不等式性质及解法

知 识 梳 理

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法⎩⎪⎨⎪

⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；

(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a

b

＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），a

b

＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b

＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.

2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；

(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒

n

a ＞n

b (n ∈N ，n ≥2)．

3．三个“二次”间的关系 判别式

Δ＝b 2－4ac Δ＞0

Δ＝0 Δ＜0

二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c

(a ＞0)的图象

考点一条件判断不等式是否成立

1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．

2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．

3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．

【例1】若1

a＜

1

b＜0，给出下列不等式：①

1

a＋b＜

1

ab；②|

a|＋b＞0；③a－

1

a

＞b－1

b；④ln

a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )

A．①④B．②③C．①③D．②④

解析法一特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次

因为1

a＜1

b＜0，故可取

a＝－1，b＝－2.

显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；

因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误． 综上所述，可排除A ，B ，D.

法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1

a ＋

b ＜

0，1

ab ＞0.故有1a ＋b ＜1

ab

，即①正确；

②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；

③中，因为b ＜a ＜0，又1

a ＜1

b ＜0，则－1

a ＞－1

b ＞0，所以a －1

a ＞

b －1

b

，故③

正确；

④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确． 答案 C

【训练1】 (1)(2014·模拟)若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A.

1a －b ＞1

b

B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1

D ．a n ＞b n 解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，

|b ||a |＜|b |＋1

|a |＋1

⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |，

∵a＜b＜0，∴|b|＜|a|成立，故选C.

考点二一元二次不等式、函数、方程关系

不等式解集的端点是方程的根（求方程根、分段、验证）

【例2-1】解不等式x2＋x－12≥0

解：由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，

∴x≤－4或x≥3.

答案(－∞，－4]∪[3，＋∞)

训练2-1-1】．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的

( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析不等式|x|＜2的解集是(－2，2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2，3)，于是当x∈(－2，2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.

答案 A

含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（是二次吗？有根吗？根的大小确定吗？）

例2-2】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．

解①当k＝0时，不等式的解为x＞0.

②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为1－1－k2

k＜

x ＜1＋1－k 2k

；

若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时，

x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k

；

若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜

1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞

1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .

规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写