2008年南京大学自主招生考试数学试题解析

延长 至 ，使 ，显然 ．
过 分别作 、 的平行线与 、 分别 ， ，易知 ， （等底等高），
则 ，同理有 ，
因为 ，且 ，所以 ，
即 ，故 ．
【另证】用坐标法
建系如图，设 ，
，则 ．
则 ， ， ，
， ， ．
则
横坐标： ，
纵坐标： ．
因为 ，所以 ，
2008年南京大学自主招生数学试题解析
满分：150分 考试时间：90分钟
一．填空题（每小题7分，共70分）
1．已知 ，或 ， ，且 ， ，则 ， ．
【答案】 ，
【解析】依题意易知： ，所以， ， 是方程 的两实根，由根与系数关系易得 ， ．
2． ．
【答案】
【解析】易证结论： 时， ，所以，
，
又 ，故原式 ．
即 ．
二．（20分）设 为正数，且 ，求 的最小值．
【答案】
【解析】本题主要用到三元cauchy不等式的两个变形：
（1）由
（当且仅当 时，取等号）；
（2）当 时，
由
（当且仅当 时，取等号）．
所以
．
当且仅当 时，取等号．
三．（20分）设 为 内任意一点， ， ， 面积分别为 ， ， ，
证明： ．
【解析】
3．若对任意实数 都有 ，则 的取值范围是．
【答案】
【解析】易知 ，则 ，
又 时， ，所以 ，即 ．
4．设 是等差数列 的前 项和， ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，则 ，
由 得 ．
5．已知实数 满足 ，则 的最小值为．
【答案】2
【解析】因为 ，
所以 （当且仅当 或 时，取等号）．
6．设三个复数 ， ， ，且 ，则 ．
此时， ，
故椭圆 的方程为 ．
五．（20分）设正方体 的边长为4， 为 的中点， 是 上一点，并且 ．
（1）求二面角 的大小；（2）求四面体 的体积．
【解析】本题比较简单．
（1）取 的中点为 ，则 ，因此，
四点共面，所以二面角
即二面角 ．显然， 即为所
求二面角的平面角，易得 ．
（2）易知
．
则
，所以 ；
则 ，所以 ，
故 ．
四．（20分）设 是直线 上的点， 与 是椭圆 的焦点．过点 ，且以 、 为焦点作椭圆 ．问 在何处时，所作椭圆 长轴最短，并求椭圆 的方程．
【解析】易知 ， ，作 关于直线
的对称点 ，连接 ，与直线 的焦点即为所求点 ．
设 ，则 ，
即 ，又 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，即 ．
蓝黄蓝
红黄
蓝
由以上树形图可知，没有相邻两个顶点有相同颜色的着色方法共有 种，
所以，概率 ．
9．设 是随机事件，且 ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
而 ．
10．过直线 和圆 交点且面积最小的圆的方程为．
【答案】
【解析】利用圆系方程求解．
设所求圆的方程为 ，
即 ，其圆心为 ，
显然，以交点为直径的圆面积最小，即圆心 在直线 上，将 代入 得 ，从而圆的方程为 ，
【答案】
【解析】由于
，
所以， ，平方相加得： ，
即 ．
7．函数 的单调递减区间为．
【答案】
【解析】定义域为 ， ，由图象可知，当 时， ，即 ，所以 的单调递减区间为 ．
8．用红、黄、蓝三种颜色给正五边形顶点着色，则没有相邻两个顶点有相同颜色的概率为．
【答案】
【解析】A B C D E
黄蓝
红
红黄蓝黄