向量法证明平面几何问题
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
向量在平面几何中的应用
例如，向量数量积对应着几何中的长度. 如图： 平行四边行ABCD中，
设 AB a, AD b ，则
AC AB BC a b
DB AB AD a b
2
AB
2
a
|
AB |2
2
AD
2
b
|
AD |2
向量 AB, AD 的夹角为 ∠BAD.
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在 对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平 行四边形。
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
0
所以DP EF
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法指的是运用向量及其相关性质和操作解决几何问题的方法。
1. 向量的表示首先，我们需要了解向量的表示方式。
在平面直角坐标系中，向量\overrightarrow{v}可以表示为一个有序数对(x,y)，其中x和y分别为向量在x 轴和y轴上的投影长度。
向量的起点为坐标原点，终点为(x,y)点。
2. 向量的加减向量的加减操作即是将两个向量的相应分量相加减。
例如向量\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)和\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)的和可以表示为\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)，差可以表示为\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)。
3. 向量的数量积向量的数量积（或内积）指的是两个向量的对应分量相乘再相加的结果。
例如，向量\overrightarrow{a}=(a_x,a_y)和\overrightarrow{b}=(b_x,b_y)的数量积可以表示为\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_xb_x+a_yb_y。
4. 向量的模长向量的模长（或长度）指的是向量的起点到终点的距离，可以用勾股定理求得。
向量\overrightarrow{v}=(x,y)的模长可以表示为\overrightarrow{v}=\sqrt{x^2+y^2}。
5. 向量的法向量对于给定的向量\overrightarrow{v}=(x,y)，它的法向量\overrightarrow{n}=(-y,x)垂直于\overrightarrow{v}，满足\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0。
可以通过旋转向量\overrightarrow{v}90度得到法向量\overrightarrow{n}。
用向量法解答平面几何若干问题
了应 用 向量 法证 明 平 面 几何 的 有 关性 质 及 一 些重 要 定理 、 关平 面 几何 的一 些 基 本 问题 （ 直 线垂 直 、 有 如 三点 共 线 、 四 最共 圆等 问题 ）开用 向量 法对 平 面几 何 的一 些结 果做 了推 广 ， 分体现 了用 向量 法 解答 一些 平 面几 何 问题 的优越 性 。 ， 充
［ 形到向量 】 响 量 的运算 】 —— ——Ｉ 量 和数 到形 】 『 旬 ， 这就
是 用 向 量方 法 解 决 几 何 问题 的 “ 二 曲 ” －步 ： （ ） 立平 面 几 何 与 与 向量 的联 系 ， 向 量表 示 问 题 中 １建 用 涉 及 的几 何 元 素 ， 平 面几 何 问题 转 化 为 向量 问题 ；２ 通 过 将 （）
关键 词 ： 向量 法 ； 面几 何 ； 平 优越 性 ； 向量 推 广
中 图分 类 号 ： ６ ２ Ｃ ４ 文 献标 志 码 ： Ａ 文 章编 号 ： ６ ｌ ７ ４ （ ０ ０ ０ — １ ６ ０ １ ７ 一 ７ Ｏ ２ １ ）５ ０ ８ — ６
向量 是研 究 几 何 学 的 重要 １ ， 是现 代 数 学 最 活跃 的分 具 支之 一 。 向量 既 具 有 几何 特 征 又具 有 代 数 特 征 ， 者融 为一 两 体 ， 其 有 丰 富 的 内涵 和 ， 泛 的 应用 背 景 。而 向量 的坐 标 运 使 ‘ 算 又 是其 代 数 特 征 与 几何 特 征 相 互 转换 的桥 梁 ， 而很 多 几 因 何 问 题 ， 别 是把 抽 象 的空 问想 象全 部 转 化 为 熟 悉 的代 数 运 特 算 而 获解 ， 就 大 大 降 低 了思维 难 度 。运 用 向 量法 解 题 的突 这
出优点是思路朗确 ， 过程格式化 ， 便于掌握 。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法引言平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、线、面等几何对象以及它们之间的关系与性质。
向量方法是解决平面几何问题的一种常用方法，通过引入向量概念，可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
本文将介绍平面几何中的向量方法，并通过具体例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
向量的定义和表示向量定义在平面几何中，向量是具有大小和方向的量。
它可以表示从一个点到另一个点的箭头，并且箭头长度表示向量大小，箭头方向表示向量方向。
向量表示在平面几何中，通常使用字母加上箭头来表示一个向量。
例如，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示从点A 指向点B 的向量。
另外，还可以使用坐标来表示一个向量。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从A 指向B 的向量可以表示为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−x1,y2−y1)。
向量运算向量加法在平面几何中，两个向量可以进行加法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的加法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，得到一个新的向量。
向量减法在平面几何中，两个向量可以进行减法运算。
假设有两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的减法结果可以表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
即将第二个向量取负后进行加法运算。
向量数量乘法在平面几何中，一个向量可以与一个实数相乘。
假设有一个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和一个实数k ，则它们的数量乘积可以表示为k ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(kx,ky )，其中x 和y 是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标。
内积在平面几何中，两个非零向量之间定义了内积运算。
假设有两个非零向量A=(x 1,y 1)和B⃗ =(x 2,y 2)，它们的内积可以表示为A ⋅B ⃗ =x 1x 2+y 1y 2。
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
数学中的向量与平面几何关系的证明技巧
数学中的向量与平面几何关系的证明技巧数学中的向量与平面几何关系是一项基础而重要的内容。
在数学证明过程中，通过运用向量与平面几何的知识，可以对几何问题进行分析和解决。
本文将介绍一些常见的向量与平面几何关系的证明技巧，以帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、向量与平面的基本定义在开始讨论向量与平面的关系之前，我们先来回顾一下向量和平面的基本定义。
向量：向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的大小通常使用线段的长度来表示，而方向则由箭头所指的方向来表示。
向量可以通过坐标表示，例如在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)。
两个向量可以相加、相减以及与实数相乘。
平面：平面是一个无限延伸的二维空间，可以由三个非共线的点确定。
平面上的点可以通过二维坐标表示，例如在平面直角坐标系中，平面上的点可以表示为(x, y)。
二、向量在平面几何中的应用1. 平面上两点的向量表示在平面上，可以通过两点来确定一个向量。
对于平面上的两点A和B，它们的向量表示为向量AB，记作→AB。
向量AB的大小等于直线AB的长度，方向由A指向B。
2. 平面上向量的加减运算在平面上，两个向量的加法和减法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
对于向量AB和向量BC，它们的和向量等于从A到C的向量AC，差向量等于从B指向A的向量→BA。
3. 平面上向量的数量积和夹角向量的数量积可以用来计算向量的长度以及两个向量之间的夹角。
对于向量→AB和→CD，它们的数量积等于|→AB|·|→CD|·cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。
三、向量与平面几何关系的证明技巧基于以上的向量与平面几何的基本知识，我们可以运用一些证明技巧来解决相关问题。
1. 平面的垂直与平行关系证明通过向量的数量积可以证明平面的垂直与平行关系。
