极限及洛必达法则

恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
注①无穷小(大)是个变量，不是很小(大)的数
②零是可以作为无穷小的唯一的数
③关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论
无穷小与无穷大的性质，只探讨了： 代数和以及乘积；无穷小(大)商的结果如何？
三、洛必达法则：
1.
型不定式:
两个无穷小(大)商的极限，随着无穷小(大)的形式不同 其极限值可能存在或不存在.
lim
n
1
2
3 n
2
n
解1:
1 23 n
1
2
n
lim
n
n2
lim n
n2
lim n
n2
lim n
n2
00 0 0
解2:
lim
n
1
2
3 n2
n
lim
n
1 n(n 1) 2n2Fra biblioteklim
n
n 1 2n
1 2
二、无穷小与无穷大的性质
1.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 推论1： 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2： 有限个无穷小的乘积也是无穷小 2.在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小
n
⑤ lim (x 1 )
x0
x
⑥
lim sin x x0 x
1
0 型不定式 运气
0
2.极限的性质
①收敛数列的有界性 ②局部有界性 ③局部保号性
3.极限四则运算的法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B, 那么 ① lim[ f (x) g(x)] A B
② lim f (x) g(x) A B
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
例3.求极限 lim x2 1 x1 x2 3x 2
析解：:将原x式=1直 接lim代(入x x1 (x
1)(xx211)
x2)2(x 3x1)2
lim就会x 出1现 x1 x 2
002型不定式
例4.求极限 lim sin x x0 x
1 2
思考:解1与解2哪种解法正确?
能代就代一常数 化归不成洛必达
lim 学霸= ？学渣
刷题0
二、无穷小与无穷大的性质
1.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小
推论1： 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2： 有限个无穷小的乘积也是无穷小
无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小
例5.求极限
附录29 极限及洛必达法则
一、极限：
1.极限的概念 2.极限的性质 3.极限的运算法则 4.求极限的方法
二、无穷小与无穷大的性质： 三、洛必达法则：
1.
型不定式
2.洛必达法则
《选修2—2》的第一章 导数及其应用 是高数的重要内容 拓宽和加深它的目的如下：
1.开拓视野，为一年半以后的高数学习作基： 2.为“秒”某些高考题提供工具：
二、无穷小与无穷大的性质： 三、洛必达法则：
1.
型不定式
2.洛必达法则
1.极限的概念
严格的定义：参《高数》的“ε- N”和“ε-δ”定义
《送孟浩然之广陵》——李白 故人西辞黄鹤楼 烟花三月下扬州 孤帆远影碧空尽 惟见长江天际流
《滕王阁序》——王勃 落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色
若极限存在，则极限一定是唯一的常数
简言之： 不定式的分子分母分别先求导后求极限
2.洛必达法则
简言之： 不定式的分子分母分别先求导后求极限
注1：法则只限于求
型极限,其它类型需化归
注2：若在使用法则后,lim
f ( x) g( x)
仍是
型
可继续使用法则
sin x 例6.求极限 lim
x0 x
解:
原式=
lim
x0
(sin x)/ (x)/
2)
1 3
故有必要条件 a 1 ，下证充分性 3
即当 a 1 且x≥0时 h(x) ＝f(x)－ax≤0成立…… 3
端点效应……
愿赌服输……
附加作业：
1.用洛必达法则求下列各式的值
(x 1) ln(x 1)
① lim
x0
x
②
lim
x
ln x xn
(n 0)
③ lim[cot x( 1 1)]
x0
sin x x
2.(2006年全国Ⅱ简化)设函数 f (x) (x 1)ln(x 1)
若对∀x≥0都有 f(x)≥ax , 求a的取值范围
(Ⅱ)若当x≤0时，f(x)≤0 , 求a的取值范围
解：ⅰ:当x＝0 时，显然对任意的a成立
ⅱ:当x＜0
时，等价于
a
ex
x
x2
1
当
x
＜0时恒成立
由洛必塔法则知
x→0时，e
x
x
x2
1
1 2
故有必要条件 a 1 2
，下证充分性
即当 a 1 且x≤0时，f(x)≤0成立…… 2
先猜后证……
端点效应……
② lim[ f (x)]n [lim f (x)]n An n N*
4.求极限的方法： 能代就代一常数 化归不成洛必达
例2.求极限 lim 2x2 4x 3 .
