2014高考数学一轮复习课件_5.2等差数列 (1)

【答案】 2
•4．(2012·江西高考)等比数列{an}的前n项和 为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的 n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝ ________．
【解析】 设公比为q， 由题意知a3＋a2－2a1＝0， 则a1(q2＋q－2)＝0. 解得q＝－2或q＝1(舍去)， a1（1－q5） 1－（－2）5 则S5＝ ＝ ＝11. 3 1－q
【解】 (1)设公比为q，则an＝a1qn 1.由已知有 1 1 a1＋a1q＝2（a1＋a1q）， a1q2＋a1q3＋a1q4＝64（ 1 2＋ 1 3＋ 1 4）. a1q a1q a1q
a2q＝2， 1 化简得 2 6 又a1＞0，故q＝2，a1＝1. a1q ＝64.
(2013· 揭阳质检)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中 的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； 5 (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋ }是等比 4 数列．
•【思路点拨】 正确设等差数列的三个正数， 利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数 列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可 解决第(2)问．
1 故数列{an}的通项公式为an＝ n. 3 ②bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an n（n＋1） ＝－(1＋2＋„＋n)＝－ . 2 1 2 1 1 故 ＝－ ＝－2( － )， bn n n＋1 n（n＋1） 1 1 1 ＋ ＋„＋ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 ＝－2[(1－ )＋( － )＋„＋( － )] 2 2 3 n n＋1 2n ＝－ . n＋1
【答案】 2n (2)①∵S1，S3，S2成等差数列， ∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0， 1 又q≠0，从而q＝－ . 2
12 ②由已知可得a1－a1(－ ) ＝3，故a1＝4， 2 1 n 4[1－（－ ） ] 2 8 1n 从而Sn＝ ＝ [1－(－ ) ]． 1 3 2 1－（－ ） 2
1．(人教A版教材习题改编)设Sn为等比数列{an}的前n S5 项和，8a2＋a5＝0，则 ＝( ) S2 A．－11 B．－8 C．5 D．11 【解析】 8a2＋a5＝0，得8a2＝－a2q3， 又a2≠0，∴q＝－2， S5 则S5＝11a1，S2＝－a1，∴ ＝－11. S2
【答案】
A
•2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ ( ) •A．4 B．5 C．6 D．7 •【解析】 由题意a＝a3a11＝16，且a7＞0， ∴a7＝4， •∴a10＝a7·q3＝4×23＝25， •从而log2a10＝5. •【答案】 B
3
－2 a4 3 当q ＝－2时，a1＋a10＝ 3＋a7q ＝ ＋4×(－2)＝－7. q －2
3
(2)∵a5·a2n－5＝a2＝22n，且an＞0， n ∴an＝2n，则a2n－ 1＝22n－1， ∴log2a2n－ 1＝2n－1， ∴log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋„＋(2n－ 1)
3．(2013· 深圳调研)已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8 a13 ＝3，a3·a7＝2，则 ＝________． a10
【解析】 因为{an}是等比数列，所以a3a7＝a2a8＝2， 又a2＋a8＝3，且{an}是递增数列，所以a2＜a8，且公比q＞ 0，解得a2＝1，a8＝2， a13 6 所以q ＝2，故 ＝q3＝ 2. a10
an 2 {an}，{an·bn}，{ }(λ≠0)仍是等比数列． bn
•1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ •【提示】 必要而不充分条件．当a＝0，b ＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但a，b，c不是 等比数列；当a，b，c成等比数列时，必有b2 ＝ac.
a a 2．如果四个实数成等比数列，能否将其设为 3， ， q q aq，aq3? a a 【提示】 当公比大于 0 时，可以设为 3， ，aq， q q aq3，当公比小于 0 时，不能这样设．
1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程 的根(公差d)的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质 简化运算． 2．证明数列{an}是等比数列一般有两种方法： an＋1 (1)定义法： ＝q(q是不为零的常数，n∈N*)； an 2 (2)等比中项法：an＋1＝an·an＋2≠0(n∈N*)．
•【思路点拨】 建立关于a1与公比q的方程， 求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项 公式与求和公式．
【尝试解答】 (1)设数列{an}的首项为a1，公比为q， 2 ∵a5＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1.
1 由①得a1＝q；由②知q＝2或q＝ ， 2 又数列{an}为递增数列， ∴a1＝q＝2，从而an＝2n.
∴an＝2an－1(n≥2)， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． a1（1－qn） 2（1－2n） ∴Sn＝ ＝ ＝2n＋1－2. 1－q 1－2
∵an＋Sn＝n， 1 ∴a1＋S1＝1，得a1＝ ， 2 1 ∴c1＝a1－1＝－ . 2 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，an＋Sn＝n， ∴2an＋1－an＝1，即2(an＋ 1－1)＝an－1. 1 又∵a1－1＝－ ， 2 (2)证明 an＋1－1 1 cn＋1 1 ∴ ＝ ，即 ＝ ， 2 cn 2 an－1
1 2n 所以数列{ }的前n项和为－ . bn n＋1
•1．本题充分利用已知条件，数列的性质， 简化了运算． •2．等比数列的性质可以分为三类：一是通 项公式的变形，二是等比中项的变形，三是 前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分 析，发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口．
(1)(2012· 课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2， a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 (2)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，„，且 a5·a2n－ 5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1等于 ( ) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
•【尝试解答】 (1)∵S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列， •∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2， •又S3＝40，S6＝40＋20＝60， •∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.
