六年级奥数讲义：圆与扇形

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六年级奥数讲义：圆与扇形
1. 利用圆与扇形面积公式进行面积计算．
2. 会将不规则图形转化为规则图形进行面积计算．
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.
圆的面积=2r π；扇形的面积=2360n
r π⨯； 圆的周长=2r π；扇形的弧长=2360
n r π⨯
.
一、 跟曲线有关的图形元素。

1、 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的12
圆、14
圆、16
圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是360
n . 比如：扇形的面积=所在圆的面积360
n
⨯
； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360
n ⨯
扇形的周长=所在圆的周长360
n
⨯
+2⨯半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）
2、弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积。

（除了半圆）
3、“弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形
4、“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积×2
二、常用的思想方法：
1、转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）
2、等积变形（割补、平移、旋转等）
3、借来还去（加减法）
4、外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）
用平移、旋转、割补法求面积
【例 1】如图，在18⨯8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几?
【分析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分有2
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6+6+8=20
个，部分有6+6+8=20（个），而1个
和1个
正
好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74（个）完整小正方形，而整个方格纸包含8⨯18=144（个）完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的
74144，即37
72
． ［拓展］ 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这
四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3）
D
C
B
A
a
D
C
B
A
a
［分析］ 这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接
通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.
如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，
()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 2
11
42222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
21
2
a =
【例 2】 如图，阴影部分的面积是多少？
2
2
4
【分析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积。

则阴影部分面积(222)4(22)48
++⨯-+⨯=
［铺垫］计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．
A A
［分析］将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形．
()
5105275237.5
+⨯÷=÷=(平方分米)．
【例 3】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆
心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π取3.14)
E
E
4
【分析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以223218
r=⨯=，如右图将左边
的阴影翻转右边阴影下部，S S S
=-
阴影扇形柳叶
11
182(1833)
34
ππ
=⨯-⨯-⨯1838.58
π
=-=
［巩固］求图中阴影部分的面积．（π取3）
45︒
45︒
20cm
［分析］看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面
积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规
则，无法入手.
这样，平移和旋转就成了我们首选的方法.
解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的
①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②
部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个
四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1101050
2
⨯⨯=，所以阴影部分的面积为15050100
-=(平方厘米)．
解法二：欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
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6
所以阴影部分面积为21110101010022
π⨯⨯-⨯⨯=（平方厘米）
.
A
B
【例 4】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？
(圆周率取3.14)
A
F
E
A
F
E
【分析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为
()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正
方形-右上角不规则部分=
1
4
圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=． 方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ,由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△,所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=
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［巩固］ 如图，ABCD 是正方形，且1FA AD DE ===，求阴影部分的面积．(取3π=
)
［分析］ 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通
过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现. 由于对称性，我们可以发现，弓形BMF 的面积和弓形BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC 的面积。

