第七讲_新古典经济增长模型(之三)

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由 于 c 是 一 常 数 ， 所 以 c等 于 cc （ 也 就 是 说 ，
d(tc )/d td[c(t)c]/d）。t 同理， k k k。因此我们可把
（7.78）和（7.79）重新写为
c c c k k c c c
k
（7.84)
kk kk
kc ck
(7.85)
方程(7.84)和(7.85)式表明， c c的增长率和 k k的增长率仅
取决于 c c与 k k之比。
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既是如此，考虑如下情形：如果c和 k的值使得 c c 和 k k 以
相同速率下降（即，如果 ( c c ) / c ( c ) ( k k ) / k ( k ) ），
k k c c
(7.83)
其中（7.82）式和（7.83）式都应用了如下事实：（7.69）意味
着 f(k)n。
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让（7.82）式两边同除以 c c，让（7.83）式两边同除以 k k，
可得 c c的增长率和 k k的增长率的表达式：
c c c c f(k)ck c c k
济不是沿一直线移向 (k,c)，而是沿一直线离开 (k,c) 。因
此，要使经源自文库收敛于 (k,c)， 必须为负。检查（7.89）式可
知 ， 的 两 个 值 中 只 有 一 个 为 负 ， 即
24f(k)c/1 2 /2，把它用
1
表示。于是方程（7.86）
（在 1时）告诉我们，要使c c 与 k k 均以速率 1 下降
相同，因而分散经济均衡必然是帕累托最优 的
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二、平衡增长路径的特性
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一旦经济收敛到平衡增长路径上，本模型的经济 行为就与处于平衡增长路径上的索洛模型的经济
行为完全一样了。在平衡增长路径上，c ，k 和
y 都是常数，因而，总资本存量 K t ，总消费 N t ct
与 的符号相反。因此，鞍点路径 AA 斜率为正，而 BB 线斜
率为负。
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c B
c0
A
E
A
k
B k
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因此如果我们线性化关于 c和 k的方程，我们就可以依据该模 型的参数来描述该经济的动态学。在 0 时，根据方程（7.86），
时没有人均消费和人均产量的长期增长。此时，在新古典
增长模型中的平衡增长路径上的均衡资本存量k 由
f(k)n给定（见（7.16）式），而黄金律资本存
量 k GR 由 f(k G)R N n给定（见（6.26）式）。
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因为 nn，因而有 k kGR。也就是说，在新
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四、调整速度与鞍点路径的斜率
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鞍点路径的斜率
方程（7.69）和（7.70）将 c(t)和 k(t) 描述为 k (t) 和 c(t) 的函数。 关于两方程在经济的动态学方面的定量含义，我们在对其进行 分析时，一个有效的方式，就是对这些非线性方程在平衡增长 路径附近进行线性近似。因此，我们分析时的第一步是：在 k k和 c c处对（7.69）和（7.70）取一阶泰勒近似。
c c应当如何与 k k相联系。
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图 7-8 中画出了两条线。经济沿着其中一条线平滑地向 (k,c) 收敛（图中的鞍点路径 AA），沿另一条线离开 (k,c)（即 BB 线）。如果 c(0) 和 k (0) 的初始值落在后一条线上，那么（7.84）
和（7.85）式意味着 c c和 k k将以速率 2 稳定增长。由于 f ()为负，所以（7.86）式意味着 c c和 k k间关系的符号
古典增长模型中，平衡增长路径上的资本存量是低于黄金 律资本存量的。现在，我们的疑问就来了，因为，黄金律 资本存量本身是代表一条在经济实现平衡增长以后能让 每个消费者在每一期都得到最高消费水平的路径，既然如 此，那么，一个追求效用最大化的行为人为什么会放弃这 一平衡增长路径呢？
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c
k k k k k k c c
k
c
（7.80) (7.81)
（同样，这些导数均在 k k， c c处取值）。
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应用（7.69）和（7.70）计算这些导数，得
c cf(k )c kk
(7.82)
k k f ( k ) ( n ) k k c c
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用 表示 (c c)/c (c)。方程（7.84）意味着
c c kk
f(k)c
1
（7.86）
将（7.86）式代入（7.85）式，可得
kk kk
f(k)c
1。
因此，在 ( c c ) / c ( c ) ( k k ) / k ( k ) 这一条件下，有
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当资本存量高于黄金律资本存量时，意味着通过 降低储蓄率可以使经济转入到另一条平衡增长路 径上去：在这一平衡增长路径上，行为人在每一 期都可以取得更高的消费水平。与此形成鲜明对 比的是，在新古典增长模型中，储蓄是内生的， 是行为人在最大化自己的效用过程中被决定的， 而行为人的效用取决于行为人自己的消费。其结 果是，如果经济中还存在一种能让行为人每期均 可得到更高消费的路径时，行为人一定会降低自 己的储蓄率来利用这一机会，因而，平衡路径上 的资本存量是不可能高于黄金律资本存量的。
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也就是说，我们写出
c c kkc cc
k
c
k k kkk cc
k
c
（7.78） （7.79）
其中 c /k、 c /c、 k/k和 k/c均在 k k， c c 处取
值。我们的方法是认为（7.78）和（7.79）是精确的，并分析 所导致的系统的动态学。
