西南交通大学研究生数理统计与多元统计考试16-17试题答案
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ˆ2 ˆl l yy 1 xx n2 = 74.1+2.06 15.9 13.4 10 2
ˆ 2l ， S b ˆ2l bl ˆ S剩 l yy b xx xx xy 回
1 x2 ˆ [ ] 2 , Da n lxx ˆ , Db lxx
2
ˆ t（ ˆ [a ） n2
_
_
试用距离判别法判别 x 的归属。 从协方差阵相同的两个二元正态总体中，根据过去收集的资料样本，已估计出
2 _ 4 ^ 2 2 3 x1 x2 , 。现取一个样本 x ， 6 2 2 3 5
_
_
试用距离判别法判别 x 的归属。
解：
1 6 4 4 (1 ) 5 5 (1) P( X 3 | )=C5 2 2
3 1 4 P( X 3 | )=(1 )5 C1 5 (1 ) 4 (2) 2 2 3 3 2 C5 (1 ) C3 5 (1 )
解：
极大似然函数为：L( , , X 1 , X 2 L X n ) f ( xi , , )
i 1 n
1
1
n
e
( xi )
i 1
n
,
xi
（ 2 分）
ln L( , , X 1 , X 2 L X n ) n ln
( x ),
G1 G1 G2 G3 G4 G5 G2 G3 G4 G5
0 21 5 27 21 0 26 46 6 0 32 22 0 48 0
1 2 3 4
得
1
1 3 95% 4
0.95 4 1 0.933 3
8. （10 分）表中给出了五个样品两两间的距离，根据系统聚类法 (1)按最短距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？聚类时的距离分别 是多少？(2)按最长距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？ 聚类时的距离分别是多少？
3 n （ 1) X i2 3 i 1 n ， 试推断统计量 和 的分布。 2 X i i 4
n -1X 1
X
i 2
n
=
X1
2 i
X
i 2
3 2 i
n
: t (n 1)
2 i
（ 5 分）
n -1
n （ 1) X i2 3 i 1
3
X
i 1
X
i 4
i 1 i
1
n
xi （ 1 分）
ln L( , ) n 1 n ( x ), 2 i 1 i
xi （2 分）
ln L( , ) n 0,
xi （2 分）
x1 , x2 ,..., x的顺序统计值为 : x(1) x(2) ... x( n)
n
2 i
X
i 4
n
3
Leabharlann Baidu2 i
F (3，n - 3)
（ 5 分）
（n - 3）
2、设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
) 1 ( x e f ( x; ) 0
x x
其中 0， 0 为未知参数，又设 x1 , x2 ,L , xn 是 X 的一组样本观测值，(1)试求 参数 , 的极大似然估计量；(2) 试求参数 , 的矩估计量.
2
1 n
lxxx ]
2
ˆ t（ ˆ （b ） n2
2
lxx ）
5.简要回答下列问题：1、判别分析和聚类分析有何区别？ 2、在单因素方差分析中，进行总变量平方和分解的目的和意义是什么？
6.从协方差阵相同的两个二元正态总体中，各自抽取了容量 n1 30, n2 25 的样
7.2 _ 6.0 ^ 1.04 0.68 6.4 本，算的 x1 x2 , 。现取一个样本 x ， 2.3 3.1 0.68 0.58 2.9
2
lxx ( xi x )2 xi nx 2 112 10 3.12 15.9
l yy ( yi y )2 yi ny 2 410.5 10 5.82 74.1
2
；
ˆ lxy 32.8 2.06, a ˆ 5.8 2.06 3.1 12.19 ˆ y bx b lxx 15.9
1 m 1 m 1 4 4 （3）P( X m | )=C5 (1 )4m L C5 (1 ) 5 0.05 2
4. （15 分）为了研究某商品的需求量 Y 与价格 x 之间的关系，收集到下列 10 对数据，得出以下结果：
x 31, y 58, x y 147, x
7. （13 分）设 X ( X , X , X , X )T ~ N (0, )， 其协方差矩阵为 1 2 3 4 4
1
主成分；
1
1
其中 0 1
1
(1) 试从Σ出发求 X 的第一总体
(2) 试问当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95％以上。
u
x 2e
x
dx
（2
分）
1 2 X 解方程 2 1 n 2 得矩估计为： 2 ( ) Xi 2 1 2 1 n i 1