x2
2
解: 原式 2 lim x 4lim x 3lim1
x2
x2
x2
lim2x2 lim4x lim3
（1） lim f (x) lim g (x) 0 ；
xa
xa
（2）在U o(a) 内，f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
f (x)
（3） lim
A （ A 可为实数，也可以是 ）.
xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A . xa g (x) xa g(x)
xx0
xx0
① lim f (x) g(x) A B
xx0
② lim f (x) g(x) A B xx0
③
lim
x x0
f (x)
g(x)
A B
(B
0)
如果 lim f (x) A, lim g(x) B ，那么
x
x
① lim f (x) g(x) A B x
② lim f (x) g(x) A B x
lim
x0
cos 1
x
1
tan x 例7.求极限 lim
x0 x
1 解: 原式 lim (tan x) lim sec2 x
x0 ( x)
x0 1
例8.求极限
lim
x1
x3 3x 2 x3 x2 x 1
解:
原式
lim
x1
3x2 3 3x2 2x
1
lim
x1
6
6x x
2
3 2
例9.(2010年新课标)设函数 f (x) ex 1 x ax2
③ lim f (x) A g(x) B
特别地
(B 0)
① lim[ kf (x)] k lim f (x) kA （k为常数）
② lim[ f (x)]n [lim f (x)]n An n N*
3.极限四则运算的法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B ，那么
故称这类极限为不定式(未定式). 记为
注1：以下各类极限也是不定式的极限：
0 • ; ;00 ; 0 ;1 ;
(其中,0表示无穷小;∞表示无穷大;1表示以1为极限的变量)
注2：上述各类不定式，最终均可归结到
0 取 对 数
1 00 0
0
取倒数
0
只需讨论 这两种极限
2.洛必达法则：设函数 f (x) 、 g (x) 满足：
书写格式：由XX定理易得…… 是否扣分？哪得看阅卷老师的心情了……
XX定理，肯定没有错 只不过：“合理合法不合时”罢了
3.为五年半以后的考研作基：
微积分基本知识结构框架图
微分学
Newton-Leibniz公式
积分学
极限与连续
附录29 极限及洛必达法则
一、极限：
1.极限的概念 2.极限的性质 3.极限的运算法则 4.求极限的方法
析：将x=0直接代入 sin x 就会出现 0 型不定式
x
0
例5.求极限
1 23
lim
n
n2
n
解1: lim 1 2 3 n lim 1 lim 2 lim n
n
n2
n n2 n n2
n n2
00 0 0
解2:
1 23
lim
n
n2
n
lim
n
1 2
n(n 1) n2
lim
n
n 1 2n
③
lim
x
f (x)
g(x)
A B
(B
0)
3.极限四则运算的法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B, 那么 ① lim[ f (x) g(x)] A B
② lim f (x) g(x) A B
③ lim f (x) A g(x) B
特别地
(B 0)
① lim[ kf (x)] k lim f (x) kA （k为常数）
例10.(2008年全国Ⅱ简化)设函数 f (x) sin x cos x 2
若对∀x≥0都有 f(x)≤ax , 求a的取值范围
解：ⅰ:当x＝0 时，显然对任意的a成立
ⅱ:当x＞0 时，等价于 a sin x 当 x ＞0时恒成立
x(cos x 2)
由洛必塔法则知
x→0时，x(cosisnxx
例1.判定下列数列或函数是否存在极限
若极限存在，则极限一定是唯一的常数
① 1, 1 , 1 ,... 1 ,... 23 n
② c, c, c,..., c,... (C为常数)
1 lim 0 n n lim C=C
n
③ 1,1,1,1,1,1, ,(1)n,
④ lim ex x
lim (1)n 1