论函数概念教学的特点

论函数概念教学的特点

发表时间：2011-09-22T17:11:15.123Z 来源：《中国科技教育·理论版》2011年第6期供稿作者：魏红丽

[导读] 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

魏红丽黑龙江省肇东市第二中学校 151100

摘要函数的概念及相关内容是高中教材中非常重要的部分，许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图像多，方法灵活多样。以致部分学生对函数知识产生恐惧感，根据多年的教学经验，其实函数教学也有其一般的规律，只要掌握方法，是一门比较容易学习的知识。

关键词函数对应映射数形结合

1 . 把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。中学教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f ，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。迪里赫莱（P.G .Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y 叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可，这样很明确的指出了函数的实质。

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对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式给出定义，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，抽象性太强。

2 . 加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。

3 . 将映射概念下放

就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。这里只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生就能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心，如果能将集合论下放到初中，就会使得知识体系更完备，衔接更自然，学生更易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

4 . 函数与方程的区分

尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系，可函数反映的是变量和变量之间的关系，强调的是一个变量随另一个变量的变化情况，从函数的角度来看，考虑的是x和y在各自取值范围内，彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系，等式F（x，y）=0是一个方程，只有在一定条件下才能确定为一个函数，从方程的角度来看，考虑的是x和y选取哪些数值时才能使等式成立，另一方面，如果变量x和y的函数关系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一个方程y-f(x)=0，它们是可以互相转化的，有时用方程知识去研究函数，也可用函数知识去研究方程。

综上所述, 尽管函数知识学习起来比较抽象，只要很好地理解其概念，将函数融入现实生活中，这一课程就不难，也就比较好掌握，因此形象化教学更能起到由浅入深融会贯通的作用。