ ⎜ a ⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 a32 a13 ⎞⎛ P1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ a 23 ⎟⎜ P2 ⎟ ⎜P ⎟ a33 ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠
(i , j = 1,2,3)
或简写为：
P ′ = AP
——矢量的正变换定律


1.2 张量的变换定律（9）
如果用新坐标系的分量表示旧坐标系的分量，可写出： Pi = a ji Pj′ (i , j = 1,2,3) 也可以写成矩阵形式：
⎛ P1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ P2 ⎟ = ⎜ a12 ⎜ P ⎟ ⎜a ⎝ 3 ⎠ ⎝ 13 a 21 a 22 a 23 a31 ⎞⎛ P1′ ⎞ ⎟⎜ ⎟ a32 ⎟⎜ P2′ ⎟ ⎜ ⎟ a33 ⎟ ⎠⎝ P3′ ⎠
或简写为：
P = A P′
−1
——矢量的逆变换定律
显然， aij和 aji是坐标变换矩阵，并互为逆矩阵。

矢量 在正变换时，求和下标是相邻的；在逆变换时，求和下标 是被分隔的。

1.2 张量的变换定律（10）
三、二阶张量变换定律
二阶张量分量的变换同样有正变换和逆变换两 种形式。

如果二阶张量在新坐标系中的分量用它在旧坐 标系中的分量来表示，则称为二阶张量的正变换； 反之，称为逆变换。

1.2 张量的变换定律（11）
1、二阶张量的正变换定律
在旧坐标系中，描述矢量P与q的关系式是：
Pi = Tij q j
(i , j = 1,2,3)
但在新坐标系中，这种关系仍保持不变，而张量Tij 的分量将发生变化，因此，写成： Pi′ = Tij′q′j (i , j = 1,2,3)
T’ij——新坐标中的二阶张量
或简写为：
P = A−1 P ′


1.2 张量的变换定律（12）
根据矢量变换定律：
Pi′ = a ik Pk
Pk = Tkl ql
Pi′ = a ik Tkl ql 根据矢量的逆变换定律：ql = a jl q′ j
Pi′ = a ik Tkl a jl q′j = a ik a jl Tkl q′j
Pi′ = Tij′q′j
二阶张量的正变换定律
Tij′ = a ik a jl Tkl


1.2 张量的变换定律（13）
2、二阶张量的逆变换定律
二阶张量的正变换定律的推导过程可以总结为：
P ′ → P → q → q′ 如果用相反的推导过程，即 P → P ′ → q′ → q
同样可以推导出二阶张量的逆变换定律，即
′ Tij = a ki a ljTkl


1.2 张量的变换定律（14）
3、新旧坐标系中二阶张量各分量的关系式
如果坐标变换矩阵aij的各个分量是已知的，根据二 阶张量的正、逆变换定律，可求出两个坐标系中二阶张 量各分量的关系式。

例如，如果旧坐标系中各分量为已知，那么新坐标 系中各分量就可以根据二阶张量的正变换定律求出，即 ′ = a11a11T11 + a11a12T12 + a11a13T13 T11
+ a12 a11T21 + a12 a12T22 + a12 a13T23 + a13a11T31 + a13a12T32 + a13a13T33
依此类推，可以求出其余8个分量的表达式。

1.2 张量的变换定律（15）
如果将二阶张量的正变换定律写成矩阵表达式：
−1 ′ P = AP = ATq = ATA q′ = T ′q′
−1 ′ T = ATA
即：
′ T12 ′ T13 ′ ⎞ ⎛ a11 a12 ⎛ T11 ⎜ ⎟ ⎜ ′ T22 ′ T23 ′ ⎟ = ⎜ a 21 a 22 ⎜ T21 ⎜T ′ T ′ T ′ ⎟ ⎜ a 32 33 ⎠ ⎝ 31 ⎝ 31 a32 a13 ⎞⎛ T11 T12 T13 ⎞⎛ a11 ⎟⎜ ⎟⎜ a 23 ⎟⎜ T21 T22 T23 ⎟⎜ a12 ⎜T T ⎟⎜ a a33 ⎟ T 32 33 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 31 a 21 a 22 a 23 a31 ⎞ ⎟ a32 ⎟ a33 ⎟ ⎠
按矩阵乘法同样可以得到新坐标系中二阶张量的各 分量的表达式。

