01 张量基础

第一章 张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的，这 些性质常常需要用与方向有关的两个可测量 的量之间的关系来定义，而用张量来描述， 张量是晶体物理的数学基础。

第一章 张量基础
张量的基本知识 张量的变换定律 张量的几何表示法 晶体对称性对晶体性质的影响 晶体物理性质的相互关系

1.1 张量的基本知识（1）
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温 度、密度等等，它们都与方向无关。这些无方向的 物理量，称为标量（也称零阶张量）。它们完全由 给定的某一数值来确定。

1.1 张量的基本知识（2）
2、矢量
与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张 量）。它们不仅有大小，而且有一定的方向。如电 场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。矢量用上 方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。 矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐 标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是 就可以 E 写成： E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。这 样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴 上的分量来确定。

1.1 张量的基本知识（3）
二、二阶张量
在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形 关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与 的三 个分量相关，此时，它们间的关系可表示为： D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3

1.1 张量的基本知识（4）
即
⎛ D1 ⎞ ⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ D2 ⎟ = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ D ⎟ ⎜ε ⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 ε 32
ε 13 ⎞⎛ E1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ε 23 ⎟⎜ E 2 ⎟ ⎜E ⎟ ε 33 ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠
ε 11 ε 12 ε 13 方形表 ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。 ε 31 ε 32 ε 33
它有九个分量，每一个分量都与两个方向相关。例 如，ε11仅表示在x1方向上加电场E1与在x1方向上产生的电 位移 D1 之间的比例系数； ε 32 则表示在 x2 方向上加电场 E2 与在x3方向上产生的电位移D3之间的比例系数，其它的可 以以此类推，以解释各个分量的物理意义。

1.1 张量的基本知识（5）
在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 关系还可以用综合下标i, j来表示为：
Di = ∑ ε ij E j
j =1
3
(i = 1,2,3)
通常去掉求和号，但要引入一个求和规则：当某一项 中有重复出现的下标时，则自动按该下标求和，因此，上 式可表示为： Di = ε ij E j (i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
上式可按j展开，进而可写出Di的三个分量，则 Di = ε i1 E1 + ε i 2 E 2 + ε i 3 E3

1.1 张量的基本知识（6）
以上例子可以说明，在各向异性的介质中，任何两个 相互作用的矢量之间的线性比例关系都形成二阶张量。上 述二阶张量[εij]就是描述晶体的介电性质的张量。 描述晶体物理性质的二阶张量有许多，例如，介质极 化率张量、磁化率张量、电导率张量等。 如果用 P 和 q 代表在各向异性介质中线性相关的两个 矢量，[T]代表它们之间的比例系数，则可写成：
Pi = Tij q j
(i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标

1.1 张量的基本知识（7）
其展开式为：
P1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 P2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 P3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
注意：用什么字母代替下标并不重要，重要的是重复下标 的位置，因为在一般情况下， Tij≠Tji，如果 Tij=Tji，则二 阶张量是对称的，称为对称二阶张量。Tij是否对称，取决 于物理性质本身。 总之，二阶张量有两个下标， 9个分量。标量和矢量也可 以归于张量的范畴，标量无下标，称为零阶张量，仅有一 个分量；矢量有一个下标，3个分量，称为一阶张量。

1.2 张量的变换定律（1）
在物理学中，并不是所有的与方向有关的物理 量都可归于张量，而要看它是否遵守张量的变换定 律。 在坐标系发生改变时(正交变换)，晶体物理性 质本身是不变的，但描述该性质的张量的分量将发 生变化，而且新坐标系中的分量必然与旧坐标系中 的分量存在固定的联系。因此，有必要研究一下张 量的变换定律。

1.2 张量的变换定律（2）
一、坐标变换
由初等几何学可知，具有相同原点，且轴比例 不变的直角坐标系之间的变换称为正交变换。 假定用 x1 ， x2 ， x3 表示旧坐标系，用 x'1 ， x'2 ， x'3表示新坐标系，则新坐标系轴的轴长为： ′ = a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 x1 x′ 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 ′ = a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 x3
aij—— 新 旧 坐 标 系 之 间夹角的方向 余弦
′ , x1 ), a11 = cos( x1 ′ , x 2 ), a12 = cos( x1 ′ , x3 ) a13 = cos( x1 ........