例如，对于平面上的两个向量→AB和→CD，若它们的数量积为零，则可以得出结论：直线AB与直线CD垂直。
若它们的数量积非零且比值相等，则可以得出结论：直线AB与直线CD平行。
直线平面垂直判定定理向量法证明
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理，它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
两个向量可以相加、相减，并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模，方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为：u·v = |u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律：u·v = v·u，并且对于任意实数k，有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直（或正交）当且仅当它们的内积为零：u·v = 0。
如果两个非零向量垂直，则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质，我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下：【第一部分：平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P，我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A，P上有一点B，并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C，并且从A到C的向量为w。
根据定义，我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面，所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义，我们知道v与w垂直。
根据内积的性质（交换律），我们可以得到：(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直，所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
平面几何的向量方法
平面几何的向量方法平面几何中的向量方法是一种重要的解题工具。
向量是具有大小和方向的量，可以表示平面上的位移和方向。
在解题中，我们常常使用向量来描述几何图形的性质和关系。
1. 向量的定义和表示方法：向量可以用有序对或箭头表示。
用有序对表示时，向量的起点和终点分别为坐标系中的两个点，向量的坐标差值表示向量的大小和方向。
用箭头表示时，箭头的起点为原点，箭头的方向和长度表示向量的方向和大小。
2. 向量的运算：(1) 向量的加法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到的新向量。
(2) 向量的减法：向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到的新向量。
(3) 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量与一个数相乘得到的新向量。
3. 向量的性质：(1) 向量的大小：向量的大小是向量的模长，表示向量的长度。
(2) 零向量：零向量是大小为0的向量，其方向可以是任意方向。
(3) 单位向量：单位向量是大小为1的向量，表示一个特定方向。
(4) 平行向量：平行向量是方向相同或相反的向量。
(5) 垂直向量：垂直向量是方向成直角的向量。
4. 向量的应用：(1) 向量的共线性：若两个向量共线，则它们的方向相同或相反，或者其中一个向量是另一个向量的倍数。
(2) 向量的平行性：若两个向量平行，则它们的方向相同或相反。
(3) 向量的垂直性：若两个向量垂直，则它们的方向成直角。
(4) 向量的投影：向量的投影是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
(5) 向量的夹角：向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。
5. 解题步骤：(1) 确定所求的向量和已知的向量。
(2) 使用向量的运算法则进行计算，得到所求的向量。
(3) 根据所求的向量的性质，判断题目所要求解的问题。
通过使用向量方法，我们可以简化解题过程，快速解决平面几何问题。
需要注意的是，在解答问题时，要严格按照向量定义和运算规则进行计算，理解和应用向量的性质，正确判断和应用向量的方法。
平面几何中的向量方法 (解析版)
《平面几何中的向量方法》教案数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的. 重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学过程一、 情景导入1. 平面向量的运算在几何中的运用（1）证明线线平行和点共线问题此类问题常用向量共线基本定理：若()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=.（2）证明垂直问题 此类问题常用向量数量积的运算性质：112200a b a b x y x y ⊥⇔⋅=⇔+=,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==.（3）求夹角问题 此类问题可利用夹角公式：21cos a ba b x θ⋅==+,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==. （4）求线段的长度此类问题可以用向量的模的计算公式：若(),a x y =,则22||a a x ==+2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：（1）中点坐标公式：若111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，，且P 为12P P 的中点：则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ； （2）三角形重心坐标公式：若ABC ∆的三个顶点坐标为：111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，，( )P x y ，为ABC ∆的重心，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；注意：重心分ABC ∆的中线为2:1的性质. 拓展：定比分点的坐标公式设111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，,因为12P P PP λ=，所以：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩注意：根据这个公式可以在111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，三个量中，知道两个求第三个；3．平移和平移公式：点的平移公式：设( )P x y ，是旧点，它按() a h k =，平移后的新点是'(' ')P x y ，，则它们的坐标有如下关系： ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩；注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.四、典例分析题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .[证明] 证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2，BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .证法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC .变式训练1： 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .【答案】见解析．【解析】证明 法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．变式训练2： 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明 设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝FA →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . 所以FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上.题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)． ∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2.∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，设F (x,0)，则AF →＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，设AF →＝λAE →， 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a |2＝a 2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练3：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ， 而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.∴|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6， ∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业1、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .2 在正ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且1,3==BD AB ，则AD AB ⋅的值为 .BCC 1解：如图，过D 作AB D D ⊥'于D '，则2160cos =='BD D B ， ∴25213=-='D A ， 由数量积的几何意义得D A AB AD AB '⋅=⋅215=． 3 在ABC ∆中，90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上， 且DB CD 2=，则AD AB ⋅的值为 .4 在ABC ∆中，AB AD⊥,BC =1=,则=⋅AD AC .这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考， 不仅思路自然，而且过程简单．B C D。
