高等数学有理函数积分
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高等数学 第四节 有理函数的积分
第四节
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学课件D44有理函数积分
积分的线性性质是积分的基本性质之一，也是积 分运算的重要基础
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
有理函数的积分-高等数学教案
2） 的一次 重因式 ，对应 项：
；
3） 的二次单因式 ，对应一项 ；
4） 的二次 重因式 对应 项：
证明略
例如：
例1将下列各分式分解成最简单分式之和。
（1） ；（2） .
解：（1）有定理可知， 。
右端通分，约去分母，解得 。
（2）
解得
例2求
解：
解得 ， ，所以
例3求
解：
例4求下列积分
（1） （2）
教学媒体
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
我们知道被积函数连续时，不定积分一定存在，但是，并不是每个不定积分都可以用初等函数表示的，例如：
等等，他们的原函数不再是初等函数。
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式
变换后原积分变成了有理函数的积分即：
例5求
解：令 ，有
例6求
解令 则 x2arctanu
于是
解令 则
说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
例7求 .
解法一： ，有
解法二：
。
例18
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例8求
解设xt6于是dx6t5dt从而
例9求
解设 即 于是
解：（1）
（2）
练习：1、求
解
提示
2、求
解
提示
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
；
3） 的二次单因式 ，对应一项 ；
4） 的二次 重因式 对应 项：
证明略
例如：
例1将下列各分式分解成最简单分式之和。
（1） ；（2） .
解：（1）有定理可知， 。
右端通分，约去分母，解得 。
（2）
解得
例2求
解：
解得 ， ，所以
例3求
解：
例4求下列积分
（1） （2）
教学媒体
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
我们知道被积函数连续时，不定积分一定存在，但是，并不是每个不定积分都可以用初等函数表示的，例如：
等等，他们的原函数不再是初等函数。
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式
变换后原积分变成了有理函数的积分即：
例5求
解：令 ，有
例6求
解令 则 x2arctanu
于是
解令 则
说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
例7求 .
解法一： ，有
解法二：
。
例18
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例8求
解设xt6于是dx6t5dt从而
例9求
解设 即 于是
解：（1）
（2）
练习：1、求
解
提示
2、求
解
提示
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
4.4 有理函数的积分
d
−3
− 5 + 6
−2
1
1
d( − 2)
= −5 න
d( − 3) +6 න
−2
−3
= −5 ln | − 3| + 6 ln | − 2| +
第四节 有理函数的积分
第四章 不定积分
(3) 由例1知
4
2
1
−
+
1
5 + 5
5
=
(1 + 2)(1 + 2 ) 1 + 2
2
=6 ln ||
第四章 不定积分
二、三角函数有理式的积分
定义
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为
三角有理式. 一般记为 (sin , cos )
2 tan
2 ,
∵ n =
2
1 + tan
2
cos =
1
2
− tan
2
2
1 + tan
2
2
令 = tan , 则 = 2 arctan , 且d =
例5
解
1
求 න 4 d .
sin
2
2
,d =
d,
方法1. 设 = tan , sin =
2
2
1+
1+
2
1 + 32 + 34 + 6
1
d
න 4 d = න
4
8
sin
1
1
3
3
=
− 3 − + 3 +
−3
− 5 + 6
−2
1
1
d( − 2)
= −5 න
d( − 3) +6 න
−2
−3
= −5 ln | − 3| + 6 ln | − 2| +
第四节 有理函数的积分
第四章 不定积分
(3) 由例1知
4
2
1
−
+
1
5 + 5
5
=
(1 + 2)(1 + 2 ) 1 + 2
2
=6 ln ||
第四章 不定积分
二、三角函数有理式的积分
定义
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为
三角有理式. 一般记为 (sin , cos )
2 tan
2 ,
∵ n =
2
1 + tan
2
cos =
1
2
− tan
2
2
1 + tan
2
2
令 = tan , 则 = 2 arctan , 且d =
例5
解
1
求 න 4 d .
