第十四章 图的基本概念

（1）为彼得松(Petersen)图 ，（2）（3）均与（1）同构
a
a
a
i b j h e
b
i g d j
e
h f c
i g d
j
f
g d
c
h
c
b
f
e
（1）
（3） （2）
不同构
图之间的同构关系是等价关系
图之间的同构关系 可看成全体图集合上的二元关系， 这个二元关系 具有自反性，对称性和传递性，因而 它是等价关系。在这个等价关系的每一等价类中均取 一个非标定图作为一个代表，凡与它同构的图，在同 构的意义之下都可以看成一个图，在图14.3中，(1)， (2)，(3)可以看成一个图，它们都是彼得松图，其中的 (1)可看成这类图的代表。提到彼得松图，一般是指(1) 中图。 至此，可以这样说，在图同构的意义下，图的数学定 义与图形表示是一一对应的。
发展：
1736年 欧拉 （创始人）发表了“哥尼斯堡七桥问题无解”论文 1847年 克希霍夫 用图论分析“电网络问题”； 1936年 科尼格 出版图论第一本专著《有限图与无限图理论》。
里程碑
作为描述事务之间关系的手段或称工具，目前，图论 在许多领域，诸如，计算机科学、物理学、化学、运 筹学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经 济管理、军事、国防、工农业生产等方面都得到广泛 的应用，也正是因为在众多方面的应用中，图论自身 才得到了非常迅速的发展。
图的严格数学定义： 1、无向图——是一个有序的二元组<V,E>,记为G； 其中 V≠,称为顶点集，其元素称为顶点或结点； E称为边集,是V&V的多重子集。 其元素称为无向边。 2、有向图——是一个有序的二元组<V,E>,记为D； 其中 V≠ , 为顶点集； E为边集,是V×V的多重子集。 其元素称为有向边。
解 易知，除(1)中序列不可图化外，其余各序列都可图 化。但除了(5)中序列外，其余的都是不可简单图化的。 (2)中序列有5个数，若它可简单图化，设所得图为G， 则(G)=max{5,4,3,2,2}=5，这与定理4矛盾。所以(2)中 序列不可简单图化。类似可证(4)中序列不可简单图化。
假设(3)中序列可以简单图化，设G=<V，E>以(3)中 序列为度数列。不妨设V={v1，v2，v3，v4} 且 d(v1)= d(v2)=d(v3)=3,d(v4)=1，由于d(v4)＝1，因 而v4只能与v1，v2，v3之一相邻，于是v1，v2，v3 不可能都是3度顶点，这是矛盾的，因而(3)中序列也 不可简单图化。 (5)中序列是可简单图化的，如下图所示：
定理3：设非负整数列 d=(d1,d2, …,dn), 则d是可图化的 n 当且仅当 d i 为偶数。
i 1
定理4： 设G为任意n阶无向简单图，则(G) ≤n-1
例14．2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简 单图化的？ (1) (5,5,4,4,2,1) (2) (5,4,3,2,2) (3) (3,3,3,1) (4) (d1,d2,…dn)，d1>d2>…>dn≥1 且 为偶数 (5) (4,4,3,3,2,2)
14.1 图的基本概念
图：用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某 种方式相联系的数学模型。 区分几何图形 无序积：设A , B为任意的两集合，称 {{a , b}| a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积，记作：A&B , 其中无序对{a , b}记为(a , b) , 且对任意 (a , b)∈A&B , 有(a , b)=(b , a),即：A&B= B&A
三、图的同构
设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图（有向图），
若存在双射函数 f : V1 V2, 对于 vi , vjV1 , ( vi, vj)E1 (<vi , vj>E1) 当且仅当 (f(vi) , f(vj)) E2 (<f(vi), f(vj)>E2 ) 并且 ( vi, vj) (<vi , vj>)与 (f(vi) , f(vj)) (<f(vi), f(vj)>)的重数 相同，则称G1与G2是同构，记作G1G2
a e1 b e2 a e1 b e5 e3 c c d c e1 a b
V1={a,b,c} E1={e1,e3}
e4
e5 e3
d
例14．3 (1) 画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2) 画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
解 (1)由握手定理可知，所画的无向简单图各顶点度数之和为 2×3=6，最大度小于或等于3。于是所求无向简单图的度数列 应满足的条件是，将6分成4个非负整数，每个整数均大于或 等于0且小于或等于3，并且奇数的个数为偶数。将这样的整 数列排出来只有下面三种情况：
顶点或边用字母标定的图——标定图，否则为非标定图
常用ek表示一条无向边(vi,vj) 或有向边<vi,vj> 有向图各有向边均改为无向边后的图称为原有向图 的基图 4、关联与相邻 点和边的关联： 若 ei =(u , v) 或 ei=<u , v>则 u , v与ei相关联， 称u , v是ei的端点，若u≠v,则称ei与u 或ei与v的关联 次数为1； 环：一条边的两个关联的点是同一点的边称为环。
设G=<V , E>，G′=<V′ , E′>为两个图（同为无向图或 有向 图），若V’V且E’ E , 则称G’是G的子图, G为 G‘的母图，记作G’G；若V’V且E’E , 则称G’是G 的真子图，若V’=V，则称G’是G的生成子图。 设G=<V , E>为一图， V1V且V1≠，E1E且E1≠ G[V1]：以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边 组成边集的图，称为V1导出的子图。 G[E1]：以E1为边集，以E1中边关联的顶点组成顶点集 的图，称为E1 导出的子图。
示例
设有向图 D=<V , E>, v ∈V, 称 {u|u∈V∧<v , u>∈E∧u≠v} 为v的后继元集，记 作Γ+D(v), 称 {u|u∈V∧<u , v>∈E∧u≠v} 为v的先驱元集，记 作Γ-D(v), 称 Γ+D(v) ∪ Γ-D(v) 为v的邻域，记作ND(v), 并 称 ND(v)∪{v} 为v的闭邻域，记作ND(v). 示例
