第三章 最佳线性滤波器

归纳起来，因果IIR维纳滤波器设计步骤：
(1)对Sx (z)进行谱分解：
S
x
(
z
)=
2
B(
z
)
B(
z
1
)
(2)对Sxs (z) / B(z1)进行因果和逆因果分解：
BSx(sz(z1))=
Sxs (z) B( z 1 )
Sxs (z) B( z 1 )
因果部分
逆因果部分
（极点在单位圆内）（极点在单位圆外）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述 Wiener-Hopf方程及其求解 Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
最佳线性滤波概述
最优估计： 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机 矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随 机变量或随机矢量作出估计。
Rs (0) 1, Rs (1) Rs (1) 0.8, Rs (2) Rs (2) 0.64
而
2 v
0.45，
所以
r hopt
ur R-1 P
1.45
0.8
0.8 1.45
0.64-1 1 0.5358
0.8
0.8
=
0.2057
0.64 0.8 1.45 0.64 0.0914
0
Rs (2)
Rs
(3)
E
s(n
3)s(n)
E
sin
(n
3) 4
sin
n 4
E
1 2
[cos
3 4
cos
(2n
4
3)
]
1 4
6 i3
()
2 4
Rs (3)
计算输入时间序列x(n)的自相关矩阵：
r rT
r rT
r rT
R E[x(n)x (n)] E[s(n)s (n)] E[v(n)v (n)]
滤波器输出：
y(n)
sˆ(n)
rT hopt
r x(n)
ur T P
(R-1)T
r x(n)
rT E[s(n)x
(n)]
R -1
r x(n)
rT E[ s(n) x
(n)]
r rT E[ x(n) x
(n)]1
r x(n)
r sˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)，L x(N 1)}上的正交投影。
F(z) @ 1 B(z)
(n)
G (z)
y(n) sˆ(n)
Hc (z)
将因果IIR滤波器看成两部分级联
第二步：
F(z)
1 与G(z) B(z)
1
2
[S x (z)] 级联
H
c
(
z)
2
1 B(
z)
[S
x
(
z
)]
关键：用Sxs (z)表示[S x (z)]
实际上，设
f (n) 噲垐ZZ垎垐1
由信号正交性理解最优设计准则：
Q s(n)=sˆ(n)+e(n（) 正交分解定理）
e(n) sˆ(n)
而sˆ(n)= h(i)x(n i)，故
i
e(n) x(n i) i， 或 E[e(n)x(n i)] 0 i （正交方程）
第三章 最佳线性滤波器
最佳线性滤波概述 Wiener-Hopf方程及其求解 Wiener滤波的性能 互补Wiener滤波器设计 卡尔曼滤波器的递推算法 卡尔曼滤波器的应用
Rs (0)
Rs
Rv
Rs
(1)
Rs Rs
(2) (3)
Rs (1) Rs (0) Rs (1) Rs (2)
Rs (2) Rs (1) Rs (0) Rs (1)
Rs (3)
Rs (2) Rs (1) Rs (0)
2 v
I
r
计算x(n) 与s(n)之间的互相关矢量：
ur r
r
P E[x(n)s(n)] E[s(n)s(n)]
由正交方程 Wiener Hopf 方程：
E[e(n)x(n m)] 0 m
E[(s(n) h(i)x(n i))x(n m)]
i
E[s(n)x(n m)] h(i)E[x(n i)x(n m)]
i
Rsx (m) h(i)Rx (m i) 0
i
Rxs (m) h(i)Rx (m i) 0 m ——Wiener Hopf 方程 i Rxs (m)—输入x(n)与信号s(n)的互相关函数； Rx (m)—输入x(n)的自相关函数。
r h [h(0) h(1) h(2)]T
s(n) v(n)
E
ss((nn21))
v(n v(n
1)
2)
s(n)
v(n)
s(n 1) v(n 1) s(n 2) v(n 2
Rs (0)