初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例
《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径.数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构；数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等；数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程.可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野；激发兴趣，发展思维；培养爱国主义思想，增强民族自豪感；加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力.值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中.一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”；另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系.我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决.这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育.同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量；用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作；至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）.为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.一、教学实践“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展.希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界；同时，在数学问题解决初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例罗佳骏收稿日期：2020-08-15作者简介：罗佳骏（1984—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一.沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体.这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分.文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.关键词：数学阅读；数学交流；实践与思考··21过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性.对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.1.泛读——初步感知泛读是本节课的准备阶段.通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系；同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫. 2.通读——问题展示通读是整体感知阶段.通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点.为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究.这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：①圏划你认为重要的部分；②记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方；③比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系.学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法.通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系.由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问.例如，下面是一些学生的疑问.生1：如何用向量方法证明几何问题？生2：如何选取合适的向量？生3：向量关系与几何关系如何转化？生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多. 3.精读——问题解决精读是本节数学阅读课的核心环节.数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性.当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义.这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破.这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果.以下为节选的部分小组交流片断.第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论.向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.第二组：我们分析比较了例1中的解法.例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO=OC，DO=OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”.首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一个是方向.已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出AO+OB=AB，DO+OC=DC.相等向量所在的有向线段DC=AB，这是数量关系.还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB=DC，然后再回到几何证明.图1第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态.由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁.用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限··22的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解.期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.演绎推理方法证明几何题图24.解读——巩固练习解读是检验与完善的阶段.在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.已知：如图3，四边形ABCD 是平行四边形，CN =AM ，AE =CF.求证：四边形NEMF 是平行四边形.AB CD E FM N图3考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究.以下是学生的交流片断.生1：根据已知条件，作 EA ， AM ， EM ，CF ， NC ，NF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 平行且等于CD.因为CN =AM ，所以 AM =NC .因为AE和CF 在同一直线上，且AE =CF ，所以 EA =CF .所以 EA + AM = CF + NC ，即 EM =NF .所以EM ∥NF ，且EM =NF.所以四边形NEMF 是平行四边形.5.延读——拓展延伸阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合.