3成本最小化

成本最小化
• 主要内容：
– 成本最小化条件 – 条件要素需求函数 – 成本最小化弱公理(WACM) – 成本函数的特征 – 成本函数的形式
1. 成本最小化的条件
• 成本最小化问题的定义
minWX s.t . y f(X) X 0
• 成本函数
c (W , y ) min WX
X 0
s.t. y f(X)
*
• •
c(W,p) 既有 wi
c(W,p) 同理 y
xi (W , y)

*
λ为边际成本，也称产品的影子价格
5. 短期意义的成本函数形式
• 如果 X=(Xv, Xf)，相应的价格W=(Wv, Wf)，并且
Xf =z是受限制的要素（固定资产），而 Xv = Xv (W, y, Xf)是可变要素。总成本为：
• 条件要素需求函数 • 成本函数的再描述
X (W , y )
c(W, y) W X (W , y )
成本最小化问题的条件
• 成本最小化的一阶条件：令x>0，设Lagrange函数为： L( , X ) WX [ f ( X ) y ] • 可得： f ( x* )
wi
• 长期平均成本(LAC)和短期平决成本(SAC) • 所以：
LAC和SAC
AC AC
q*
q
q
Hale Waihona Puke Baidu
x i wi
x i w j
0
wi 0
x j
• 性质2：要素之间的交叉价格相等，是对称的
3.成本最小化弱公理(WACM)
• [Weak Axiom of Cost Minimization (WACM)] • 如果 xs , xt 在 Y 中，且厂商在ws 和wt 下进行选择。则有 t t t s s s s t w x w x 或者 w x w x • 可以得到 w t ( x t - x s ) 0 或者 - w s ( x t - x s ) 0 • 即 ( w t w s )( x t - x s ) 0 • 或者 wx 0 • 结论：要素需求向量一定与要素价格向量按相反的方
向移动。
x2
x2
xA
xA xB
x1 x1
图B：显示了满足 WACM的数据
xB
图A：显示了违反 WACM的数据
VI
x2
x2 xA
VO
xA
xB x1
VI 给出了真实的投入 要求集的内界
xB
x1
VO给出了真实的投入 要求集的外界
4. 成本函数的特征
• 描述 c(W, y) W X (W , y ) • 特征 1 ： c (W, y) 是W和y的非减函数。
c (W , y , X f ) STC SVC FC Wv X v (W , y , X f ) W f X f
SAC c (W , y, X f ) / y, SAFC W f X f / y, SAVC Wv X v (W , y, X f ) / y SMC c (W , y, X f ) / y
谢泼德引理(Shephard’s lemma)
• 成本最小化的一般问题
•
c (W , y ) min WX
X 0
s.t. y f(X) 成本最小化一阶条件的Lagrange函数为：
• 根据包络定理
c(W,p) wi
L( , X ) WX [ f ( X ) y ]
* x (W , y ) w WX ( f ( X ) y ) X X i i
W' W c (W' , y ) c (W , y ) y' y c (W , y' ) c (W , y )
• 特征 2 ： c (W, y)是W的一次齐次函数。 c(tW, y) tc(W, y) • 特征 3 ： c (W, y)是W的凹函数。
c (tW (1 t )W' , y ) tc(W, y) (1 t )c (W' , y ), 0 t 1
x i
0
*
• 向量描述为 • 一阶条件：
wi wj
W Df ( x )
技术替代率=要素价格比（经济替代率）

f ( x * ) / x i f ( x * ) / x j
或
f i ( x* ) wi

f j ( x* ) wj

1 *
成本最小化的特殊问题说明
• 二阶条件是一个纯粹的数学条件，经济意义不明显，
• • •
只在实际极值存在性的判断时需要使用。 成本最小化条件是在可微条件下得到的，需要注意不 可微的特殊情况。 内解的结论对边界点不成立。 一阶微分条件只是一个局部极值点——成本最小化的 必要条件。增加凸性假定才能保证全域唯一最优值。
2.条件要素需求函数的比较静态分析
• 一般形式 X (W , y ) • 性质1：条件要素需求曲线是向下倾下的。