n ˆ X － 1 （X X ) 2 1 i n i 1 1 n ˆ （X i X ) 2 2 n i 1
1 1 4、(1)由 0得特征根为1 1 3 , 1 1 2 3 4 1
x1 1 1 x2 0 解1所对应的方程 1 x3 1 x4 1 1 1 1 得1所对应的单位特征向量为 2 2 2 2 1 1 1 1 故得第一主成分Z X 1 X 2 X 3 X 4 2 2 2 2 (2)第一个主成分的贡献率为
（2
分）
3.抛一枚硬币，设正面向上的概率为 ，提出如下假设：
H0 : 1 2 H1 : 3 4
如果检验规则为： 将该硬币抛掷 5 次， 若正面向上的次数多余 3 次， 则拒绝 H 0 。 （1）求该检验犯第一类错误的概率。 （2）求该检验犯第二类错误的概率。 （3）在硬币抛掷次数不变的情况下，为使检验的显著性水平 0.05 ，应如何 修改检验规则。
ˆ min X i X (1) , ＝Ｘ－X (１) , （2 分）
1i n
EX
xf ( x)dx
1
u
xe
x
dx （2 分）
EX 2
x 2 f ( x)dx
1
2 2 ( )
西南交通大学研究生 2016－ 2017 学 年 第 (1) 学 期 考 试 试 卷 答 案
课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟 1、设总体 X : N (0,1) ， X1 , X 2 ,L , X n 是来自正态的简单随机样本，其中
n -1X 1
X
i 2
解：
n
2 i
i i i i
2 i
112,
y
2 i
410.5,
（1） 估计截距 0 和斜率系数 1 及其标准误，并进行 t 检验； （2）回归直线未解 释的价格变差部分是多少？（3）对 0 和 1 分别建立 95%的置信区间。
l 解： （1） xy
( xi x )( yi y ) xi yi nx y 147 10 3.1 5.8 32.8
ˆ 2l ， S b ˆ2l bl ˆ S剩 l yy b xx xx xy 回
1 x2 ˆ [ ] 2 , Da n lxx ˆ , Db lxx
2
ˆ t（ ˆ [a ） n2
_
_
试用距离判别法判别 x 的归属。 从协方差阵相同的两个二元正态总体中，根据过去收集的资料样本，已估计出
2 _ 4 ^ 2 2 3 x1 x2 , 。现取一个样本 x ， 6 2 2 3 5
_
_
试用距离判别法判别 x 的归属。
解：
1 6 4 4 (1 ) 5 5 (1) P( X 3 | )=C5 2 2
3 1 4 P( X 3 | )=(1 )5 C1 5 (1 ) 4 (2) 2 2 3 3 2 C5 (1 ) C3 5 (1 )
解：
极大似然函数为：L( , , X 1 , X 2 L X n ) f ( xi , , )
i 1 n
1
1
n
e
( xi )
i 1
n
,
xi
（ 2 分）
ln L( , , X 1 , X 2 L X n ) n ln
( x ),
G1 G1 G2 G3 G4 G5 G2 G3 G4 G5
0 21 5 27 21 0 26 46 6 0 32 22 0 48 0
1 2 3 4
得
1
1 3 95% 4
0.95 4 1 0.933 3
8. （10 分）表中给出了五个样品两两间的距离，根据系统聚类法 (1)按最短距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？聚类时的距离分别 是多少？(2)按最长距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？ 聚类时的距离分别是多少？
3 n （ 1) X i2 3 i 1 n ， 试推断统计量 和 的分布。 2 X i i 4
n -1X 1
X
i 2
n
=
X1
2 i
X
i 2
3 2 i
n
: t (n 1)
2 i
（ 5 分）
n -1
n （ 1) X i2 3 i 1
3
X
i 1
X
i 4
i 1 i
1
n
xi （ 1 分）
ln L( , ) n 1 n ( x ), 2 i 1 i
xi （2 分）
ln L( , ) n 0,
xi （2 分）
x1 , x2 ,..., x的顺序统计值为 : x(1) x(2) ... x( n)
n
2 i
X
i 4
n
3
Leabharlann Baidu2 i
F (3，n - 3)
（ 5 分）
（n - 3）
2、设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
) 1 ( x e f ( x; ) 0
x x
其中 0， 0 为未知参数，又设 x1 , x2 ,L , xn 是 X 的一组样本观测值，(1)试求 参数 , 的极大似然估计量；(2) 试求参数 , 的矩估计量.
