高等数学同济七版第六章电子教案

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授课内容

§6.1 定积分的元素法

§6.2 定积分在几何学上的应用

授课学时2学时/每班

教学目的元素法的基本思想；计算平面图形的面积

教学重点计算平面图形的面积

教学难点元素法的基本思想

教具和

媒体使用

黑板+粉笔

教学方法讲授法、类比法、练习法、讨论法、启发式等

教学过程§6.1 定积分的元素法

在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,]

x x dx

+上，

取左端点x为ξ，以()

f x为高，d x为底的小矩形的面积()d

f x x作为小规则图形的面积，()d

f x x叫做面积元素，记为=()d

dA f x x.于是，

()

lim()d=d

b

a

A f x x f x x

=∑⎰

这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法）

§6.2定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

一般地，根据元素法，由曲线()

y f x

=，()

y g x

=(()()

≥

f x

g x)以及直线

,()

x a x b a b

==＜所围成的曲边梯形的面积()()d

b

a

A f x g x x

=-

⎡⎤

⎣⎦

⎰

思考题设2

y x

=，[0 , 1]

x∈，问t取何值时，

图中阴影部分的面积

1

S与

2

S之和最大？何时最小？

第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法

设函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲边，以[],a b 为底的曲边梯形面积．

分割：将区间[],a b 分成任意n 个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=⋅⋅⋅， 将所求量（曲边梯形面积A ）分为部分量（小曲边梯形面积i A ∆)之和 近似代替：在每个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=⋅⋅⋅上任取一点i ξ，

以()i f ξ和i x ∆为边长的小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积i A ∆，即

()i i i A f x ξ∆≈∆

求和：曲边梯形的面积A 的近似值（各小矩形面积之和）为1

()n

i i i A f x ξ=≈

∆∑ 取极限：令{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，对和式取极限后得所求量的精确值（曲边梯形面积）0

1

lim ()n

i

i

i A f x

λξ==∆∑→

以上四个步骤中，主要的是第二步，小规则图形的面积 在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,]x x dx +上， 取左端点x 为ξ，以

()f x 为高，d x 为底的小矩形的面积()d f x x 作为小规则图形的面积，

()d f x x 叫做面积元素，记为=()d dA f x x .于是，

()lim ()d =d b

a

A f x x f x x =∑⎰

这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法）

第二节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积 1．直角坐标情形

一般地，根据元素法，由曲线()y f x =，()y g x =(()()≥f x g x )以及直线,()

x a x b a b ==＜所围成的曲边梯形的面积()()d b

a A f x g x x =-⎡⎤⎣

⎦⎰ 由元素法分析：

第一步：在区间[],a b 上任取小区间[],d x x x +，在此小区间上的图形面积近似于高为

()()f x g x -⎡⎤⎣⎦，底为d x 的小矩形面积，从而得面积元素为()d ()d A f x g x x =-⎡

⎤⎣⎦ 第二步：以()()f x g x -⎡⎤⎣⎦为被积函数， 在区间[],a b 作定积分就是所求图形的面积

()()d b

a A f x g x x =-⎡⎤⎣

⎦⎰

类似地，由曲线(),()x y x y ψϕ==（()()≥y y ϕψ），

以及直线,y c y d ==所围成的平面图形的面积为

[]()()d d

c

A y y y ϕψ=-⎰

例：计算由两条抛物线22

,=y x y x =所围成图形的面积

解：解方程组22y x y x ⎧=⎨=⎩

得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1)， 则所求图形的面积为(

)

1

31

2

3200211d 3

33S x x x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰

例：求曲线

22,

4y x y x ==-围成平面图形的面积

解：（方法一）

解方程组224y x

y x ⎧=⎨=-⎩

得两曲线的交点为(2,-2)和(8,4)，

则所求图形的面积为

4

22342

2111(4)[4]18226A y y dy y y y --=+-=+-=⎰ （方法二）28

222d 2(4)d A x x x x x ⎡⎤=+--⎣

⎦⎰

⎰ x

y

O

c

d

y dy

+y

dA

()

x y ψ=()

x y ϕ=