线性时不变系统

T{df (t)} dy(t) dt dt
若 T{f[k]}= y[k] 则 T{ f[k] -f[k-1]}= y[k] - y[k-1]
2）积分特性或求和特性：
若 T{ f(t)}=y(t)
则
t
t
T{ f ( )d} y( )d


若 T{f[k]}= y[k] 则
对序列求和后仍是一个序列
2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y '(0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
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➢ 离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述
n
m
ai y[k i] bj f [k j]
i0
j0
ai 、 bj为常数。
线性时不变系统的描述及特点
线性时不变系统的特点
由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:
1）微分特性或差分特性：
若 T{ f(t)}=y(t) 则
yh (t) e1t (K1 cos 1t K 2 sin 1t) eit (K n1 cos it K n sin it)
一、经典时域分析方法
常用激励信号对应的特解形式
输入信号
K
Kt Keat(特征根 sa) Keat(特征根 s=a)
Ksin0t 或 Kcos0t Keatsin0t 或 Keatcos0t
f2(t)
f1(1) (t 1)
t 1
f1( )d
根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系
y2(t)
t 1
y1( )d
0.5(1 e 2(t1) )u(t
1)
连续时间LTI系统的响应
经典时域分析方法 卷积法
线性时不变(LTI)系统的描述
➢ 连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) b1 f ' (t) b0 f (t) ai 、 bj为常数。
k
k
T{ f [n]} y[n]
n
n
[例] 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ， 试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。
f1(t) 1
y1(t)
1
e2tu(t)
f2(t) 1
t
t
t
0
1
0
1
1 0
解： 从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系
一、经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
y(t) yh (t) yp (t)
✓ 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 ✓ 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
一、经典时域分析方法
齐次解yh(t)的形式 (1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn
Ae 2t

Be 4t

1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)

2A
3 4B

1

2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应 y(t) = ？
特解
A
A+Bt Aeat Ateat
Asin0t+ Bcos0t Aeatsin0t+ Beatcos0t
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
零输入响应求解 零状态响应求解
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yx (t) y f (t) yx (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
信号与系统
Signals and Systems
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
线性时不变系统的描述及特点
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
yh (t) K1e s1t K 2e s2t K n e snt
(2) 特征根是等实根 s1=s2==sn =s
yh (t) K1e s t K 2te s t K nt n1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根
si i ji , i n / 2
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t ) K1e2t K 2e4t t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0