【答案】 B 2 (2)①设数列{an}的公比为q.由a3＝9a2a6得a2＝9a2， 3 4 1 2 1 所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 9 3 1 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝ . 3
•1．等比数列基本量的运算是等比数列中的 一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方 程思想的应用． •2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根 据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过 程中，还应善于运用整体代换思想简化运 算．
(2013· 清远调研)已知{an}是各项均为正数的等比数列， 1 1 1 1 1 且a1＋a2＝2( ＋ )，a3＋a4＋a5＝64( ＋ ＋ )． a1 a2 a3 a4 a5 (1)求{an}的通项公式； 1 2 (2)设bn＝(an＋ ) ，求数列{bn}的前n项和Tn. an
•【答案】 11
(1)(2012· 辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列， 且 a2＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式 an＝ 5 ________． (2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等差数列． ①求{an}的公比 q；②若 a1－a3＝3，求 Sn.
【解析】 (1)由于a5·a6＝a4·a7＝－8，a4＋a7＝2， ∴a4，a7是方程x2－2x－8＝0的两根， 解之得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. 1 3 ∴q ＝－ 或q3＝－2. 2
1 a4 当q ＝－ 时，a1＋a10＝ 3 ＋a7q3＝4×(－2)＋(－ 2 q 1 2)×(－ )＝－7， 2
【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a －d，a，a＋d. 依题意，得 a－d＋a＋a＋d＝15，解得 a＝5. 所以{bn}中的 b3，b4，b5 依次为 7－d，10，18＋d. 依题意，(7－d)(18＋d)＝100， 解之得 d＝2 或 d＝－13(舍去)， 5 ∴b3＝5，公比 q＝2，因此 b1＝ . 4 5 故 bn＝ ·2n－1＝5·n－3. 2 4
n[1＋（2n－1）] ＝ ＝n2. 2
【答案】
(1ຫໍສະໝຸດ BaiduD
(2)C
已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d＞0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 ＋ ＋„＋ ＝an＋1 成立， b1 b2 bn 求 c1＋c2＋c3＋„＋c2 010.
•第三节 等比数列
•1．等比数列
•2．等比数列的性质 •(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝ ap·aqa p＋q＝2k，则am· n＝__________＝a. •(2)通项公式的推广：an＝an－m q m _____________(m， n∈N*) •(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为 qn Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列， 其公比为________；当公比为－1时，Sn， 1 (4)若数列{an}， n}(项数相同)是等比数列， {b 则{λan}， S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．{an}，
(1)在正项数列{an}中，a1＝2，点( an ， an－ 1 )(n≥2)在 直线x－ 2y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn． (2)数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－ 1，求证：数列{cn}是等比数列，并求{an}的通项公式．
【解析】
(1)由题意知 an－ 2 an－1＝0，
5 (2)证明 由(1)知b1＝ ，公比q＝2， 4 5 （1－2n） 4 5 n－ 2 ∴Sn＝ ＝5· － ， 2 4 1－2 5 5 5 n－ 2 则Sn＋ ＝5· ，因此S1＋ ＝ ， 2 4 4 2 5 n－2 Sn＋ 4 5·2 又 ＝ n－3＝2(n≥2)． 5 5·2 Sn－ 1＋ 4 5 5 ∴数列{Sn＋ }是以 为首项，公比为2的等比数列． 4 2
1 1 ∴数列{cn}是以－ 为首项，以 为公比的等比数列． 2 2 1 1 n－1 1n 则cn＝－ ×( ) ＝－( ) ， 2 2 2 1n ∴{an}的通项公式an＝cn＋1＝1－( ) . 2
(1)(2013· 深圳模拟)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3 ＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于( ) A．50 B．70 C．80 D．90 (2)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a 2 ＝ 3 9a2a6. ①求数列{an}的通项公式； 1 ②设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{ }的前n bn 项和． 【思路点拨】 (1)利用S3，S6－S3，S9－S6成等比数列 的性质求解； (2)灵活应用a 2 ＝an－1·an＋1，求a1与公比q，进而求出 n an，bn，然后利用裂项相消法求和．
－
所以an＝2n－1. 1 2 2 1 (2)由(1)知bn＝(an＋ ) ＝an＋ 2＋2 an an 1 n－1 ＝4 ＋ n－ 1＋2. 4 1 1 － 因此Tn＝(1＋4＋„＋4n 1)＋(1＋ ＋„＋ n－ 1)＋2n 4 4 1 4n－1 1－4n 1 n － ＝ ＋ ＋2n＝ (4 －41 n)＋2n＋1. 1 3 4－1 1－ 4