2014中考数学 第二部分 第六章 第4讲 图形的相似

比例线段及黄金分割
1．在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于c 与d
a c 成比例线段， 的比，即—＝—，那么这四条线段a，b，c，d叫做___________ b d
比例线段 ． 简称__________
2．比例的基本性质． a c ad＝bc (1)基本性质：b＝d⇔____________. a± b c± d ＝ d a c b (2)合比性质：b＝d⇔____________. a c m (3)等比性质： b＝d＝…＝ n ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ a＋c＋…＋m ＝k ______________________. b＋d＋…＋n
(1)求证：△APB∽△PEC； (2)若 CE＝3，求 BP 的长． 图 6-4-3
(1)证明：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C＝60°. ∵∠APC＝∠B＋∠BAP， 即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP. ∵∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC. ∴△APB∽△PEC. (2)解：如图 54，过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于 F. 则四边形 ADCF 为平行四边形，△ABF 为等边三角形．
图 54
∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4.
BP＝AB ∵△APB∽△PEC，∴ . EC PC
设 BP＝x，则 PC＝7－x，又 EC＝3, AB＝4，
x＝ 4 ∴— .整理，得 x2－7x＋12＝0. 3 7－x
解得 x1＝3,
x2＝4.
经检验， x1＝3,
x2＝4 是所列方程的根．
∴BP 的长为 3 或 4.
第4讲
图形的相似
1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通 过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 2．知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例、面积的 比等于对应边比的平方． 3．了解两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件． 4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
考点1
相似 ．基本图形为“A”型和“X”型，如图 6-4-1. 角形和原三角形______
图 6-4-1
考点 3 位似图形 1．概念：如果两个多边形不仅________ 相似 ，而且对应顶点的 一点 ，这样的图形叫做位似图形，这个点叫 连线相交于__________ 位似中心 ． 做____________ 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之 位似比 ． 比等于__________ 【学有奇招】 1．深刻理解并掌握“平行截比例”“平行截相似”“比例 出平行”等平行与相似的关系． 2．增强识图能力，能够从已知图形中找出相似三角形，从
∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°， 又∠B＝∠B，∴ △ABD∽△CBE.
【试题精选】 1．(2013 年四川南充)如图 6-4-3，在等腰梯形 ABCD 中，
AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P 为BC边上一点(不与 B，C 重合)，过点 P 作∠APE＝∠B，PE 交CD 于 E.
3．相似三角形的判定． 两角对应相等 (1)__________________ 的两个三角形相似． 两边对应成比例，且夹角相等 的两个三角形相似． (2)____________________________ 三边对应成比例 的两个三角形相似． (3)____________________ 4．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
3．黄金分割． (1)定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果
AC＝ 5 1 AB 2 ____________ ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做
黄金分割点 ，AC 与 AB 的比叫做黄金比． 线段 AB 的____________ (2)黄金比的比值为 5 1 ，约为 0.618. 2
①②③ 周长之比为 1∶4.其中正确的有_____________( 只填序号)．
相似三角形的判定 例题：(2013 年湖南益阳)如图 6-4-2，在△ABC 中，AB＝
AC，BD＝CD，CE⊥AB 于 E.
求证：△ABD∽△CBE. 思路分析：要判断两三角形相似，
由图形可知∠B 是公共角，可再找到一组角相等． 图 6-4-2 证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
中列出所需比例式．
1．在上科学课时，老师让同学利用手中的放大镜对蜗牛进 行观察，同学们在放大镜中看到蜗牛与实际的蜗牛属于什么变 换( A ) A．相似变换 C．旋转变换 B．平移变换 D．对称变换
a 3 a 2．如果b＝2，那么 ＝( C ) a＋b
A.
3 2
B.
2 3
C.
3 5
D.
5 3
3．若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形
名师点评：相似的判定方法可类比全等三角形的判定方法， 找对应边(角)时应遵循一定的对应原则，如长(大)对长(大)，短
(小)对短(小)，或找相等的角(边)帮助确定．
相似三角形的性质及综合应用
例题：(2013 年福建莆田)定义：如图 6-4-4(1)，点 C 在线
5 的周长扩大为原来的________ 倍． 4．高 6 m 的旗杆在水平地面上的影子长 4 m，同一时刻附 30 近有一建筑物的影子长 20 m，则该建筑物的高为_______m. 5．在△ABC 中，D，E分别是边AB 与AC的中点，BC＝4， 下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面 积与△ABC 的面积之比为 1∶4；④△ADE 的周长与△ABC 的ຫໍສະໝຸດ 考点 2 相似图形的性质与判定
1．相似三角形的定义． 成比例 相等 ，对应边____________ 如果两个三角形的对应角________ ， 那么这两个三角形叫做相似三角形． 2．相似多边形(三角形)的性质．
相等 ，对应边__________ 成比例 ． (1)对应角_______
相似比的平方 ． 相似比 ，面积之比等于______________ (2)周长之比等于_______ (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线 相似比 ． 的比等于________