大学高等数学期末复习重点难点及其高等数学期末考试题库答案

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3.连续 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1 ln(1+ x 2 )
5. lim (cos x)
x − >0
1
解：令 t = (cos x)
ln(1+ x 2 )
, ln t =
1 ln(cos x) ln(1 + x 2 )
lim ln t = lim
x − >0
− tan x 1 = − ∴ t = e −1 / 2 （变量替换） x − >0 2x 2
xy
= x + y 决定，则 dy | x =0 = (ln 2 − 1)dx
θ π /2
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线 ρ = e 在（ρ，θ） = （e 解：
, π / 2) 处切线的直角坐标方程。
θ x = e cos θ , ( x, y ) |θ =π / 2 = (0, e π / 2 ), y ' |θ =π / 2 = −1 θ y = e sin θ
2）令 h( x) =
1 1 − , x ∈ (0,1), h' ( x) < 0, 单调下降，得证。 ln(1 + x) x
F.中值定理问题
12.设函数 f ( x)在[−1， 1] 具有三阶连续导数，且 f (−1) = 0, f (1) = 1 ，
f ' (0) = 0 ，求证：在（-1，1）上存在一点 ξ，使f ' ' ' (ξ ) = 3
证：1）令 g ( x) = (1 + x) ln (1 + x) − x , g (0) = 0
2 2
g ' ( x), g ' ' ( x), g ' ' ' ( x) = −
2 ln(1 + x) < 0, g ' (0) = g ' ' (0) = 0 (1 + x) 2
∴ x ∈ (0,1)时g ' ' ( x)单调下降，g ' ' ( x) < 0, g ' ( x)单调下降 g ' ( x) < 0, g ( x)单调下降，g ( x) < 0；得证。
sin( x − t ) 2 = ( x − t ) 2 −
( x − t ) 2 ( 2 n −1) 1 ( x − t ) 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) n + ⋅⋅⋅ 3! (2n + 1)!
( x − t ) 4 n −1 1 1 2 3 7 n +1 sin( ) ( ) ( ) ( 1 ) x t dt x t x t − = − − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + − ∫ 3 3!7 (4n − 1)(2n + 1)! 1 3 1 7 x 4 n −1 2 n sin( ) ( 1 ) x t x x − = − + ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅⋅⋅ ∫0 3 3!7 (4n − 1)(2n + 1)!
x
2 ( 2 n −1) 1 6 d x 2 2 n x sin( ) ( 1 ) x t dt x x − = − + ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ = sin x 2 ∫ 0 3! (2n + 1)! dx
或： x − t = u ⇒
2
d 0 d x sin u 2 (−du ) = sin u 2 du = sin x 2 ∫ ∫ 0 x dx dx
2
−x
，
e x0 −1 > 0, x0 > 0 ，故为极小值点。 = e x0 x0 > 0, x0 < 0
x3 ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 7. y = ( x − 1) 2
解：定义域 x ∈ (−∞,1) (1,+∞)
y ' = 0 ⇒ 驻点x = 0及x = 3
y ' ' = 0 ⇒ 拐点x = 0；x = 1：铅垂；y = x + 2：斜
3. lim
x ∫ e −t dt
0
x
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第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分 2.微分中值定理 3.应用 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. y = y ( x)由
两式相减： f ' ' ' (η1 ) + f ' ' ' (η 2 ) = 6
1 ∃ξ ∈ [η1，η 2 ]， ∋ f ' ' ' (ξ ) = [ f ' ' ' (η1 ) + f ' ' ' (η 2 )] = 3 2
13. e < a < b < e ，求证： ln b − ln a >
(n)
10.求 f ( x) = x ln(1 + x)在x = 0处的n阶导数f 解： x ln(1 + x) = x ( x −
2 2Baidu Nhomakorabea
(0)
x2 x3 x n−2 + − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) n −1 + o( x n − 2 ) 2 3 n−2 x3 − x4 x5 xn + − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) n −1 + o( x n ) 2 3 n−2
π / 2 + arctan x
8.求函数 y = ( x − 1)e
的单调性与极值、渐进线。
解
：
y' =
x 2 + x π / 2+ arctan x e ⇒ 驻点x = 0与x = −1 1+ x2
，
渐：y = e π ( x − 2)与y = x − 2
D.幂级数展开问题
9.
d x sin( x − t ) 2 dt = sin x 2 ∫ 0 dx
=
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∴ f ( n ) (0) = (−1) n −1
11.