6、点的度数 设无向图 G=<V , E> , v ∈V, 称v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称度， 记作dG(v), 简记为d(v); 设有向图G=<V , E>, vV, 称以v为始点的边的条数为该点的出度, 记作dD+(v), 简记为d+(v); 以v为终点的边的条数为该点的入度, 记作dD- (v), 简记为d- (v); 称 d+(v)+d-(v)为v的度数，记作d (v)。
孤立点：与任何边均不关联的点称为孤立点。 点与点的相邻： 若 ei = (u , v) 或 ei= <u , v> 称u , v 两点相邻； 边与边的相邻： 若 ei与ej至少有一个公共端点，称ei ，ej两边相邻； 若 ei= <u , v>，则称u为始点，v 为终点，并称u邻 接到v，v邻接于u 平行边： 在有向图中,始点和终点均相同的边称为平行边；
关于图之间的同构问题还应该指出以下两点：
a．到目前为止，人们还没有找到判断两个图是否同构 的好的算法，还只能根据定义看是否能找到满足条件 的双射函数，显然这是困难的。
b．需要注意的是，不要将两个图同构的必要条件当成 充分条件。若G1 G2，则它们的阶数相同，边数相同， 度数列相同，等等。破坏这些必要条件的任何一个， 两个图就不会同构，但以上列出的条件都满足，两个 图也不一定同构，见图有相同的度数列，但它们不同 构。
n阶无向完全图， n阶有向完全图， n阶竞赛图的 边数分别为 n(n-1)/2 ，n(n-1) , n(n-1)/2 设G为n阶无向简单图， v V(G)，均有d(V)=k, 则称G为k-正则图； 由定义可知，n阶零图是0-正则图，n阶无向完全图是 (n-1)－正则图，彼得松图是3-正则图。 由握手定理 可知，n阶k-正则图中，边数m=kn/2，因而当k为奇 数时，n必为偶数。
e1 e2 a e3 e4 e6 d e7 c
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b e5
3、相关概念及规定 G——泛指图 ，D——只能用于有向图
V(G) 、 E(G) —— 分别表示G的顶点集、边集；
|V(G)|、|E(G)| —— 分别表示G的顶点数、边数， 若均有限，称G为有限图； |V(G)|= n —— n 阶图， E(G)=—— 零图 即只有顶点； |V(G)|= n 且 E(G)=—— n 阶零图，记作Nn 称N1为平凡图，即只有一个顶点； |V(G)|= —— 空图，记为
在无向图G中，称 (G) = max{d (v)| vV(G)} 为G的最大度，简记为； (G) = min{d (v)| vV(G)} 为G的最小度，简记为；
在有向图D中，称 +(D) = max{d+(v)| vV(D)} 为D的最大出度，记为+ +(D) = min{d+(v)| vV(D)} 为D的最小出度，记为+ -(D) = max{d-(v)| vV(D)} 为D的最大入度，记为-(D) = min{d-(v)| vV(D)} 为D的最小入度，记为悬挂顶点（相关联的边为悬挂边）：度数为一的顶点。 偶度（奇度）顶点 示例
给定无向图 G=<V,E>，其中V={v1,v2,v3,v4,v5} E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5) }
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给定有向图D=<V,E>，其中V={a , b , c , d} E={<a , a>,<a , b>, <a , b>,<a , d>,<d , c>,<c , d>,<c , b>}
二、图的基本定理： 定理1：在任意无向图中,结点度数和等于边数的二倍。 即 d(v1)+ d(v2)+„+ d(vn)=2m 其中 |V|=n , |E|=m （又称握手定理）
定理2：在任意有向图中所有结点的入度之和等于所有 结点的出度之和。 即 d(v1)+ d(v2)+…+ d(vn)=2m 且 d+(v1)+ d+(v2)+…+ d+(vn)= d-(v1)+ d-(v2)+…+ d-(vn)=m 推论：在任何图中, 奇度顶点的个数必为偶数。
无向图中若两点间有多条边,称这些边为平行边；
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两点间平行边的条数称为边的重数； 含平行边的图称为多重图， 不含平行边和环的图称为简单图。
5、邻域 设无向图 G=<V , E> , v ∈V, 称 {u|u∈V∧(u , v)∈E∧u≠v} 为v的邻域，记作NG(v), 并称 NG(v)∪{v} 为v的闭邻域，记作NG(v) , 称 {e|e∈E∧e与v相关联} 为v的关联集，记作IG(v);
设G=<V,E>,为一个n阶无向图，V= {v1,v2,…,vn},称 d(v1), d(v2),…, d(vn) 为G的度数列， 反之，给定非负整数列 d=(d1,d2, …,dn), 若存在以V= {v1,v2,…,vn}为顶点集的n阶无向图,使得 d(vi)=di , 则称d是可图化的。
若所得图为简单图，则称d是可简单图化的。
第四部分 图论
引言
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数 学的重要分支。 图论以图为研究对象，这种图以若干个给定的点 和连接两点的线构成。借以描述某些事物之间的 某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线 表示相应两个事物间具有的特定关系。
图论最早起源于一些数学游戏难题研究： 如：迷宫问题，地图四色问题和哈密顿环游世界问 题等。
四、 完全图和补图 G=<V , E>为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其 余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图,记作 Kn(n≥1） D=<V,E>为n阶有向简单图，若D中每一对顶点间均 有方向相反的两边关联,则称D是n阶有向完全图； D=<V,E>为n阶有向简单图，若D的基图为n阶 无向完全图， 则称D是n阶竞赛图。