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消除这一疑惑的关键是要注意到如下这个事实：在新古典增 长模型中，行为人是有时间偏好的，也即，行为人对现在消费的 评价是高于未来消费的。这样，在给定 k kGR的情况下，当经济
实现平衡增长路径时的资本存量 k k时，行为人确实可以通过提
高储蓄来使得人均消费最终上升到一个更高水平并保持在那里
（因为只要平衡增长路径上的资本存量小于黄金资本存量，行为
将会出现 什么情 况？ 这表明 c c 与 k k 之比未变， 从而
c c的增长率和 k k的增长率也未变。这样，c c 和k k
继续以相同速率下降。从图上看，从 c c 和 k k 以相同速率
下降的一点开始，经济沿一直线向 (k,c)运动，其间，经济与
(k,c)间的距离以一不变速率下降。
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和总产出 Y t ，所有的都将以相同的速率 n 增长。 因此，总变量的长期增长率将完全由外生的人口 增长率所决定，而人均变量的增长率则为零。这 些结论与索洛模型中得到的结论是完全一样的
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修正的黄金律资本存量
索洛模型和新古典增长模型在平衡增长 路径上的惟一重要差别是：在新古典增 长模型中，稳定的资本存量高于黄金律 资本存量的平衡增长路径是不可能的。 在索洛模型中，因为储蓄率是外生给定 的，对应于不同的储蓄率，当经济收敛 于平衡增长路径时，其稳定的资本存量 是既有可能高于也有可能低于当然也可 能等于黄金律资本存量。
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那么，在新古典增长模型中，平衡路径上的资本存量是否 可能低于黄金律资本存量呢？答案是肯定的。也就是说， 在新古典增长模型中，经济并不收敛于产生最大的消费水 平的平衡增长路径上。要明白这一点并不难。这一判断的
直观推理在不考虑技术进步，即 A 0时最清楚，因为此
人总是可以通过增加储蓄来提高人均消费水平的）。但是，由于行
为人对现在消费的评价高于未来消费，所以这种消费的永久性上
升的好处是有界的。
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在某一点上——具体而言，当 k k时，暂时的短期牺牲与永 久的长期收益之间的交换是如此不利，以至于接受这一交换会 降低而不是提高行为人一生的效用。这样， k就收敛于一个低 于黄金律资本存量的值。由于 k 是经济将收敛到的最优的k
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f(k)c 1
或
（7.87）
2f(k)c 0
（7.88）
这是一个关于 的二次方程，其解为
24f(k)c/1/2 2
（7.89）
我们可以用 1 和 2 来表示 的这两个值。
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如果 为正，那么 c(t) c和 k(t)k是增长的；也就是说，经
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c c 0
E E
A 旧k
新k
k 0 k
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在 发生变化之时，每单位有效劳动的平均资本存量
k的值决定于经济的历史，而且 k不能间断变化。具体而言，
在 发生变化之时， k等于旧平衡增长路径上的 k 。与此
相反，家庭用于消费的部分 c可在 发生变化之时迅速变
《中级宏观经济学》 主讲:何樟勇博士
浙江大学经济学院
2009年秋
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第三节 福利与平衡增长路径
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一、福利
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我们在本章开头部分就指出，通过把行为人的最优 化行为引入模型，一个最大的优点是我们可以借助 这些模型去得出一些规范性的结论。其中，人们最 关心的问题当然是分散化经济的均衡是否是一个令 人满意的均衡。现在我们可以对这一问题作出回答 了。在微观经济学中，福利经济学第一定理告诉我 们：如果市场是完全竞争的且不存在外部性，那么 分散化经济就是帕累托有效的——也就是说，除非 使某些人的境况恶化，否则不可能使一些人的境况 改善。由于福利经济学第一定理的条件在我们的分 散化经济模型里完全得到满足，所以模型中的均衡 必然是帕累托有效的。
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定性影响
由于 k的变化决定于技术而非偏好， 进入关于 c的方程，而
不进入关于 k的方程。因此只有 c0线受到影响。回忆一下方
程（7.69）： c ( t ) / c ( t ) f ( k ( t ) ) n /。这样， 的下
降意味着对于给定的 k，c/c比以前高。由于 f (k)为负，因而 为使 c等于零所需的 k上升。因此 c0线向右移动，如图 7-7 所示。
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当然，在这里，我们还有更简便的方法—— 直接比较分散最优与计划最优经济的结论就 可以了。我们可以注意到，（7.13）式和 （7.25）式是完全一样的，也即，分散经济 下实现消费最优的欧拉方程与计划经济下实
现消费最优的欧拉方程是一样的，这意味着
分散经济下的均衡解将与计划最优的均衡解
化。 从我们对该经济的动态学分析中可以明确看出全过程：在
下降之时，c迅速下降，从而使经济处于新鞍点路径上（图
7-7 中的点 A）。此后，c和 k逐渐上升至其新的平衡增长路
径值；这些值高于其在原平衡增长路径上的值。
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因此，该模型中贴现率下降的影响相似于索洛模型中当资本 存量低于黄金律水平时储蓄率上升的影响。在两种情况下，k 均逐渐上升至一新的更高水平，而且 c都在开始时下降，然后 上升至一更高水平。因此，与索洛模型中储蓄率的永久性上 升完全一样，该模型中贴现率的永久性下降使得每工人平均 资本的增长率和每工人平均产量的增长率均暂时性上升。
值，因此， k 又被称为修正的黄金律资本存量。
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三、贴现率下降的影响
现在考虑一个已处于平衡增长路径上的经济，并假定贴现
率 下降。由于参数 决定了家庭对现期消费和未来消费的偏
好，所以该模型中贴现率的下降相当于索洛模型中储蓄率的上 升。
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