与三角函数的零点问题

与三角函数有关的零点问题

1、【2015湖北】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x =---+的零点个数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】2

【解析】因为2()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x π=---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x ＝sin 2|ln(1)|x x -+，

所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数，

函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点．

【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解．

2、函数()2πcos 23f x x ⎛⎫=-

⎪⎝⎭＋2311π19π4cos 2,3π1212x x x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭所有零点之和为（ ）

A ．2π3

B ．4π3

C ．2π

D ．8π3

【答案】B

3．若函数sin log 2a y x x π

=-的图象至少有12个零点点，则a 的取值范围是（ ）

A ．(]1,14

B ．[)14,+∞

C ．(]1,7

D ．[)7,+∞

【答案】D 【解析】2y sin x π

=Q 与log x a y = 都是偶函数，所以sin log 2a y x x π

=-是偶函数，只

需0x > 时，有至少6个零点，即可画出0x >时，函数sin 2y x π

=的图象与log a y x =的图象，

如图，由图可知，7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞，故选D ．

4．【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前得分训练（一）】设函数

()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭

，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为1x ， 2x ， 3x （123x x x <<），则3212x x x ++的值为（ ）

A ．π

B ．

34π C ．32π D ．54

π 【答案】C 【解析】画出该函数的图象如图，当21a ≤<时方程()f x a =恰好有三个根，且点()1,0x 和()2,0x 关于直线8x π=

对称，点()2,0x 和()3,0x 关于直线58x π=对称，所以124x x π+=， 2354x x π+=，从而123322

x x x π++=．故选C ． 5．【湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考】函数()()[]12sin ,2,41f x x x x π=-

∈--的所有零点之和为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】D

6．【2017届吉林省实验中学高三上学期二模】已知()y f x =的定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，

5sin ,02,44()1()1,2,2

x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=（a ，b R ∈）有且仅

有6个不同的实数根，在实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿．

【答案】5

991244

--⋃--（，）（，） 【解析】如图所示，因为()f x 是定义域为R 的偶函数，则1()1,2,

25sin ,20,44()5sin ,02,441()1,2,2

x x x x x f x x x x ππ-⎧+<-⎪⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪⎪+>⎩，

依题意()f x 在2-∞-（，）和02（，）上递增，在20-（，）和2+∞（，）

上递减，当2x =±时，函数取得极大值54

；当0x =时，取得极小值0．要使关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=（a ，

b R ∈）有且仅有6个不同的实数根．设t f x =（

），则20t at b ++=必有两个根12t t 、，则有两种情况符合题意：（1）154t =，且2514t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，），此时12a t t -=+，则5924a ∈--（，）；（2）1250114]t t ∈∈（，，（，），此时同理可得914

a ∈--（，），综上可得a 的范围是5991244--⋃--（，）（，）．