2
1 n
lxxx ]
2
ˆ t（ ˆ （b ） n2
2
lxx ）
5.简要回答下列问题：1、判别分析和聚类分析有何区别？ 2、在单因素方差分析中，进行总变量平方和分解的目的和意义是什么？
6.从协方差阵相同的两个二元正态总体中，各自抽取了容量 n1 30, n2 25 的样
7.2 _ 6.0 ^ 1.04 0.68 6.4 本，算的 x1 x2 , 。现取一个样本 x ， 2.3 3.1 0.68 0.58 2.9
2
lxx ( xi x )2 xi nx 2 112 10 3.12 15.9
l yy ( yi y )2 yi ny 2 410.5 10 5.82 74.1
2
；
ˆ lxy 32.8 2.06, a ˆ 5.8 2.06 3.1 12.19 ˆ y bx b lxx 15.9
1 m 1 m 1 4 4 （3）P( X m | )=C5 (1 )4m L C5 (1 ) 5 0.05 2
4. （15 分）为了研究某商品的需求量 Y 与价格 x 之间的关系，收集到下列 10 对数据，得出以下结果：
x 31, y 58, x y 147, x
7. （13 分）设 X ( X , X , X , X )T ~ N (0, )， 其协方差矩阵为 1 2 3 4 4
1
主成分；
1
1
其中 0 1
1
(1) 试从Σ出发求 X 的第一总体
(2) 试问当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95％以上。
u
x 2e
x
dx
（2
分）
1 2 X 解方程 2 1 n 2 得矩估计为： 2 ( ) Xi 2 1 2 1 n i 1
n ˆ X － 1 （X X ) 2 1 i n i 1 1 n ˆ （X i X ) 2 2 n i 1
1 1 4、(1)由 0得特征根为1 1 3 , 1 1 2 3 4 1
x1 1 1 x2 0 解1所对应的方程 1 x3 1 x4 1 1 1 1 得1所对应的单位特征向量为 2 2 2 2 1 1 1 1 故得第一主成分Z X 1 X 2 X 3 X 4 2 2 2 2 (2)第一个主成分的贡献率为
（2
分）
3.抛一枚硬币，设正面向上的概率为 ，提出如下假设：
H0 : 1 2 H1 : 3 4
如果检验规则为： 将该硬币抛掷 5 次， 若正面向上的次数多余 3 次， 则拒绝 H 0 。 （1）求该检验犯第一类错误的概率。 （2）求该检验犯第二类错误的概率。 （3）在硬币抛掷次数不变的情况下，为使检验的显著性水平 0.05 ，应如何 修改检验规则。
ˆ min X i X (1) , ＝Ｘ－X (１) , （2 分）
1i n
EX
xf ( x)dx
1
u
xe
x
dx （2 分）
EX 2
x 2 f ( x)dx
1
2 2 ( )
西南交通大学研究生 2016－ 2017 学 年 第 (1) 学 期 考 试 试 卷 答 案
课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟 1、设总体 X : N (0,1) ， X1 , X 2 ,L , X n 是来自正态的简单随机样本，其中
n -1X 1
X
i 2
解：
n
2 i
i i i i
2 i
112,
y
2 i
410.5,
（1） 估计截距 0 和斜率系数 1 及其标准误，并进行 t 检验； （2）回归直线未解 释的价格变差部分是多少？（3）对 0 和 1 分别建立 95%的置信区间。
l 解： （1） xy
( xi x )( yi y ) xi yi nx y 147 10 3.1 5.8 32.8