01 张量基础
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第一章 张量基础
晶体的物理性质一般是各向异性的,这 些性质常常需要用与方向有关的两个可测量 的量之间的关系来定义,而用张量来描述, 张量是晶体物理的数学基础。
第一章 张量基础
张量的基本知识 张量的变换定律 张量的几何表示法 晶体对称性对晶体性质的影响 晶体物理性质的相互关系
1.1 张量的基本知识(1)
一、标量与矢量
1、标量
在物理学中,常遇到这样一些量,如物体的温 度、密度等等,它们都与方向无关。这些无方向的 物理量,称为标量(也称零阶张量)。它们完全由 给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识(2)
2、矢量
与方向有关的物理量,称为矢量(也称一阶张 量)。它们不仅有大小,而且有一定的方向。如电 场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。矢量用上 方带箭头的字母表示,如电场强度可表示为 E 。 矢量还可以用直角坐标系(x1,x2,x3 )中三个坐 标轴上的分量来决定它的大小和方向,于是 就可以 E 写成: E = [E , E , E ]
1 2 3
——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。这 样,当坐标轴选定后,矢量就完全由其在这些轴 上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识(3)
二、二阶张量
在各向同性介质中,电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 方向永远保持一致,在电场强度不高的情况下,两者成线形 关系,因此,它们间的关系可以直接表示为:
D =εE
ε——介电常数
在各向异性介质中,电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致,因此, D 在三个坐标轴上的分量都与 的三 个分量相关,此时,它们间的关系可表示为: D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E3
1.1 张量的基本知识(4)
即
⎛ D1 ⎞ ⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ D2 ⎟ = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ D ⎟ ⎜ε ⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 ε 32
ε 13 ⎞⎛ E1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ε 23 ⎟⎜ E 2 ⎟ ⎜E ⎟ ε 33 ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠
ε 11 ε 12 ε 13 方形表 ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。 ε 31 ε 32 ε 33
它有九个分量,每一个分量都与两个方向相关。例 如,ε11仅表示在x1方向上加电场E1与在x1方向上产生的电 位移 D1 之间的比例系数; ε 32 则表示在 x2 方向上加电场 E2 与在x3方向上产生的电位移D3之间的比例系数,其它的可 以以此类推,以解释各个分量的物理意义。
1.1 张量的基本知识(5)
在各向异性介质中,电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 关系还可以用综合下标i, j来表示为:
Di = ∑ ε ij E j
j =1
3
(i = 1,2,3)
通常去掉求和号,但要引入一个求和规则:当某一项 中有重复出现的下标时,则自动按该下标求和,因此,上 式可表示为: Di = ε ij E j (i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
上式可按j展开,进而可写出Di的三个分量,则 Di = ε i1 E1 + ε i 2 E 2 + ε i 3 E3
1.1 张量的基本知识(6)
以上例子可以说明,在各向异性的介质中,任何两个 相互作用的矢量之间的线性比例关系都形成二阶张量。上 述二阶张量[εij]就是描述晶体的介电性质的张量。 描述晶体物理性质的二阶张量有许多,例如,介质极 化率张量、磁化率张量、电导率张量等。 如果用 P 和 q 代表在各向异性介质中线性相关的两个 矢量,[T]代表它们之间的比例系数,则可写成:
Pi = Tij q j
(i , j = 1,2,3)
j——求和下标 i——自由下标
1.1 张量的基本知识(7)
其展开式为:
P1 = T11q1 + T12 q2 + T13q3 P2 = T21q1 + T22 q2 + T23q3 P3 = T31q1 + T32 q2 + T33q3
注意:用什么字母代替下标并不重要,重要的是重复下标 的位置,因为在一般情况下, Tij≠Tji,如果 Tij=Tji,则二 阶张量是对称的,称为对称二阶张量。Tij是否对称,取决 于物理性质本身。 总之,二阶张量有两个下标, 9个分量。标量和矢量也可 以归于张量的范畴,标量无下标,称为零阶张量,仅有一 个分量;矢量有一个下标,3个分量,称为一阶张量。
1.2 张量的变换定律(1)
在物理学中,并不是所有的与方向有关的物理 量都可归于张量,而要看它是否遵守张量的变换定 律。 在坐标系发生改变时(正交变换),晶体物理性 质本身是不变的,但描述该性质的张量的分量将发 生变化,而且新坐标系中的分量必然与旧坐标系中 的分量存在固定的联系。因此,有必要研究一下张 量的变换定律。
1.2 张量的变换定律(2)
一、坐标变换
由初等几何学可知,具有相同原点,且轴比例 不变的直角坐标系之间的变换称为正交变换。 假定用 x1 , x2 , x3 表示旧坐标系,用 x'1 , x'2 , x'3表示新坐标系,则新坐标系轴的轴长为: ′ = a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 x1 x′ 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 ′ = a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 x3
aij—— 新 旧 坐 标 系 之 间夹角的方向 余弦
′ , x1 ), a11 = cos( x1 ′ , x 2 ), a12 = cos( x1 ′ , x3 ) a13 = cos( x1 ........