Rs (1)
Rs (2)
Rs (1) Rs (0) Rs (1)
Rs (2) Rs (1)
F(z)
1 B(z)
(n) f (i)x(n i)
i
Rs (m) E{ (n)s(n m)} f (i)Rxs (m i) f (m) * Rxs (m)
i
两端进行Z变换得：
Ss (z)
F (z1)Sxs (z)
Sxs (z) B( z 1 )
H
c
(
z)
2
1 B(
z)
Sxs (z) B( z 1 )
（2）由 F (z)
1 B(z)
与G (z)
1
2
[Ss (z)] 级联得到系统传输函数。
白噪声 最小相位LTI系统
(n)
x(n)
B(z) N(z) / D(z)
第一步：
Sx
(z)
Sx
(z
1 )
2
B(
z)
B( z 1 )
B(z) F(z) 1 B(z)
白化滤波器
x(n) s(n) v(n)
hopt
(i)
2
(m
i)
h2
opt
(m),
i0
hopt (m)
1
2
Rs (m),
m0
m0
1
H
(
z)
2
[
S
s
(
z
)]
[Ss (z)] 表示:
10. 只取Ss (z)单位圆内的极点；
20.只取Rs (k)的因果部分。
一般情况，x(n)不为白噪声，需经两步获得因果IIR 传输函数：
（1）利用 Sx (z)谱分解得到B(z)；
30. 因果IIR型Wiener滤波器
Wiener-Hopf 方程：
Rxs (m) hopt (i)Rx (m i), m 0 i0
因i取值范围的原因，直接求解求hopt(i)非常困难。
为此，令：输入
x(n)
(n)
~
N
(0,
2
)
Rx (m) R (m) 2 (m)
Rxs (m) Rs (m)
Wiener Hopf 方程的求解： 求解的目的是得到最优的单位脉冲响应hopt (n)或系统传输函数Hopt (z)
hopt (n) 噲垐ZZ垎垐1 Hopt (z)
10. FIR型Wiener滤波器
x(n)
x(n 1)
z 1
z 1
x(…n N 2) z1 x(n N 1)
h0
h1
+
… hN 2
hN 1
…+
e(n)
+
- y(n) sˆ(n)
+
s(n)
r
有限单位脉冲响应序列：h＝h(0), h(1),L
, h(N
1)T
r
输入时间序列（与h(n)等长）：x(n) x(n), x(n 1),L
, x(n N
1)T
r
x(n)与s(n)的互相关函数（P为列矢量）：
ur
PE
r x(n)s(n)
Wiener-Hopf 方程：
Rxs (m) hopt (i)Rx (m i) m m i
双边Z变换在z域有最佳系统传输函数：
rr x(n)与s(n)的互功率谱
Hopt (z)
Sxs (z) Sx (z)
r x(n)的自功率谱
Sx (z) Rx (m)zm m
Sxs (z) Rxs (m)zm m
差平均功率（s(n)与v(n)不相关）。
解：
r h [h(0) h(1) h(2) h(3)]T r x(n) [x(n), x(n 1), x(n 2), x(n 3)]T
计算确定信号s(n)的自相关函数：
Rs
(0)
E{s(n)s(n)}
E{sin 2 (
n
4
)}
1 8
7 i0
sin 2 ( i
设计目的：获得系统的单位脉冲响应h(n)，或传输函数H (z)。
设计准则：最小均方误差准则，即
(n) E[e2(n)] E[(s(n) sˆ(n))2] Min
LTI 滤波器的类型：
FIR：h(n), n [0, N -1]; 因果IIR：h(n), n [0, ）; 非因果IIR：h(n), n (-, )。
E
s(n)s(n)
s(n
1)s(n)
s(n 2)s(n)
s(n 3)s(n)
=
Rs (0)
Rs
(1)
Rs Rs
(2) (3)
=
1/ 2
2/4 0
2 / 4
0.4950
r hopt
ur R1 P
0.3501 0
0.3501
平均功率误差：min
x(n)
LTI(h(n))
d(n) s(n)
y(n) sˆ(n)
e(n) d(n) y(n) s(n) sˆ(n)
+
输入序列：x(n)
s(n)
v(n)——
s(n)为源信号，是获取的对象；
v(n)
~
N
(0,
2 v
)为加性噪声。
输出序列：y(n) sˆ(n) h(n) x(n)
x(n) h(n) h(i)x(n i) i
(n)
E[s2
(n)]
ur T P
R 1
