函数模型及其应用

四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是
()
A．减少 7.84%
B．增加 7.84%
C．减少 9.5%
D．不增不减
解析：设某商品原来价格为 a，依题意得：
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
所以(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.
5.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此 材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中 间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成 的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计) 解析：设围成的矩形场地的长为 x m，则宽为2004－x m， 则 S＝x·2004－x＝14(－x2＋200x)． 当 x＝100 时，Smax＝2 500 (m2)． 答案：2 500
函数模型及其应用
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
课 前自 修区
一、基础知识批注——理解深一点
1．常见的 8 种函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k 为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k 为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0， b≠1)； (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0， a>0，a≠1)； (7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1)；
增长速度越来越快的形象比喻．
(×)
(3)幂函数增长比直线增长更快．
( ×)
(二)选一选
1．在某个物理实验中，测量后得变量 x 和变量 y 的几组数据，
如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是
()
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
解析：由 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；由 x
＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入
函数 y＝log2x，可知满足题意． 答案：D
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生
产某种商品
x
万件时的生产成本为
C(x)
＝
[解题技法] 二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时， 一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函 数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上 的最值，然后比较大小．
(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立 的条件，也可以利用函数单调性求解最值．
答案：A
来自百度文库
2．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一 核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城 市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的 平方与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； 解：(1)由题意知 x 的取值范围为[10,90]． (2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．
A．11.5 元
B．11 元
C．10.5 元
D．10 元
解析：根据题意可知 f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，
f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得 A＝5，B＝12，C＝4，所以 f(x)
4，0<x≤5， ＝4＋12x－5，x>5，
所以 f(20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.
幂函数模型 y＝xnn>0可以描述增长幅度不同的变化，当 n, 值较小n≤1时，增长较慢；当 n 值较大n>1时，增长较快.
二、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．
(×)
(2)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)
[题组训练] 1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股
票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次
下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)
为
()
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
解析：设该股民购进这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停
2．建立函数模型解应用问题的 4 步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，
初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建
立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实
际问题中． 以上过程用框图表示如下：
课 堂讲 练区
考点一 二次函数、分段函数模型
[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数 在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则 给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元．
(3)核电站建在距 A 城多远，才能使月供电总费用 y 最少？ 解：因为 y＝5x2＋52(100－x)2
＝125x2－500x＋25 000
＝125x－13002＋50 3000，
所以当
x＝1030时，ymin＝50
000 3.
故核电站建在距 A 城1030 km 处，能使月供电总费用 y 最少．
后的价格为 a(1＋10%)n＝a×1.1n 元，经历 n 次跌停后的价格
为 a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝
0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损． 答案：B
2．声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y＝10lg10I－12给出，其中 I 为声 强(单位：W/m2)． (1)平常人交谈时的声强约为 10－6 W/m2，求其声强级． (2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低 声强为多少？ 解：(1)当声强为 10－6 W/m2 时，由公式 Y＝10lg10I－12， 得 Y＝10lg1100－－162＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当 Y＝0 时，由公式 Y＝10lg10I－12，得 10lg10I－12＝0. ∴10I－12＝1，即 I＝10－12 W/m2， 则最低声强为 10－12 W/m2.
(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)． (1)形如 f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模 型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a， 0)和(0， a]上单调递减． ②当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a，当 x<0 时，x＝－ a时 取最大值－2 a. (2)函数 f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0， ab]内单调 递减，在区间[ ab，＋∞)内单调递增．
1 2
x2
＋
2x＋20(万
元)．一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月
应生产该商品数量为
()
A．36 万件
B．18 万件
C．22 万件
D．9 万件
解析：设利润为 L(x)，则利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2
＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值．
答案：B
3．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则
2．三种函数模型的性质
性质
函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上 的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大， 随x的增大，
逐渐表现为与 逐渐表现为与
y轴平行
x轴平行
随n值变化 而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
当 t＝1 时，由 y＝4，得 k＝4，
由121－a＝4，得
a＝3.所以
4t，0≤t≤1， y＝12t－3，t>1.
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克
时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
[解]
由 y≥0.25 得04≤ t≥t≤ 0.215，
[题组训练] 1．某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)
＝CC， ＋0B<xx－≤AA，，x>A. 已知某家庭 2018 年前三个月的煤气
费如表： 月份 一月份
用气量 4 m3
煤气费 4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为 ( )
t>1， 或12t－3≥0.25，
解得116≤t≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是 5－116＝7196(小时)．
[解题技法] 1．掌握 2 种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解 时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是 增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、 银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要 通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值 问题，必要时可借助导数．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； [解] 设每团人数为 x，由题意得 0<x≤75(x∈N*)，飞机 票价格为 y 元， 则 y＝990000－，100<xx≤－3300，，30<x≤75，
即 y＝190200，0－0<1x0≤x，303，0<x≤75.
[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人 数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30， 则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元．
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] 设旅行社获利 S 元，
则 S＝910200x0－x－151000x02－，105<x0≤00，30， 30<x≤75，
即 S＝9－001x0－x－15600020＋，201<0x0≤0，303，0<x≤75. 因为 S＝900x－15 000 在区间(0,30]上为增函数，故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000. 又 S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30,75]，所以当 x＝ 60 时，S 取得最大值 21 000. 故当 x＝60 时，旅行社可获得最大利润．
答案：A
(三)填一填 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过
100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行程千米数 x(km)之间的函数关系式是____________． 解析：由题意可得 y＝00..54xx，＋01＜0，x≤x＞10100，0. 答案：y＝00..54xx， ＋01＜ 0，x≤ x＞101000，
考点二 指数函数、对数函数模型
[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如 果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药
后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小 时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； kt，0≤t≤1，
[解] 由题图，设 y＝12t－a，t>1，