一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升；另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.阅读下列材料，并完成证明.我们知道，两个相同的实数a 相加，结果为2a ，即a +a =2a .那么两个相同的向量a 相加，是否也有类似的结果呢？即a +a =2a 吗？如图4，已知向量a ，在平面内取一点O ，作向量OA =a ， AB =a ，由向量加法运算法则，得OB =a +a .aOA B图4同时，我们不难看到：向量OB 的方向与向量a 的方向相同，向量OB 的长度是向量a 的长度的2倍，即|| OB =2||a .我们把这样的向量OB 记为向量2a ，即OB =2a .由上可知，2a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的2倍.类似地，3a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的3倍.那么，32a 表示为；12()a +b 表示为.反过来，如果 MN =2PQ ，则意味着MN 和PQ 平行（或共线），且MN =2PQ .上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理.请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图5，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点.求证：EF ∥BC ，EF =12BC .··23ACE F图5该作业的主要任务是开展“拓展阅读”.学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理.其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力.在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.二、几点思考1.阅读课的目标定位读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标.数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用.这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法；还能在阅读和思考过程中不断产生疑问.例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.2.阅读课的主体定位数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位.在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论.学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流.这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.3.阅读课的方式定位数学阅读课的学习方式通常是开放式的.数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的.开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果.另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.4.阅读素材的选择各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神；通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料.以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的.即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习.通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.5.阅读课的评价方式不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式.笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.（1）课堂评价.学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势.在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的··24数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.（2）作业评价.传统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一.如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容；在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用；解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流；能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确；解题过程基本正确；能用较为规范、简洁的语句进行交流；能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确；有解题过程，但解答存在一定错误；能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单. 6.阅读课的局限性（1）不同学生的差异.不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生.笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃；但是对于学困生却不一定有帮助.虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低.没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.（2）阅读时间的把握.确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点.阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值；阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果.这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设.另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程.学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.参考文献：［1］倪湘丽.初中数学阅读教学的实践研究：以苏科版教材七上、八上的教学实践为例［D］.苏州：苏州大学，2014.［2］朱丽霞.数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀：以“三角形内接正方形的作法”阅读课为例［J］.上海中学数学，2020（1/2）：42-44，64.［3］谷荷莲.高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例［J］.数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.［4］朱纪英.初中数学阅读教学有效性研究与实践［D］.上海：上海师范大学，2012.··25。
高二数学--用空间向量研究直线,平面的位置关系
(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的
方程组
n
a
0
n b 0
(讲课 4)解方程组，取其中一个坐标的值，即得法向量。
人
：
邢
启 强
21
复习引入 平行关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面
, 的法向量分别为 u, v ，则
已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，
且 l m,l n. 求证：l .
解：设直线l, m, n的方向向量分别为a,b, c.
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
m, n ,且m, n相交，
内任一向量 p可以表示为如下形式：
p xb yc, x, y R.
讲
课
人
：
邢
启 强
16
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
讲
课
人
：
邢
启 强
17
巩固练习 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， 设Q是棱CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平 面PAO?
讲
课
人
：
也就是说用直线的方向向量和平面的法 向量来证明位置关系.
1.用向量方法证明两直线平行
讲
课
人
：
邢
启 强
5
例题讲评
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是面ABB1A1,面A1B1C1D1的中心，求证： EF//平面ACD1.
