数轴标根法
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数轴标根法
现行教材在讲高次不等式,分式不等式的解法,以及在求函数单调区间,极值时,都是用列表法,甚至求函数的凹凸性,拐点也是用的列表法。
这种方法列表繁,耗时多。
使用“数轴标根法”解这些问题,非常方便,学生易掌握,也节省了大量时间。
数轴标根法叙述如下:
设)(x f 的分子和分母共有k 个零点:k x x x <<< 21,它们依次为k n n n ,,21重零点。
第一步 标根:将零点依次标在数轴上;
第二步 画线:若)(x f 的最高项系数为正(即k
x x >时,)(x f >0)则从数轴右上方开始用一条曲线去经过各零点:奇穿偶跳。
奇穿:当i n 为奇数,即i x 为奇重根(含单根)时,曲线在经过该零点时从数轴的一边穿到另一边;
偶跳:当i n 为偶数,即i x 为偶重根时,曲线在经
过该零点时不穿过数轴,跳过该点在同侧前进。
若)(x f 的最高项系数为负(即k x x
>时,)(x f <0)
则从数轴右下方开始画曲线;
第三步 得结论:
第一应用 解不等式,先把不等式变为
)(x f >0(<0,
≥0,≤0)
>0:取上面有弧的区间;
<0:取下面有弧的区间; ≥0:取上面有弧的区间及分子的零点; ≤0:取下面有弧的区间及分子的零点。
第二应用 求函数的单调性和极值,先求函数的一
阶导数为)(x f
增区间:上面有弧的区间;
减区间:下面有弧的区间。
极大值点:由增到减的零点;(有意义) 极小值点:由减到增的零点。
(有意义) 的三应用 求函数的凹凸性和拐点,求函数的二阶
导数为)(x f
凹区间:上面有弧的区间;
凸区间:下面有弧的区间。
拐点:曲线穿过数轴的点。
(有意义)
例1 解不等式:02)
2(≤+-x x x
解 如图,解集为:(-∞,-2)及[0,2].
2
例2求282
4+-=x x y 的单调区间和极值。
解
)2)(2(41643-+=-='x x x x x y
增区间:(-2,0)及(2,+∞)
减区间:(-∞,-2)及(0,2)
)0 2==x y (极大
14-=极小y (2±=x ).
例3求)1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点。
解212x x
y +='
, 22222)1()
1)(1(2)1(22)1(2x x x x x x x y ++-=+⋅-+=''
凹区间:(-1,1) 凸区间:(-∞,-1)及(1,+ ∞)
拐点:(-1,ln2)
,(1,ln2).。