讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

第七讲

连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布

3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布

设连续型随机变量X 具有概率密度

)5.4(,,

0,,1

)(⎪⎩⎪

⎨⎧<<-=其它b x a a

b x f

则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).

X 的分布函数为

)6.4(.

,

1,,

,,0)(⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F

（2）指数分布

设连续型随机变量X 的概率密度为

)7.4(,

,

0,0,e

1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θ

θ

其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.

容易得到X 的分布函数为

)8.4(.

,

0,0,1)(/⎩⎨

⎧>-=-其它x e x F x θ

如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有

第二章 随机变量及其分布

§4 连续型随机变量

及其概率密度

1

=2

P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上

}.

{e e

e

)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=

>>⋂+>=

>+>--+-θ

θθ

性质(4.9)称为无记忆性.

指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布

设连续型随机变量X 的概率密度为

)

10.4(,,e

21)(2

22)(∞<<-∞=

--

x x f x σ

μσ

π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).

显然f(x)≥0, 下面来证明

1d )(=⎰

+∞

∞

-x x f

令t x =-σμ/)(, 得到

dx e

dx e

t x 2

2)(2

2

22121-

∞

+∞

---

∞

+∞

-⎰

⎰

=

π

σ

πσ

μ

.

1d 21d 21

)

11.4(π

2d d e

,,

d d ,d

e 2

2)(20

2

22

/)(22

/2

2

2222

2

==

====⎰

⎰⎰⎰

⎰

⎰

⎰∞

∞

--

∞

∞

---∞

-

+∞∞-+∞

∞

-+-∞

∞--x e

x e r r I u t e I t I t x r u t

t

π

σ

πθσμπ

于是

得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:

（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意

f (x )的图形:

1.5

0.5

h>0有

P{μ-h

.π21

)(σ

μ=

f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。在x=μσ±处曲线有拐点。曲线以Ox 轴为渐近线。

X 的分布函数为

)12.4(,d e

π21)(2

22)(⎰

∞

---

=

x

t t x F σμσ

特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用ϕ(x)和

Φ(x)表示, 即有

)

14.4(.d e π

21)()

13.4(,21

)(2

/2/22⎰∞

---=Φ=

x t x t x e x π

ϕ

易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15)

人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2).

引理 若

X~N(

μ,2

σ), 则

)1,0(~N X Z σ

μ

-=

证明：的分布函数为σ

μ

-=

X Z

得

令,,

d e

π21}

{}{2

22)(u t t x X P x X P x Z P x

t =-=

+≤=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-=≤⎰

+∞

---

σ

μ

σσμσμσμσμ

),(d e π

21}{2/2

x u x Z P x

u Φ==

≤⎰

∞

--

由此知Z~N(0,1).

若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成:

)

(

)16.4(}{}

{)(σ

μ

σ

μ

σ

μ

-Φ=-≤

-=≤=x x X P x X P x F

则对于任意区间(x1,x2], 有

)17.4(.

}{122121⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧-≤-<-=≤<σμσμσμσμσ

μx x x X x P x X x P

例如, 设X~N(1,4), 查表得

.

3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+-=Φ--=-Φ-Φ=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤

设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到:

P{σμ-

3

2

2

3