讲
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法首先，我们来看一下向量的定义。
在平面几何中，向量通常用有向线段来表示，记作→AB。
其中A称为向量的起点，B称为向量的终点。
向量的模表示为|→AB|，即有向线段的长度。
而方向则由起点指向终点的方向确定。
两个有相同模和相同方向的向量被认为是相等的。
接下来，我们来介绍一些向量的基本性质。
向量具有可加性，即两个向量可以相加得到一个新的向量。
设有向线段→AB和→BC，则它们的和记作→AC，即两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
此外，向量还具有数量乘法的性质，即一个向量可以与一个实数相乘得到一个新的向量，其模的大小为原向量模的大小与实数的绝对值的乘积，方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
在几何问题中，向量方法可以简化求解过程，使得问题的解决变得更加直观。
例如，在求解平面几何图形的重心时，可以利用向量的方法来进行计算。
设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则三角形的重心G的坐标可以表示为G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。
通过向量的方法，我们可以简洁地得到三角形的重心坐标，而不需要进行繁琐的计算。
此外，向量方法还可以用于证明几何关系。
例如，在证明平行四边形的对角线互相平分的问题中，可以利用向量的方法进行证明。
设有平行四边形ABCD，其对角线AC和BD的中点分别为M和N，则可以利用向量的加法和数量乘法来证明向量AM等于向量MC，向量BM等于向量MD，从而得到对角线互相平分的结论。
在平面几何中，向量方法具有广泛的应用，可以简化问题的求解过程，使得复杂的几何关系变得清晰而直观。
通过向量方法，我们可以更加方便地进行几何问题的分析和求解，为我们的几何学习和研究提供了有力的工具。
希望本文对你在平面几何中的向量方法有所帮助。
平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法平面几何是几何学的一个分支，主要研究在平面上的点、直线、曲线等几何对象及其性质。
向量方法是平面几何中一种重要的解题方法，通过引入向量的概念和运算，可以简洁地描述和推导几何问题。
向量是平面几何中的基本概念之一，它是有大小和方向的量。
在平面几何中，一般用有向线段表示向量，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
两个向量如果大小相等且方向相同，则称为相等向量。
向量的表示方法有多种，最常见的是用坐标表示。
在平面直角坐标系中，设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的坐标表示为∑(x,y)，其中x和y分别是B点的横坐标和纵坐标减去A点的横坐标和纵坐标。
例如，向量AB的坐标表示为(2,3)。
向量的运算是指对向量进行加法、减法、数乘等操作，得到新的向量。
向量的加法满足向量的三角形法则：将两个向量的起点置于同一点，然后将它们依次相接，新向量的起点是原向量的起点，终点是最后一个向量的终点。
向量的减法可以通过向量加法和数乘来表示，即AB-AC等于向量AB加上向量(-AC)。
向量的数乘是指用一个数乘以一个向量，新向量的大小等于原向量的大小乘以这个数，方向与原向量的方向相同（当数大于0时）或相反（当数小于0时）。
向量方法在平面几何中有广泛的应用。
首先，向量可以表示平面上的直线。
设直线是向量a的全体平移向量，即过直线上一点P的所有点的位置向量都可以表示为P加上向量a的倍数，即r+λa（λ∈R），其中r是向量a的起点。
这样，通过引入向量，我们可以用向量方程来表示直线，方程形式简洁明了。
其次，向量方法可以用来判断平面上的点是否共线。
若三个点A、B、C在同一条直线上，则向量AB与向量AC平行。
因此，我们可以通过计算向量的平行关系来判断点的共线性。
此外，向量方法还可以用来求解直线的方程、交点等问题。
例如，设平面上有两条直线L1和L2，要求求出它们的交点P，则可以先求出直线L1上一点到直线L2的距离为零的位置向量p，即满足l1+pμ1=l2+pμ2（μ1,μ2∈R），得到方程组，进而求解μ1和μ2的值，将其代入到直线L1和L2的方程中即可求出交点P的坐标。
人教A版高中数学必修第二册-第六章 -6-4-1平面几何中的向量方法
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方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则 A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
则A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2).
， 因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2) ＝2－2＝0
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
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跟踪训练
一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三 个力的合力所做的功为_－__4_0____.
解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵A→B＝(－1,4)， ∴F·A→B＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即52m－12－ 23× 23＝0， 解得 m＝45，
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二 利用平面向量求几何中的长度问题
例2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
→
→
→
→
解 设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b， →
而|BD|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
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知识点二 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有 力、速度、加速度、位移 等. (2)向量的加减法运算体现在 力、速度、加速度、位移的合成与分解 . (3)动量mv是向量的 数乘 运算. (4)功是 力F 与 所产生的位移s的数量积.
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