第一章数字电路的基础知识

一个十进制数数 N可以表示成：
∞
∑ ( N )D = K i ×10i
i = −∞
若在数字电路中采用十进制，必须 要有十个电路状态与十个记数码相对应。 这样将在技术上带来许多困难，而且很 不经济。
（1-10）
（2）二进制： 以二为基数的记数体制
表示数的两个数码：
0, 1 遵循逢二进一的规律
∞
∑ （N）B = K i × 2i
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
（1-22）
基本逻辑关系：
（1）“与”逻辑 A、B、C条件都具备时，事件F才发生。
A BC
E
F
逻辑符号
A B
&F
C
十六进制与二进制之间的转换： 从末位开始 四位一组
(10011100101101001000)B= (1001 1100 1011 0100 1000)B = ( 9 C B 4 8 )H
=( 9CB48 ) H
（1-15）
八进制与二进制之间的转换：
从末位开 始三位一 组
(10011100101101001000)B=
证明： AB + AC + BC
1
= AB + AC + ( A + A)BC
= AB + AC + ABC + ABC = AB + AC
例如： AB + AC + BCD
= AB + AC + BC + BCD
= AB + AC + BC
= AB + AC
吸收
吸收
（1-36）
4. 反演定理：
A•B = A+ B A+ B = A•B
i = −∞
（1001) B = 1× 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1× 20 =(9)D
（1-11）
用电路的两个状态---开关来表示 二进制数，数码的存储和传输简 单、可靠。
位数较多，使用不便；不合人们 的习惯，输入时将十进制转换成 二进制，运算结果输出时再转换 成十进制数。
（1-12）
可以用列真值表的方法证明：
A
B AB A• B A
B A+B
00
01
1
1
1
01
01
1
0
1
10
01
0
1
1
11
10
0
0
0
（1-37）
§ 1.3 逻辑函数的表示法
1.3.1 真值表：将输入、输出的所有可能 状态一一对应地列出。
设A、B、C为输入变量，F为输出变量。
A
B
C
F
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1,2,4,7单 元取1，其 它取0
（1-45）
CD 00 01 11 10
AB 00 0 1 3 2 01 4 5 7 6 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10
（1-46）
1.3.4 逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑 符号和连线表示出来。
A& B
C& D
≥1
F
F=AB+CD
（1-47）
BCD------Binary-Coded-Decim
用四位二进制数表示0~9十个数码， 即为BCD码 。四位二进制数最多可以有 16种不同组合，不同的组合便形成了一 种编码。主要有： 8421码、 5421码、 2421码、余3码等。
（1-19）
在BCD码中，十进制数 (N)D 与二进制编码 (K3K2K1K0)B 的关 系可以表示为：
（1-23）
逻辑式 F=A•B•C
A BC F 00 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 0 10 0 0 10 1 0 11 0 0 11 1 1
逻辑乘法 逻辑与
真值表
（1-24）
（2）“或”逻辑
A、B、C只有一个条件具备时，事件F就 发生。
逻辑符号 A
B
E
C
F
A B
≥1 F
C
（1-25）
比如：F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
若表达式的乘积项中包含了所有输入变 量的原变量或反变量，则这一项称为最小 项，上式中每一项都是最小项。
若两个最小项中只有一个变量以原、反状 态相区别，则称它们为逻辑相邻。
（1-40）
F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
F = A+B+C
A
B C
≥1 F
异或：条件
A、B有一个具 备，另一个不 具备则F 发生。
F = AB + AB = A⊕B
A
B C
=1 F
（1-30）
（5）几种基本的逻辑运算
从三种基本的逻辑关系出发，我们可 以得到以下逻辑运算结果：
0• 0=0 • 1=1 • 0=0
1 • 1=1
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1
反演
=（AB + AB）+ (BC + BC )
= AB + AB(C + C ) + BC( A + A) + BC
逻辑式 F=A+B+C
A BC F 00 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 1
逻辑加法 逻辑或
真值表
（1-26）
（3）“非”逻辑
A条件具备时 ，事件F不发生；A不具备 时，事件F发生。
R
逻辑符号
EA
FA
F
（1-27）
逻辑式
F=A
电子技术 数字电路部分
第一章 数字电路的基础知识
（1-1）
第一章 数字电路的基础知识
本章要求：
1.会用逻辑代数的基本运算法则化简逻辑函数。 2.掌握逻辑函数的表示方法
（1-2）
第一章 数字电路的基础知识
§1.1 数字电路的基础知识 §1.2 逻辑代数及运算规则 §1.3 逻辑函数的表示法 §1.4 逻辑函数的化简
(10 011 100 101 101 001 000)B =
( 2 3 4 5 5 1 0 )O
=(2345510)O
（1-16）
（4）十进制与二进制之间的转换：
十进制与二进制 之间的转换，可以用 二除十进制数，余数 是二进制数的第0位， 然后依次用二除所得 的商，余数依次是K1、 K2、……。
AF 01 10
逻辑非 逻辑反
真值表
（1-28）
（4）几种常用的逻辑关系逻辑
“与”、“或”、“非”是三种基本的 逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以 以它们为基础表示。
与非：条件
A、B、C都具 备，则F 不发
生。
A
F = A•B•C
B C
&F
（1-29）
或非：条件
A、B、C任一 具备，则F不
发生。
1=0 0=1
（1-31）
1.2.2 逻辑代数的基本定律 一、基本运算规则
A+0=A A · 0 =0 · A=0 A+ A=1
A⋅ A = 0
A= A
A+1=1
A · 1=A
A+ A= A
A⋅ A = A
（1-32）
二、基本代数规律