1.2 张量的变换定律（16）
四、三阶张量变换定律
以压电效应为例，求出dijk变换定律。

在旧坐标系中：
Pi = d ijkσ jk
(i , j , k = 1,2,3)
但在新坐标系中，这种关系仍保持不变，而张量dijk 的分量将发生变化，因此有：
′ σ ′jk Pi′ = d ijk
(i , j , k = 1,2,3)


1.2 张量的变换定律（17）
根据矢量变换定律：
Pi′ = a il Pl
Pl = d lmnσ mn
Pi′ = a il d lmnσ mn
根据矢量的逆变换定律：
σ mn = a jm a knσ ′jk
Pi′ = a il d lmn a jm a knσ ′jk = a il a jm a kn d lmnσ ′jk
′ σ ′jk Pi′ = d ijk
三阶张量的正变换定律
′ = a il a jm a kn d lmn d ijk


1.2 张量的变换定律（18）
同样，可以推导出三阶张量的逆变换定律，即
′ d ijk = a li a mj a nk d lmn
三阶张量的正、逆变换定律的表达式都分别代表由 27个方程组成的方程组。

1.3 张量的几何表示法（1）
晶体的物理性质，特别是用张量描述的物理 性质，可以用几何图形的形式形象地描绘出它们 在各个方向上的大小和各向异性。

一阶张量（即矢量）的几何图形最简单， 即用带箭头的一定长度的线段就表示出它的大小 和在晶体中的方位。

下面主要介绍二阶张量所描 绘的晶体物理性质的几何图形。

1.3 张量的几何表示法（2）
由解析几何学可知，方程 BijX i X j = 1 为二阶曲面方程， 展开此式得：
2 2 2 B11X1 + B12 X1X 2 + B13X1X 3 + B21X 2 X1 + B22 X1 + B23X 2 X 3 + B31X1X 3 + B32 X 3X 2 + B33X 3 =1
假设Bij=Bji, 则合并同类项后，得到
B11X1 + B 22 X 2 + B 33 X 3 + 2B12 X1 X 2 + 2B13 X1 X 3 + 2B 23 X 2 X 3 = 1
2 2 2
—— 以坐标原点为中心的二次曲面方程， Bij 的 大小决定该曲面的大小和形状，


1.3 张量的几何表示法（3）
如果将方程变换到新坐标系中，则
′ ′ B′ ij X i X j = 1
Bij X i X j = 1
X i = a ki X′k
Bija ki a ljX′k X′ l =1
X j = a ljX′ l
B′kl = a ki a ljBij
该式与二阶张量的变换定律式完全一致，这就意味着，二 阶曲面的系数具有二阶对称张量的特征。

因此，任何一个二 阶对称张量[Tij]在几何上都可以用二阶曲面形象地表示出来。

该曲面就称为二阶对称张量的示性面。

1.3 张量的几何表示法（4）
二阶曲面的一个重要特征是具有三个相互垂直的主 轴和三个主值，如果将三个主轴选为坐标轴X1，X2，X3， 则方程 BijX i X j = 1 可简写为，
B11X1 + B22 X 2 + B33X 3 = 1
其三个主值分别为B11，B22，B33。

若用张量符号代替系数B，该方程可改写为，
2
2
2
T11X1 + T22 X 2 +T33 X 3 = 1
2
2
2


1.3 张量的几何表示法（5）
这就意味着二阶对称张量也具有三个主轴和三个 主值，三个主值分别为T11，T22，T33，而张量[Tij]就可简化为
0⎤ ⎡T11 0 ⎥ [Tij ] = ⎢ 0 T 0 22 ⎥ ⎢ ⎢ 0 T33 ⎥ ⎦ ⎣0
如果T11、T22、T33均大于零，则其示性面为实椭球面。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（1）
晶体的任何宏观物理性质必然是晶体微观结构 的反映，而晶体的微观对称性决定了晶体在宏观 上所具有的对称性，因此，晶体的物理性质也必 然具有一定的对称性，晶体的对称性与晶体物理 性质的对称性之间存在一定的制约关系。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（2）
一、诺埃曼原则
这个关系可以这样阐述：晶体物理性质的对称元素应当包含
晶体的宏观对称元素（即点群的对称元素），也就是说，晶 体物理性质的对称性可以高于晶体点群的对称性，但不能低 于晶体点群的对称性，而至少二者是一致的。