n! n−2
设
E.不等式的证明
x ∈ (0,1)
，
1 1 1 1 求证（1 + x) ln 2 (1 + x) < x 2， − 1 < − < ln 2 ln(1 + x) x 2
1. lim
arctan x − x arctan x − x 1 = lim = − （等价小量与洛必达） 3 3 x − > 0 ln(1 + 2 x ) x − >0 6 2x
sin 6 x + xf ( x) 6 + f ( x) = 0，求 lim 3 x − >0 x − >0 x x2
x − >0
C.导数应用问题
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若f ' ( x0 ) = 0( x0 ≠ 0) ，求 ( x0 , y 0 ) 点的性质。
解：令 x = x 0 代入，f ' ' ( x 0 ) =
6.已知 y = f ( x)对一切x满足xf ' ' ( x) + 2 x[ f ' ( x)] = 1 − e
y' y ' ' 72 6 + f ( x) = lim = lim = = 36 2 x − >0 x − >0 2 x x − >0 2 x 2
（洛必达）
lim
3. lim(
x − >1
2 x x −1 ) x +1
2x
（重要极限）
ax + bx x 4.已知 a、b 为正常数， 求 lim ( ) x − >0 2
6.设 f ' ( x) 连续， f (0) = 0, f ' (0) ≠ 0 ，求 lim
∫
x2
0
f (t )dt
x− > 0
x
2
∫
x
=1
0
f (t )dt
（洛必达与微积分性质） 7.已知 f ( x) =
ln(cos x) x −2 , x ≠ 0 在 x=0 连续，求 a a , x = 0
2
2 2
证： Lagrange :
f (b) − f (a ) = f ' (ξ ) b−a
2
4 (b − a ) e2
令 f ( x) = ln x,
ln 2 b − ln 2 a 2 ln ξ = b−a ξ
令 ϕ (t ) =
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ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a ) e2
（关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. f ( x) = ln
ln t 1 − ln t ln ξ 2 , ϕ ' (t ) = < 0 ∴ ϕ (ξ ) > ϕ (e 2 ) ∴ > 2 2 t ξ t e
《高等数学复习》教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
2.已知 lim
解：
lim
x − >0
sin 6 x + xf ( x) 6 cos 6 x + f ( x) + xy ' = lim 3 0 x − > x 3x 2
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− 36 sin 6 x + 2 y '+ xy ' ' − 216 cos 6 x + 3 y ' '+ xy ' ' ' = lim x − >0 x − >0 6x 6 − 216 + 3 y ' ' (0) = = 0 ∴ y ' ' (0) = 72 6 = lim
证： f ( x) = f (0) + f ' (0) x +
1 1 f ' ' (0) x 2 + f ' ' ' (η ) x 3 2! 3!
其中 η ∈ (0, x), x ∈ [−1,1]
1 1 f ' ' (0) − f ' ' ' (η1 ) 2 6 将 x=1，x=-1 代入有 1 1 1 = f (1) = f (0) + f ' ' (0) + f ' ' ' (η 2 ) 2 6 0 = f ( −1) = f (0) +
y − eπ / 2 = − x
5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求 f (6), f ' (6)或f (1), f ' (1) ，等式取 x->0 的极限有：f(1)=0
3
3
解：令 t = (
ax + bx x 3 ) , ln t = [ln(a x + b x ) − ln 2] 2 x
x
3 3 (a x ln a + b x ln b) = ln(ab) x x − >0 x − >0 a + b （变量替换） 2 3/ 2 ∴ t = (ab) lim ln t = lim
2
解：令 a = lim ln(cos x) / x = −1 / 2
x − >0
（连续性的概念）
三、补充习题（作业） 1. lim
ex −1− x 1 − x − cos x
1 1 − ) sin x x
2 2
x − >0
= −3 （洛必达）
（洛必达或 Taylor）
2. lim ctgx (
x − >0
x − >0
1 − e −x
=1
（洛必达与微积分性质）
x = arctan t 决定，求 dy 2 t dx 2 y − ty + e = 5
2 3
2. y = y ( x)由 ln( x + y ) = x y + sin x 决定，求
dy | x =0 = 1 dx
解：两边微分得 x=0 时 y ' = y cos x = y ，将 x=0 代入等式得 y=1 3. y = y ( x)由2
f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x) sin x sin x =t f (1 + t ) − f (1) f (1 − t ) − f (1) = lim[ +3 ] t − >0 t t = 4 f ' (1) = 8 ∴ f ' (1) = 2 ∴ y = 2( x − 6) lim