几何最值及路径长(习题及答案)

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几何最值及路径长（习题）

➢ 例题示范

例 1：如图，在矩形 ABCD 中，AB =12，AD =3，E ，F 分别为 AB ，CD 上的两个动点，则 AF +FE +EC 的最小值为

．

【思路分析】

所求目标是 AF +FE +EC 的最小值，属于最值问

题． 分析定点、动点，寻找不变特征．

A ，C 为定点，E ，F 为动点，且点 E 在定线段 A

B 上动，点 F 在定线段 CD 上动．

由定点、动点的特征判断为轴对称最值模型．

作定点 A 关于定直线 CD 的对称点 A ′，作定点 C 关于定直线AB 的对称点 C ′．根据对称可知，A ′F =AF ，C ′E =CE ，所求问题转化为求 A ′F +FE +C ′E 的最小值，根据“两点之间，线段最短”，连接 A ′C ′，线段 A ′C ′的长度即为最小值．

判断所求最值为线段 A ′C ′的长，设计方案求解． 根据勾股定理，A ′C ′=15，即最小值为 15．

1

2

3

例2：如图，已知AB=10，点C，D 在线段AB 上，且

AC=BD=2．P 是线段CD 上的一动点，分别以AP，PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB，连接EF，设EF 的中点为G．当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为．

【思路分析】

①分析不变特征．

在点P 运动的过程中，两个三角形始终为等边三角形不变，点G 为EF 的中点不变，线段AB 的长度不变．

②猜测运动路径．

分别选择点P 在起点C、终点 D 时的图形，结合已知图中点G 的位置，猜测路径为线段，如图1、图2．

图1 图2

③验证运动路径．

猜测运动路径是线段，且平行于AB，只需证明点G 到线段AB 的距离为定值即可，故分别过点E，F，G 作AB 的垂线．

2

如图3，可证GH 为梯形EMNF 的中位线，GH=

1

(EM+FN)；

2

因为△APE 和△BPF 均为等边三角形，故EM +FN = 3(PM

+PN )=

3

AB ，可确定GH 为定值，点G 的运动路径为平行

2

于AB 的线段．

图3 图4

④设计方案计算路径长．

补全，得图形4，可知QECF 为平行四边形，则G1 为QC 中点，同理可知G2 为QD 中点，

故G

1

G

2

=

1

CD =

1

(10 - 2 - 2) = 3 ．

2 2

3

➢巩固练习

1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点

E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE

最小，则这个最小值为（

A．3 B．3 2

）

C．2 3 D．2 6

第1 题图第2 题图

2. 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，

点P，Q 分别是边BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．

2 3.

如图，在菱形 ABCD 中，∠A =60°，AB =3，⊙A ，⊙B 的半径分别为 2 和 1，P ，E ，F 分别是边 CD ，⊙A 和⊙B 上的动点， 则 PE +PF 的最小值是

．

第 3 题图

第 4 题图

4.

如图，在 Rt △AOB 中，OA =OB = 3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ （点 Q 为切点），则 PQ 长度的最小值为

．

5.

将一张宽为 4 cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是

．

6. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB =5，AD =13．如图所示， 折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A ′处，折痕为 PQ ，当点 A ′ 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在 AB ，AD 边上移动，则点 A ′在 BC 边上可移动的最大距离为

．

4

7.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，点A，C 分

别在x 轴、y 轴上．当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离为

．

8.如图，已知直线y =3

x - 3 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，4

P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB.

则△PAB 面积的最大值是．

9.如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从

点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM，过M 作EM 的垂线交射线BC 于点F，连接EF．若P 是MF 的中点，则在点E 运动的过程中，点P 运动的路径长为．

5

3

10.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P 是AB 边

上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．

11.如图，木棒AB 的长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON

上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A' ，B 端也随之沿直线OM 向右滑动到B' ，若AA'= ( -2)a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长为

．

12.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2 的线段EF 的两端

放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E 从点A 出发，按A→B→C→D→A 的方向滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，按B→C→D→A→B 的方向滑动到点B 为止，则在这个过程中，线段EF 的中点M 经过的路径所围成的图形面积为．

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