数轴标根法

数轴标根法

现行教材在讲高次不等式，分式不等式的解法，以及在求函数单调区间，极值时，都是用列表法，甚至求函数的凹凸性，拐点也是用的列表法。这种方法列表繁，耗时多。使用“数轴标根法”解这些问题，非常方便，学生易掌握，也节省了大量时间。

数轴标根法叙述如下：

设)(x f 的分子和分母共有k 个零点：k x x x <<< 21，它们依次为k n n n ,,21重零点。 第一步 标根：将零点依次标在数轴上；

第二步 画线：若)(x f 的最高项系数为正（即k

x x >时，)(x f >0）则从数轴右上方开始用一条曲线去经过各零点：奇穿偶跳。

奇穿：当i n 为奇数，即i x 为奇重根（含单根）时，曲线在经过该零点时从数轴的一边穿到另一边；

偶跳：当i n 为偶数，即i x 为偶重根时，曲线在经

过该零点时不穿过数轴，跳过该点在同侧前进。

若)(x f 的最高项系数为负（即k x x

>时，)(x f <0）

则从数轴右下方开始画曲线；

第三步 得结论：

第一应用 解不等式，先把不等式变为

)(x f >0(<0,

≥0,≤0)

>0:取上面有弧的区间；

<0:取下面有弧的区间； ≥0：取上面有弧的区间及分子的零点； ≤0：取下面有弧的区间及分子的零点。 第二应用 求函数的单调性和极值，先求函数的一

阶导数为)(x f

增区间：上面有弧的区间；

减区间：下面有弧的区间。

极大值点：由增到减的零点；（有意义） 极小值点：由减到增的零点。（有意义） 的三应用 求函数的凹凸性和拐点，求函数的二阶

导数为)(x f

凹区间：上面有弧的区间；

凸区间：下面有弧的区间。

拐点：曲线穿过数轴的点。（有意义）

例1 解不等式：02)

2(≤+-x x x

解 如图，解集为：（-∞，-2）及[0，2].

2

例2求282

4+-=x x y 的单调区间和极值。 解

)2)(2(41643-+=-='x x x x x y

增区间：（-2，0）及（2，＋∞）

减区间：（-∞，-2）及（0，2）

)0 2==x y （极大

14-=极小y （2±=x ）.

例3求)1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点。 解212x x

y +='

， 22222)1()

1)(1(2)1(22)1(2x x x x x x x y ++-=+⋅-+=''

凹区间：（-1，1） 凸区间：（-∞，-1）及（1，+ ∞）

拐点：（-1，ln2）

,(1,ln2).