交换律 A+B=B+A A• B=B • A
结合律 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B
(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0 W3~W0为二进制各位的权重 所谓的8421码，就是指各位的权 重是8, 4, 2, 1。
（1-20）
二进制数 自然码 8421码 2421码 5421码 余三码
0000
0
00
0
0001
1
11
1
0010
2
22
2
0011
3
33
3
0
0100
4
44
4
逻辑相邻 ABC + ABC = BC 逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子
（1-41）
1.3.3 卡诺图：
将n个输入变量的全部最小项用小方块 阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放 在相临的几何位置上，所得到的阵列图就 是n变量的卡诺图。
卡诺图的每一个方块（最小项）代表 一种输入组合，并且把对应的输入组合注 明在阵列图的上方和左方。
被吸收
（1-34）
2.反变量的吸收：
A + AB = A + B
证明：A + AB = A + AB + AB
= A + B( A + A) = A + B 例如：A + ABC + DC = A + BC + DC
被吸收
（1-35）
3.混合变量的吸收：
AB + AC + BC = AB + AC
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
（1-38）
n个变量可以有2n个组合， 一般按二进制的顺序，输出与 输入状态一一对应，列出所有 可能的状态。
（1-39）
1.3.2 逻辑函数式
把逻辑函数的输入、输出关系写成与、 或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数 式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或” 的形式。
单元编号 0010，对 应于最小 项：ABC D
函数取0、 1均可， 称为无所 谓状态 （或任意 状态）。
（1-44）
有时为了方便，用二进制对应的十进制 表示单元编号。
BC A 00 01 11 10
00 1 3 2
14 5 7 6 F( A , B , C )=Σ( 1 , 2 , 4 , 7 )
一位16进 制数 (0101 1001)B= [0×27+1 ×26+0 ×25+1 ×24 +1 ×23+0 ×22+0 ×21+1 ×20]B
= [(0×23+1 ×22+0 ×21+1 ×20) ×161
+(1 ×23+0 ×22+0 ×21+1 ×20) ×160]B = ( 59 ) H
（1-14）
（3）十六进制和八进制： 十六进制记数码： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
(4E6)H = 4×162+14 ×161+6 ×160 = ( 1254 ) D
（1-13）
每四位2进 十六进制与二进制之间的转换： 制数对应
1
0101 0110 0111 1000
55 66 77 88
2 3 4 55
1001
99
66
1010
10
77
1011
11
5
8
8
1100
12
6
9
9
1101
13
7
1110
14
8
1111
15
9
（1-21）
§ 1.2 逻辑代数及运算规则
1.2.1 逻辑代数与基本逻辑关系
在数字电路中，我们要研究的是电路 的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电 路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。
在数字电路中，三极管工作在开关 状态下，即工作在饱和状态或截止 状态。
（1-8）
1.1.2 数制 （1）十进制： 以十为基数的记数体制
表示数的十个数码： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
遵循逢十进一的规律 157 = 1×102 + 5 ×101 + 7 ×100
（1-9）
§ 1.4 逻辑函数的化简
1.4.1 利用逻辑代数的基本公式：
例： F = ABC + ABC + ABC = ABC + AB(C + C )
提出AB
= ABC + AB = A(BC + B)
提出A
=1
= A(C + B) = AC + AB
反变量吸收
（1-48）
例： F = AB + AB • BC + BC
在模拟电路中，晶体管一般工作 在放大状态。
（1-6）
数字信号： 数字信号 产品数量的统计。 数字表盘的读数。 数字电路信号： u
t
（1-7）
研究数字电路时注重电路输出、输 入间的逻辑关系，因此不能采用模 拟电路的分析方法。主要的分析工 具是逻辑代数，电路的功能用真值 表、逻辑表达式或波形图表示。
A• (B • C)=(A • B) • C
分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
普通代 数不适 用!
（1-33）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB + CD + AB D(E + F ) = AB + CD
（1-42）
两变量卡诺图
AB0 1 01 0 10 1
三变量卡诺图
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1 11 0 φ 1
（1-43）
四变量卡诺图
CD
00 01 11 10
ABCD= AB 0100时函 00
1
1
0
1
数取值 01 1 0 φ 1
只有 一项 不同
11 0 φ 0 1 10 1 1 0 1
（1-3）
§ 1.1 数字电路的基础知识
1.1.1 数字信号和模拟信号
电
子
模拟信号
电
路
பைடு நூலகம்
随时间连续变化的信号
中
的
信
号
数字信号
时间和幅度都是离散的
（1-4）
模拟信号： 正弦波信号 u
锯齿波信号
u
t t
（1-5）
研究模拟信号时，我们注重电路 输入、输出信号间的大小、相位关系。 相应的电子电路就是模拟电路，包括 交直流放大器、滤波器、信号发生器 等。
（1-17）
转换过程：
2 25 … …余 1 … … K0 2 12 … …余 0 … … K1 2 6 … …余 0 … … K2 2 3 … …余 1 … … K3 2 1 … …余 1 … … K4
0
(25)D=(11001)B
（1-18）
1.1.3 BCD码
数字电路中编码的方式很多，常用的主 要是二 —十进制码（BCD码）。