因为ABCD 是正方形，且F A =AD =DE =1，则有CD =DE 。

那么四边形BDEC 为平行四边形，且∠E =45°.我们再在平行四边形BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形BDWC 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积=平行四边形BDEC -扇形DEW 2455
1113608
π=⨯-
⨯⨯=. 方法二：先看总的面积为1
4
的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面积扣除一个等腰直角三角形，一个1
4
圆，一个45︒的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45︒的扇形．面积为215113188
⨯-⨯⨯=．
【例 5】 如图所示，阴影部分的面积为多少?(圆周率取3)
8
33
B A
3
3
A
1.5
1.51.5
45︒45︒
B
33
【分析】 图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．
所以()()229
271.5 1.534333284984
16
A B S S ππ+=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=
．
【例 6】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，
那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)
【分析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆
的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以
()12: 3.142:257:100S S =-=．
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
［巩固］ 如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆
周率取3.14)
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［分析］ 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25cm ⨯⨯÷=
【例 7】 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周
率取3.14)
【分析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再
扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：
4422423 3.148 1.4244
π
π
⨯⨯-
⨯⨯-⨯=⨯-=．
［巩固］ 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；
两个阴影部分的面积相等.求扇形所在的圆面积.
其他方法求面积
10
［分析］ 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的
两个阴影部分通过空白部分联系起来.
等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍. 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即1
1010502
S =⨯⨯=扇形， 则圆的面积为508400⨯=
【例 8】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形
CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积.（π取3）
C
B A
【分析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还
有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.
我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形
ABCD ，
所以不规则部分ABFD 的面积为21
644124
π⨯-⨯⨯=（平方厘米）， 再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积， 则有阴影部分面积为21612154
π⨯⨯-=（平方厘米）.
｜
方法二：利用容斥原理2211
644615
44
EAB BCF ABCD S S S S ππ=+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形（平方厘米）
［巩固］ 如图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15，AEB 是以C 为圆心，AC 为
半径的圆弧. 求阴影部分面积．
A
C
B
［分析］ 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆
加上三角形ABC 再减去扇形ACB 的结果. 半圆面积为21152
π⨯⨯，
三角形ABC 面积为()21151515152
⨯+⨯=，又因为三角形面积也等于212
AC ⨯， 所以22215AC =⨯， 那么扇形ACB 的面积为
22901
2153604AC ππ⨯⨯=⨯⨯⨯. 阴影部分面积S S S S =+-阴影半圆三角形扇形 22211
151521524ππ=⨯⨯+-⨯⨯⨯
= 225 （平方厘米）
【例 9】 下图中，3AB =，阴影部分的面积是
12
D A
A
D
【分析】 如图可知EF =3，设大半圆半径为R ，小圆半径为r ，如右图R EH =，r HG EG ==，
根据勾股定理得222R r =，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
S S S =-阴影小圆柳叶
2)EHF
EHF S S S =--小圆扇形（
22EHF
EHF S S S
=-+小圆扇形
2EHF
S S S =-+小圆大半圆
2EHF
S
=
332 4.5EF GH =⨯=⨯÷=
［铺垫］ 如图，求阴影部分的面积.
（π取3）
［分析］ 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不
能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了. 阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-1
2
大圆面积
=
2221111
343452222
πππ⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅
｜
=6
【例10】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴
着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)
【分析】 (此题十分经典)如图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径
30米的
34个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的1
4
个圆． 所以羊活动的范围是2223
113020104
4
4
πππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
222311302010444π⎛
⎫=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝
⎭
2512=．
【例11】 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.
每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图).那么，阴影部分的面积是多少平方米？
3
C
【分析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式
直接求出阴影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系.
14
将原题图中的等边三角形旋转30°（注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图．因为△AOD 、△BOD 都是等边三角形，所以四边形OBDA 是菱形，推知△AOB 与△ADB 面积相等．又因为弦AD 所对的弓形与弦BD 所对的弓形面积相等，所以扇形AOB 中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC 、扇形BOC 中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10÷2=5(平方米).
【例12】 如图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米.现在以C 点为圆心，把
三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是 平方米（π
取3.14）A
B
C
(B')
A B
【分析】 如图，顺时针旋转后，A 点沿弧'AA 转到'A 点，B 点沿弧'BB 转到'B 点，D 点沿弧'
DD 转到'D 点.因为CD 是C 点到AB 的最短线段，所以AB 扫过的面积就是图中的弧'A AB 与''BDD A 之间的阴影图形.S S S =-阴影半圆空白
'11
1122
ABC BDC AD C S S S =+=⨯⨯=△△△（平方米）
， 2'1
2
ABC ADCD S S CD ===△正方形（平方米）
， 所以，2'14
4
2
8
DCD S CD ππ
π
=⨯=⨯=
扇形（平方米），
我们推知2''(2
BDC ACD DCD S BC S S S π
=⨯--+△△阴影扇形）
1
2
82
π
π
=
-
- 3182
π=-
0.6775=（平方米）.
［铺垫］ 如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，∠ABC =60°，此时BC 长5厘
米.以点B 为中心，将△ABC 顺时针旋转120°，点A 、C 分别到达点E 、D 的位置.求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（π取3）
｜
A B C
D
E
［分析］ 注意分割、平移、补齐.
(2)
(1)
E D
C
B
A
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为∠EBD =60°，那么∠ABE =120°， 则阴影部分为一圆环的13
.
所以阴影部分面积为()221
753AB BC π⨯⨯-=(平方厘米).
1.
求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)：
3
2
45︒
6
⑴ ⑵ ⑶
【分析】 ⑴4.5 ⑵1.5 ⑶ 4.5
2.
如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B 点移动到'B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．
16
【分析】 面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60︒的扇
形面积22603
3 4.53602
cm ππ=⨯⨯==．
3.
如下图，长方形ABCD ，长是8 cm ，则阴影部分的面积 .（ 3.14π=
）
【分析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面
积再除以2即可.
长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：
()2
8828222 6.88π⨯÷-÷÷⨯⨯=
所以左图阴影部分的面积等于6.88÷2=3.44平方厘米.
4.
用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
｜
【分析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22:1:9r R ππ==，
小圆面积1
3649
=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=， 边角料面积36288=-=(平方厘米)．
5.
如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知
10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)
D
D
【分析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，
那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．
ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；
弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．
6.
一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m ，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)
3
【分析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m ，圆心角300°的扇形与两个半径1m ，圆心
角120°的扇形之和．所以答案是243.96m ．
切忌这山看着那山高
兔子是世界上最善良的动物了，它只吃青草，什么也不伤害。

可是，它却被很多动物伤害：狐狸、狼、老虎……这太不公平了！有一天，兔子就向上帝诉苦，
它不想再做兔子了，要求上帝变一变。

上帝很仁慈，马上答应了兔子的要求：“好吧，你想变成什么?”兔子说：“变成一只鸟，在天上自由地飞来飞去，那些狐狸呀狼呀虎呀就再也抓不着我了。

”
上帝把兔子变成了鸟。

没过几天，鸟又来诉苦：“仁慈的上帝呀，我再也不想做鸟了！我们在天上飞，天上的老鹰能抓住我们；我们在树上筑巢，树上的毒
蛇能咬死我们。

这样的日子实在是太难过了!”
上帝问鸟：“你想怎么样呢?”鸟说：“我想变成大海里的一条鱼，海里没有老鹰，没有毒蛇，我们才能安心地过日子。

”
上帝又把鸟变成了鱼。

可是，鱼的处境似乎更糟，因为大海里到处都有“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米”的争斗。

过了几天，鱼又要求上帝把它变成人……
千万不要与别人盲目攀比，不要羡慕别人所拥有的而看轻自己，不要用别人的标准来衡量自己。

现在拥有的才是自己真正的财富，其实真正的强者从不在乎
自己是什么，只在乎自己成功了什么。

18。