离散数学环和域

三、域
域一定是整环，但整环不一定是域
例如<I,+,·>是整环但不是域，因<I- {0},·>不是阿贝尔群。
称代数结构<A, +, >为环(ring).
例1 (a) <I, +,·>是个环, 因为<I, +>是加法群, 0是么元; <I, ·>是半群, 乘法 在加法上可分配。
(b) <Nk, +k, ×k>是个环, 这里Nk={0, 1, …, k-1}, k＞0, +k和×k分别是模k加 法和模k乘法。
例2 (a) <I, +,·>是整环。因为·可交换, 1是乘法么元,可约律成立。
二、环、整环
整环的定义： <R, +, ·>是环, (1) 若R上运算·可交换的, 称〈R, +, ·〉是可交换环; (2) 若R关于运算·有么元，称〈R, +, ·〉是含么环; (3) 如果<R, +, ·>是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。
其中,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。
证明(3) (-a)·(-b) +(- a)·b = (-a) ·[(-b) + b] = (-b)·0=0 (a·b) + (- a)·b =[a+(-a)]·b = 0·b=0 所以 (-a)·(-b) = a·b
(4) a·(b-c) = a·[b+(-c)] = a·b + a·(- c) = a·b+[-(a·c) ] = a·b-a·c
如果b·c=0且b≠0，那么b·c=b·0，根据可约律可得c=0；如果b·c=0且c≠0 ，那么b·c=0·c，根据可约律可得b=0 。可见环<R, +, ·>无零因子 。
二、环、整环
整环的定义： <R, +, ·>是环, (1) 若R上运算·可交换的, 称〈R, +, ·〉是可交换环; (2) 若R关于运算·有么元，称〈R, +, ·〉是含么环; (3) 如果<R, +, ·>是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。
例2 (b) <N6,+6,×6>不是整环,因为3×62=0, 3和2是零因子。但<N7,+7,×7> 是整环，N7= {0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明
a,
b,
c
N7
,
aHale Waihona Puke Baidu
7
b a
a 0
7
c
b
c
反证：假如b≠c,不妨设b>c,存在整数i, j使得 ab=7i+r， ac=7j+r (0<=r<=6, i>j)
又×k可交换, 所以,乘法在加法上可分配。
一、环
定理1：设<R, +, ·>为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,cR （1） a·0 = 0·a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)·b = a·(-b) = -(a·b) （3） (-a)·(-b) = a·b （4） a·(b-c) = a·b-a·c （5） (b-c)·a=b·a-c·a
离散数学（二）
1
环和域
主要内容:
11 环 2 整环 3域
重点和难点:
重点: 环和域的定义 难点: 域的定义
一、环
环的定义：
设<A, +, >是一代数系统, +和是二元运算，若满足 (1) <A, + >是阿贝尔群(加法群)． (2) <A, >是半群． (3) 乘运算对加运算+可分配，即对所有a,b,cA有 a (b + c)= a b + a c 和 (b + c) a = (b a) + (c a)
(5) (b-c)·a=[b+(- c)]·a= b·a + (-c)·a =b·a + (-c·a) =b·a-c·a
二、环、整环
含零因子/无零因子环的定义： <R, +, ·>是环, a, b∈R,若 a≠0且b≠0,但是a·b=0, 则称<R, +, ·>是含零因子
环, a、b称为零因子。不含零因子的环称为无零因子环。 <R, +,·>为无零因子环∀a, b∈R,a≠0且b≠0时必有a·b≠0。 即a·b=0时，有a=0或b=0
例如 <Q, +, ·>、<R, +, ·>都是域； <I, +, ·> 不是域(因为<I- {0},·>不是阿贝尔群)。
三、域
域的两个定义的等价性： 由整环定义容易得出，定义I 定义II 下面证明定义II 定义I： (1) F-{0}≠Ø知|F-{0}|>0,即|F|>1； (2) <F-{0},·>是阿贝尔群知<F-{0},·>是群； (3) 证明<F, +, ·>是整环。
因为<Nk, +k>是阿贝尔群, 0是么元;< Nk,×k>是半群, 对任意元素a, b, c∈Nk, 有
a k (b k c) a k [(b c)(mod k)] [a k (b c)(mod k)]
(a k b)(mod k) [(a c)(mod k)] (a k b) k (a k c)
定理2：环<R, +, ·>是无零因子 <R, +, ·>满足可约律。 证明：(1) 必要性：∀a, b, c∈R, 且a≠0，若a·b=a·c, 则有
a·b-a·c=0, a·b-a·c=a·b+a·(-c)= a·(b-c)=0。 由于无零因子，则b=c , 可见<R, +, ·>满足可约律。 (2) 充分性：∀b, c∈R, b·c=0, 证明b=0或c=0。
两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0<a<7, 0<b-c<7，所 以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。
三、域
域的两个定义： 如果<F, +, ·>是整环, |F|＞1,<F-{0},·>是群,则<F, +, ·>是域(定义 I) 。 域也可以如下定义(定义II)： (1) <F, +>是阿贝尔群， (2) <F-{0},·>是阿贝尔群， (3) 乘法对加法可分配。
<F,+,·>是环：<F,+>是阿贝尔群；<F,·>是半群；乘法对加法可分配； <F- {0},·>是阿贝尔群,故F- {0}上·可交换,可知F上·可交换； <F, +>是阿贝尔群,可知<F, +, ·>含么元0； <F- {0},·>是阿贝尔群,F-{0}关于 ·封闭,即∀x,y∈F-{0}有xy∈F-{0}, 即∀x,y∈F, x ≠0,y≠0,有xy≠0,也就是说 <F,+,·>无零因子。