空间向量及其运算优秀课件

图 3-1-3 在 l 上取A→B＝a，则①式可化为O→P＝O→A＋tA→B②. ②式即为 P，A，B 三点共线的充要条件．
► 知识点四 共面向量 1．共面向量的定义
平行于同一个平面的向量，叫作_共 __面__向 __量_____． 空 间 任 意 两 个 向 量 总 是 __共__面____ 的 ， 但 空 间 任 意 三 个 向 量 _不__一__定__共__面___．
图 3-1-4
[探究 2] 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C 满足关系式O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)，判断点 P 与点 A，B，C 是否共面．
解：因为O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C＝xO→A＋y(O→A＋A→B)＋ z(O→A＋A→C)＝O→A＋yA→B＋zA→C，所以 P，A，B，C 四点共面．
2．共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的 充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b___．
3．如图 3-1-4 所示，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条 件是存在有序实数对(x，y)，使A→P＝xA→B＋yA→C，或对空间任意一 点 O，有O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C.
【小结】共面问题常用结论：设 A，B，C 三点不共线，则： (1)四点 P，A，B，C 共面⇔存在有序实数对(x，y)，
使A→P＝xA→B＋yA→C； (2)四点 P，A，B，C 共面⇔对空间任意一点 O，
都有O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1.
► 考点回扣一 向量概念的应用
其中假命题的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
► 考点回扣二 空间向量的加减运算 空间向量的加、减运算的方法是什么？ 解：任意两个空间向量都是共面的，它们的加、减法运算
类似于平面向量的加、减法，如图所示． O→B＝O→A＋A→B＝a ＋b O→B＝O→A＋O→C＝a＋b B→A＝O→A－O→B＝a－b
► 知识点二 空间向量的数乘运算 1．数乘运算的定义
实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的 数乘运算．如图 3-1-2 所示，当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向_相__同___； 当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向_相__反___；当 λ＝0 时，λa＝0.λa 的 长度是 a 的长度的|λ|倍．
(2)给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的
终点构成一个圆；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b； ③在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；
④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(b_＋__c_) _____．
[探究 1] 下列说法中正确的是( B )
A．若|a|＝|b|，则 a，b 为相等向量
B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C
空间向量及其运算
学习目标
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间 向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法、数乘运算．
重点难点
[重点] (1)空间向量的加减运算及运算律； (2)空间向量的数乘运算及运算律．
[难点] 应用向量解决立体几何问题．
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m，再向西行驶 2 500 m，最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处．在 这个过程中，范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是 三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如 何刻画这样的位移呢？
① 首 尾 相 接 的 若 干 向 量 之 和 等 于 由 _起__始_____ 向 量 的 起 点 指 向 __末__尾____向量的终点的向量； ②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为 ____0____．
复习与预习
► 知识点一 空间向量及其加减运算 1. 几类特殊向量
名称
定义及表示
零向量 __长__度__为___0_的向量叫零向量，记为___0___
单位向量 _模__为___1____的向量叫单位向量
相反向量
与向量 a 长度_相__等___而方向_相__反___的向 量，叫 a 的相反向量，记为－a
方向相__同__且模__相__等__的向量称为相等向
相等向量 量，在空间，_同__向___且_等__长___的有向线段表
示同一向量或相等向量
2.空间向量的加、减法运算． 如图 3-1-1 所示，O→B＝_O→_A__＋_O_→_C___＝____a＋ __b______， C→A＝_O→_A_－__O→_C______＝___a_－__b________．
2．空间两向量共线的充要条件
对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，
使得_a_＝__λ_b___．
3．点 P 在直线 l 上的充要条件 如图 3-1-3 所示，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向
量 a 的直线，对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存 在实数 t，使O→P＝O→A＋ta①，其中向量 a 叫作直线 l 的__方__向__向量．
2．运算律 分配律：λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b__； 结合律：λ(μa)＝_(_λ_μ_)_a___．
► 知识点三 共线向量 1．共线向量的定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平__行____或
_重__合___，则这些向量叫作共线向量或平行向量． 0 与任意向量都 是共线向量．
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，则A→B>C→D D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D