ur P
0.005
较
2 v
0.01降低1倍（3dB）
期望信号s(n) sin n
4
白噪声v(n),
2 v
0.01
观测信号x(n) s(n) v(n)
维纳滤波器输出信号 sˆ(n) x(n)* hopt (n)
20. 非因果IIR型Wiener滤波器
——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”； ——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。
最佳滤波： 信号s(n)在传输时引入加性噪声v(n)，接收信号x(n) s(n) v(n)， 希望经最佳滤波器滤波后的输出y(n) sˆ(n)恢复s(n)。
最优准则：
包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准 则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小 均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均 方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定 “平稳”和“各态历经”。
例：设信号s(n)的自相关序列为：Rs (m) 0.8|m|, m 0, 1,L
观测信号为：x(n) s(n) v(n) ，试中v(n)是方差为0.45的零 均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR 滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。
解： r x(n) [x(n) x(n 1) x(n 2)]T r rT R E[x(n)x (n)]
Rxs (0), Rxs (1),L
, Rxs (N 1)T
r 输入数据时间序列x(n)的自相关矩阵：
r rT
R E x(n)x (n)
Toeplitz 对称阵
Rx (0)
Rx (1)
Rx (1) Rx (0)
Rx (2) L Rx (1) L
Rx (2) M
Rx (1) M
Rx (0) L MO
例：在测试某正弦信号s(n) sin( n / 4) 的过程中叠加有零均值、方
差
2 v
0.01
的白噪声v(n)，即测试结果为：x(n)
sin( n
/
4)
v(n)
试设计一个长为N=4的FIR滤波器对x(n)进行滤波得到sˆ(n) ，使得
它与s(n) 的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激响应并估计误
2 v
0
0
2 v
0
0
Rss (0) 0
0
2 v
ur r P E[x(n)s(n)]
E
s(n) ss((nn21))
v(n)
v(n
1)
v(n 2)
s(n)
E
s(n)s(n)
s(n s(n
1)s(n)
2)s(n)
Rs (0)
Rs
(1)
Rs (2)
Rs (m) 0.8|m|
最佳线性滤波器的主要应用场景：
10. 过滤：用n时刻及以前的输入数据估计n时刻的信号值， 对应为因果IIR；
20. 平滑：用过去、n时刻及未来的全部输入数据估计 n时刻的信号值，对应为非因果IIR；
30. 预测：用n时刻及以前的共p个输入数据预测未来某时刻 的信号值，对应为FIR；
最佳线性滤波器结构
4
)
1 2
Rs
(1)
E
s(n
1)
s(n)
E
sin
(n
1) 4
sin
n 4
E
1 2
[cos
4
cos
(2n
1) 4
]
1 4
4 i1
()
2 4
Rs
(1)
Rs
(2)
E
s(n
2)s(n)
E
sin
(n
2) 4
sin
n 4
E
1 2
[cos
2 4
cos
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
2) 4
]
1 4
5 i2
()
Rx (N 1) Rx (N 2) Rx (N 3) L
Rx (N 1) Rx (N 2)
Rx
(
N M
3)
Rx (0) NN
Wiener Hopf 方程的矩阵形式：
ur T r T P h R
或
ur ur ur P RT h Rh
滤波器单位脉冲响应的最优解：
r
ur
hopt R-1 P