第5章 角动量(3)

1
F1
力偶的力矩不依赖于参考点的选择
19
例4
质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v
系统动量守恒
麦管移入桌面长度
m(u v) Mv
v
R O
⊙
选择圆心O为参考点
力矩
M 0
F心
角动量
L mvR
角动量守恒
O
其它任何点则没有这种情况
11
例2
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点
万有引力的力矩为零
M 0 LC
12
例3
导出单摆的摆动方程
O

力矩和角动量都只有 z 轴分量
⊙z
l T
M z mgl sin d Lz mlv ml dt
i i i
O
ri
R
O
ri
Fi
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。 思考题：质点系的总动量为零时，证明其角动量与参考点无关。
18
一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力
r21
F2
r12
2
M r12 F1 r21 F2
在 dt 时间 质点的位移 vdt 转过的角度dθ r 扫过的面积 dS
1 dS r v dt 2
dS 1 r v 面积速度 dt 2
速度 动量 动量定理
O
r (t dt )
d
v dt
r (t )
面积速度 角动量 角动量定理
3
质点相对参考点O的角动量 L
t m m x vdt udt L 0 M m 0 M m t
20
分两种情况讨论：
L （1） M m, x 2
麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。
L （2） M m, x 2
麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足
L (m m) g x Mgx 2
多体问题 两体问题 单体问题
23
天体运动的开普勒三定律
第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆， 太阳在椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的面积。
24
第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴A的三次方与轨道 运动周期T的二次方之比值为常量
Use the following values: length of forearm = L = 18 cm elbow to bicep distance = d = 3 cm mass of forearm = M = 4 kg mass of baseball = m = 1 kg
8
9
角动量守恒的条件
15
质点系角动量定理
质点系相对O点的角动量 L Li
内力的力矩之和等于零
M内 0
i
质点系角动量定理 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
dL M外 dt
16
质点系角动量守恒定律
质点系角动量守恒定律
M r F
F
M rF sin Fh
力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。 在直角坐标系中，M 可用行列式表述成
r
h
i M r F j k
它的三个分量：
x y z
Fx Fy Fz
M z xFy yFx ,
7
肱二头肌

M m m m M m
21
5.3 有心运动
有心运动是自然界中最重要的一种运动 太阳系 地月系 原子 粒子 ……
在有心运动中，机械能和角动量都守恒。
22
天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星Biblioteka Baidu
M太 m木 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
A3 k 2 T
25
牛顿力学结合万有引力定律 推导天体运动的开普勒三定律 极坐标系 角动量守恒
能量守恒
26
建立极坐标系
太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m， 某时刻 M至 m的径矢 r和 m的速度 v。 在位置矢量 r和速度 v确定的平面上， 建立以 M为原点的极坐标系。
v
F

m
dr vr , dt dr vr r d v
第五章
角动量
1
5.1 角动量与力矩
运动质点的角动量
质点的运动状态： (r , v )

d (mv ) Fdt 1 d ( mv v ) F dr 2
r
v
转动 质点绕某点的转动，相对该点的位置矢量的方向会变化
2
质点在运动过程中相对某点O的位置矢量 r 会相应的旋转
2 EL2 1 2 2 3 G M m
29
行星的轨道方程
p r 1 cos
这是太阳位于焦点的圆锥曲线
30
1928年11月22日，中国天文学者张钰哲 在美国的叶凯士天文台发现了一颗小行星。
张钰哲（1902—1986）
31
行星的轨道方程
p r 1 cos
2 EL 1 2 2 3 G M m
总能量大于零，轨道为双曲线
2 1 mv0 b 偏转角度 cot 2 k qQ

qQ qQ 2 k b 最近距离 r0 k 2 mv2 mv0 0
2
原子的大小 ~ 几个Å，最轻到最重的原子核的大小 ~ 1到10fm之间
35
d v r dt
r
M
27
角动量 L 和能量 E 守恒
mrv L 1 Mm 2 2 m(vr v ) G E r 2
横向速度和径向速度
L v mr
M L 2E vr 2G r mr m
2
28
确定轨道方程

dL r F dt
r F L
5
质点所受力相对参考点 O 的力矩
M r F
角动量定理 质点所受力相对某参考点的力矩 等于质点相对该参考点角动量的变化率。
dL M dt
M L
处理转动的所有公式都由此式导出
6
力矩
力相对参考点 O 的力矩
火星
天王星
0.098
0.051
木星
海王星
0.048
0.007
土星
冥王星
0.055
0.252
太阳系的边缘
34
粒子散射实验与原子的有核模型
粒子被原子核散射，其 角动量 L 和能量 E 守恒
mrv L 1 1 qQ 2 2 m(vr v ) k E0 k 4 0 r 2
若质点运动过程中力矩等于零，则质点角动量守恒
M 0 L 常矢量
若质点运动过程力矩某分量等于零，则该方向的角动量分量守恒
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。 在有心力场中运动的质点，相对力心的角动量守恒。
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例1
匀速圆周运动
2
L p , 2 GMm
三种可能的轨道：
2
都与行星质量无关
(1) E 0 时, 1, 为双曲线之一, M位于内焦点 (2) E 0 时, 1, 为抛物线, M位于焦点 (3) E 0 时, 1, 为椭圆, M位于其中一个焦点
32
33
各大行星轨道偏心率
水星 0.206 金星 0.007 地球 0.017
若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。 若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零，
则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。
17
合外力为零时的外力矩
外力矩是质点系角动量变化的原因 合力为零的外力矩，参考点分别为O和O′
(ri R) Fi M外 ri Fi R Fi M外
2
采用小角度近似
利用角动量定理
sin
d 2 g 2 dt l
mg
13
第五章作业 1、3、8、9
14
5.2 质点系角动量定理
一对内力力矩之和为零
两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。
F1
2 r 1 21 r1
r2
F2
r1 F1 r2 F2 r1 F2 r2 F2 (r2 r1 ) F2 r21 F2 0
dr vr r d v mr 2 L r
2
2E M L2 2G 2 2 m r mr
2
GMm L2

2
2 EL 1 GMm 1 G 2 M 2 m 3 r L2
2
2

2
引入参量
L2 p , 2 GMm
L
L r mv r p
角动量的行列式表示
p
r
i Lrp j k
例如其中的一个 z 分量，Lz
x y z
px py pz
xmvy ymvx
4
角动量定理
角动量的变化与什么有关呢？
其中
dL d (r p) dr dp pr dt dt dt dt dr dp p v p 0, F dt dt