大学物理(吴百诗)习题答案3运动守恒定律

冲量和动量定理

3-1质量m =10kg 的物体在力F x =30+4t N 的作用下沿x 轴运动，试求（1）在开始2s 内此力的冲量I ；（2）

如冲量I =300N·s ，此力的作用时间是多少（3）如物体的初速v 1=10m/s ，在t =时，此物体的速度v 2为多少 解：(1) s N 68d )430(d 2

02

0⋅=+=

=

⎰⎰t t t F

I x

x

(2) 300230d )430(d 2

=+=+=

=

⎰⎰

t

t t t t F I t

t x t ，s 86.6=t

(3) 1212mv mv p p I -=-=，s 86.6=t ，s N 300⋅=I ，m/s 20)1010300(10

1

)(112=⨯-=-=

mv I m v 3-2质量m =1kg 的物体沿x 轴运动，所受的力如图3-2所示。t =0时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律

和动量定理分别求解t =7s 时此质点的速度。

解：(1) ⎩⎨⎧≤≤+-≤≤=7

5355502t t t t F 50≤≤t ，t t

v m

2d d =，⎰⎰=500d 2d 1t t v m v ，(m/s)2525

1==m v

75≤≤t ，355d d +-=t t

v

m ，⎰⎰+-=75d )355(d 21t t v m v v ，

(m/s)352=v

(2) s)(N 35)107(2

1

d 7

⋅=⨯==

⎰

t F I ，212mv mv mv I =-=，(m/s)352=v

动量守恒定律

3-3两球质量分别为m 1=3.0g ， m 2=5.0g ，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy 描述运动，两者速度

分别为cm /s 81i v ϖϖ=，cm /s )168(2

j i v ϖϖϖ+=，若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v ϖ的大小为多少与x 轴的夹角为多少

解：系统动量守恒 j i v m v m v m m ϖϖϖϖϖ8064)(221121+=+=+， j i v ϖϖ

ϖ108+=

cm/s 8.1210822=+==v v ϖ

，与x 轴夹角 ︒==3.518

10arctan α

3-4如图3-4所示，质量为M 的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m 的小物体自圆弧顶点由

静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。 解：系统在水平方向动量守恒 0)(=-+V M mv ，MV mv =

两边对整个下落过程积分 ⎰⎰

=t

t

t V M

t v m 0

d d

令s 和S 分别为m 和M 在水平方向的移动距离，则

⎰

=

t

t v s 0

d ，⎰

=

t

t V S 0

d ，MS ms =。又 S R s -=，所以 R M

m m

S +=

另解：m 相对于M 在水平方向的速度 v M

M

m V v v +=

+='。对整个下落过程积分 ⎰

⎰

+=

't

t

t v M

M m t v 0

d d ，s M M

m R +=

，M 在水平方向的移动距离 R M

m m s R S +=-=

质心 质心运动定律

3-5求半径为R 的半圆形匀质薄板的质心（如图3-3所示）。

解：设薄板质量为m ，面密度为22R

m

πσ=。由质量分布对称性知，质心在x 轴上。

在距o 点为x 的地方取一宽度为x d 细长条，对应的质量

x x R m d 2d 22-=σ，由质心定义

π

σ

34d 2d 0

220

R x x R x m

m

m x x R

R

c

=-==

⎰

⎰

3-6一根长为L ，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图3-6所示。开始时，BC=b ，试用质

心的方法证明当BC=2L /3时，绳的加速度为a =g /3，速率为)9

2(222

b bL L L g v -+-=。 解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律

La y L y g λλ=--)]([，g L L y a -=

2，g a L y 31

3

2==

y v v

t y y v t v g L L y a d d d d d d d d 2===-=，⎰

⎰

-=L b

v

y L y L

g

v v 3

2

0d )2(d

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=

22922b bL L L g v 另解(用质心)

当b BC =时，链系的质心为 L

b Lb L m b

b b L b L y

c 22222)(22+-=+--=

λλ

当L BC 32=

时，链系的质心为 L y c

18

5

=' 又重力的功等于物体动能的增量

221)(mv y y mg c c =-'，)(22c c y y g v -'=，⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=22922b bL L L g v

角动量（动量矩）及其守恒定律

3-7 已知质量为m 的人造卫星在半径为r 的圆轨道上运行，其角动量大小为L ，求它的动能、势能和总能

量。（引力势能r m m G

E p 2

1-=，G 为万有引力常数） 解：rmv L =，mr

L v =，222

221mr L mv E k ==

设地球质量e M ，r mM G E e p -=，由牛顿定律 r v m r mM G e 22=，2

mv r

mM G e =，22mr L E e p -=