这在晶体物理学 中称为 诺埃曼（ Neumann ）原则 ，例如，三方晶系的 3m 晶类的
LiNbO3晶体，它有一个三次对称轴和平行三次对称轴的三个对称面， 表现它的光学性质的光率体是绕三次对称轴的旋转椭球体，旋转椭球 体显然包含了点群的三次对称轴和三个对称面，因为旋转椭球的旋转 轴是一个无限次对称轴，平行于无限次对称轴有无数个对称面。

除此 之外，旋转椭球体在垂直于无限次对称轴方向向上还具有一个对称面 和无数个二次对称轴以及对称中心，因此，LiNbO3晶体光学性质不仅 包含了点群的对称要素，而且高于点群的对称性。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（3）
“ 晶体物理性质的对称性 ” 的含义在于：首先假定晶体 具有某种对称性，然后在某一方向测定其物理性质，接着 用假定的对称元素进行操作，在对称的方向上重新测定上 述物理性质，如果两次测定结果完全一致，则该晶体的这 一物理性质具有所假定的对称性，当然，对称操作是作用 在晶体上还是作用在被测量的物理量，其效果是相同的。

综合上述，可以得出结论：根据晶体的对称性进行坐 标系变换（对称变换）时，不仅晶体物理性质本身保持 不变，而且对称变换前后的对应分量也保持不变，即变 换前后的张量相等。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（4）
二、晶体的对称性对其物理性质的影响
用以表示晶体物理性质的张量具有 对称性，例如介电常数张量，介电极化 率张量等等都是二阶对称张量；压电系 数张量、电光系数张量、非线性极化系 数张量等等都是三阶对称张量。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（5）
由于张量的对称性，张量的独立分量数目将减少。

比如，二阶张量[Tij]在任意坐标系中有九个独立分量，即
⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎥ [Tij ] = ⎢ T T T 22 23 ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎣T31 T32 T33 ⎥ ⎦
当[Tij]对称时，Tij=Tji，因此，有
⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎥ [Tij ] = ⎢ T T T 22 23 ⎥ ⎢ 12 ⎢ ⎣T13 T23 T33 ⎥ ⎦
可见，二阶张量张量的独立分量数目减至6个。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（6）
如果三阶张量dijk的后二个下标是对称的，即dijk=dikj, 则dijk的27个分量只剩下18个独立分量，即
d111 d112
d113
d 211
d 212
d 213 d 311
d 312
d 313
(d121 ) d122 d123 (d 221 ) d 222 d 223 (d 321 ) d 322 d 323 (d131 ) (d132 ) d133 (d 231 ) (d 232 ) d 233 (d 331 ) (d 332 ) d 333
——带括号的项为非独立分量 需要指出的是，描述晶体物理性质的各阶张量是否对 称，取决于它所描述的具体物理性质。

1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（7）
由于晶体对称性的存在，张量独立分量的数目将进 一步减少，甚至全部为零，现在我们以对称中心的影响为 例说明。

如果晶体存在对称中心，则对称变换的坐标变换矩阵
⎛ −1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ a ij = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ = −1 ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎝ ⎠
或
⎧− 1 a ij = ⎨ ⎩0
(i = j ) (i ≠ j )
(i , j = 1,2,3)


1.4 晶体对称性对晶体物理性质的影响（8）
根据一阶张量（矢量）的变换定律 代入aij的值，则Pi′= –Pi 由于所进行的是对称变换，故变换前后张量的对应分 量应当相等，因此
Pi′ = a ijPj
′ = − P2 = 0, P3 ′ = −P3 = 0 P′1 = − P1 = 0, P2
这说明，具有对称中心的晶体不存在由一阶张量所描 述的物理性质。

例如，热释电性质就是由一阶张量描述的 性质，凡具有对称中心的晶体就是不具有热释电效应。

。