高等数学有理函数积分

)
1 5

1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例3. 求
解: 原式
1 2
(2x

2)

3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R(x , n ax b ) dx , 令 t n ax b
R(x
,n
a xb c xd
) dx
,
令
tn
a xb c xd
1 2
1
1 x2
x2

1 x2
dx

1 2
1
1 x2
x2

1 x2
dx
注意本题技巧

1 2

(
d(x
x

1 x
)2
1 x
)
2

1 2

(
d(x

1 x
)
x

1 x
)2

2
(见P363 公式21)

1
arctan
x

1 x

1

1
ln
x

1 x

2 C
22
2 222
x

1 x

4.
(
M x2
x px
N q)
n
dx
2x p
变分子为
M 2
(2x

p)

N

Mp 2
再分项积分
例2. 求
解: 已知
(1

1 2x)(1

x
2
)

1 5

1
4 2
x

1
2x x
2

1
1 x
2

例1(3)

原式

2 5

d(1 2x) 1 2x
1 5

d(1 x2 1 x2

(
x
1 1)2
1 x(x 1)

(
x
1 1)2

x (x 1) x(x 1)

(x
1 1)2

1 x 1

1 x
(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6

x3 (x 2)(x 3)

A x2
B x3

A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
B 2 5
C1 5
原式
=
1 5
4 1 2x

2x 1
1 x2

四种典型部分分式的积分:
1.

x
A
a
dx

Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx

A 1 n
(x

a)1n

C
(n 1)
(x2 px q)
3.

x
MxN 2 px
q
dx

(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
dx
例6. 求 x4 1
本题用常规方法解很繁
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
2
常规法
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
令
t

tan
x 2
万能代换 (参考下页例7)
t 的有理函数的积分
例7.
求

sin
1 sin x x(1 cos
dx . x)
解: 令 t tan x , 则 2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例5. 求
解: 原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
sin
x

2
sin
x 2
sin 2
x 2

cos
x 2
cos2
x 2

2 1
tan
x 2
tபைடு நூலகம்n 2
x 2

2t 1 t
2
cos
x

cos2 sin 2
x 2

sin
2
x 2

cos2
x 2
x 2

1 1

tan tan
2 2
x 2
x 2

1 1

t t
2 2
dx

2 1 t
2
dt

sin
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x(x 1)2

x (x 1) x(x 1)2
t t
2
C
cos
x

1 1

t t
2 2
4 2 22
2
d
x

1
2 t
2
d
t
例8. 求
解:
原式


a
2
1 cos 2
x
dx
tan2 x
b2

1 a2
d tan x
tan 2
x

(
b a
)
2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
说明: 通常求含 sin2 x, cos2 x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
1 sin x x(1 cos
x)
dx

1

2t 1t 2
2t 1t
2
(1

1t 1t
2 2
)

2 1t
2
dt
1 2

1 2

1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x

t

2

1 t

dt
sin
x

1
2
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
x 2 5
B (x 3) 原式
x
3
x3 x2
x
3
6
故
原式 5 6
x2 x3
(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x

Bx C 1 x2
A (1 2x) 原式
x


1 2
4 5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
dx

dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2

arctan(x
1)

x2

1 2
x

2

C
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx

x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4