sin
2
2
,d =
d,
方法1. 设 = tan , sin =
2
2
1+
1+
2
1 + 32 + 34 + 6
1
d
න 4 d = න
4
8
sin
1
1
3
3
=
− 3 − + 3 +
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
高等数学第四章有理函数的积分
x2 1
-
1)
dx
1
2
1+
1 x2
x2
+
1 x2
dx
-1 2
1
-
1 x2
x2
+
1 x2
dx
技巧
1 2
d( x - 1 ) x
-1
( x - 1 )2 + 2 2
d( x + 1 ) x
( x + 1 )2 - 2
x
x
1
arctan
x
-
1 x
-
1
1
ln
22
2 22 2
x+ 1 x
A 1 ( x - a)1-n + C 1- n
16
( x2 + px + q) 2x + p
Ax + B
(3) x2 + px + q dx
Ax + A p- A p + B
22
x2 + px + q
dx
Ax + A p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B
-
A 2
p)
Q( x) 部分分式的和. 如果分母多项式Q( x)在实数域 上的质因式分解式为:
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
5
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
高等数学课件4-4有理函数的积分
积分的几何意义
积分是微积分中 的重要概念，用 于计算曲线下的 面积
积分的几何意义 在于将曲线下的 面积分割成无数 个小矩形，然后 求和
积分的极限定义 是积分的几何意 义的数学表达
积分的几何意义 可以帮助我们理 解积分的物理意 义，如计算物体 的质量、体积等
有理函数的积分性质
积分的线性性质
积分的线性性质在积分计算 中的应用
线性性质：积分是线性的， 即两个函数的积分等于两个 函数积分的和
积分的线性性质在积分变换 中的应用
积分的线性性质在积分不等 式中的应用
积分的几何意义
积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积 积分的几何意义在于将函数图像下的面积转化为积分表达式 积分的几何意义可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质 积分的几何意义在物理、工程等领域有着广泛的应用
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
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积分的计算方法
直接积分法：适用于简单函数， 如x^2，x^3等
分部积分法：适用于含有对数函 数的函数，如x^2ln(x)， x^2ln(x)+x^3等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
换元积分法：适用于复杂函数， 如x^2+x^3，x^2+x^3+x^4 等
积分表法：适用于已知积分的函 数，如x^2，x^3，x^4等
有理函数：由有理数、无理数、常数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本函数 组成的函数
有理函数的特点：具有连续性、可导性、可积性等性质
有理函数的分类：根据函数的形式和性质，有理函数可以分为代数函数、超越函数、三角函数 等
有理函数的应用：在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 傅里叶变换等
高等数学课件D44有理函数积分
长除法
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
对于假分式，可以通过 长除法将其化为多项式 与真分式的和，再对真 分式进行部分分式分解 和积分。
避免计算过程中常见错误
忽略定义域
在进行有理函数积分时，需要注 意函数的定义域，避免出现无意 义的积分结果。
计算错误
部分分式分解、长除法等计算过 程中，需要注意运算的准确性和 细节，避免因为计算错误导致最 终结果错误。
t$进行求解。
解答
原式$= arctan x + C$
03
实例2
04 求解$int
frac{3x+2}{x^2+4x+5} dx$
思路
05 将分子拆分为与分母相关的项
，再利用基本积分公式求解。
解答
06 原式$= frac{3}{2}
ln(x^2+4x+5) - arctan(x+2) + C$
假分式积分实例
策略1：因式分解
对于形如$frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$Q(x)$可因式分解，可将其拆分为多个简单真分式的和 进行积分。
复杂有理函数积分策略
策略2
部分分式分解
策略3
三角换元法或根式换元法
复杂有理函数积分策略
• 对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$、 $\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 等项的有理函数，可尝试使用三角换元法 或根式换元法进行积分。
部分分式分解法
01
将有理函数分解为部分分式的和。
02
对每个部分分式进行积分，利用基本积分公式和积分法则。
03
将积分结果相加，得到原函数的积分表达式。
长除法求余数法
高等数学第五章有理函数积分
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1) x 1 x ( x 1 )
1 A( x 1) 2 Bx Cx ( x 1) (1)
代入特殊值来确定系数 A, B, C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
其中m 、n 都是非负整数；a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
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例6. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
2
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
arctan( x 1)
1 x 2x 2
2
C
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dx 例7. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
dx
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例5. 求
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1 sin x x(1 cos
x)
dx
1
2t 1t 2
2t 1t
2
(1
1t 1t
2 2
)
2 1t
2
dt
1 2
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x
t
2
1 t
dt
sin
x
1
2
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
dx
例6. 求 x4 1
本题用常规方法解很繁
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
(
x
1 1)2
1 x(x 1)
(
x
1 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
4.
(
M x2
x px
N q)
n
dx
2x p
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
例2. 求
解: 已知
(1
1 2x)(1
x
2
)
1 5
1
4 2
x
1
2x x
2
1
1 x
2
例1(3)
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1 5
d(1 x2 1 x2
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
sin
x
2
sin
x 2
sin 2
x 2
cos
x 2
cos2
x 2
2 1
tan
x 2
tan 2
x 2
2t 1 t
2
cos
x
cos2 sin 2
x 2
sin
2
x 2
cos2
x 2
x 2
1 1
tan tan
2 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
2 1 t
2
dt
sin
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R(x , n ax b ) dx , 令 t n ax b
R(x
,n
a xb c xd
) dx
,
令
tn
a xb c xd
dx
dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
arctan(x
1)
x2
1 2
x
2
C
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
B 2 5
C1 5
原式
=
1 5
4 1 2x
2x 1
1 x2
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
(x2 px q)
3.
x
MxN 2 px
q
dx
t t
2
C
cos
x
1 1
t t
2 2
4 2 22
2
d
x
1
2 t
2
d
t
例8. 求
解:
原式
a
2
1 cos 2
x
dx
tan2 x
b2
1 a2
d tan x
tan 2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
(
b a
)
2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
说明: 通常求含 sin2 x, cos2 x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧
1 2
(
d(x
x
1 x
)2
1 x
)
2
1 2
(
d(x
1 x
)
x
1 x
)2
2
(见P363 公式21)
1
arctan
x
1 x
1
1
ln
x
1 x
2 C
22
2 222
x
1 x
x 2 5
B (x 3) 原式
x
3
x3 x2
x
3
6
故
原式 5 6
x2 x3
(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
A (1 2x) 原式
x
1 2
4 5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例5. 求
解: 原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
2
常规法
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
令
t
tan
x 2
万能代换 (参考下页例7)
t 的有理函数的积分
例7.
求
sin
1 sin x x(1 cos
dx . x)
解: 令 t tan x , 则 2
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例3. 求
解: 原式
1 2
(2x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2