电力系统过电压保护基础知识

过电压及保护基础知识

1 准备知识

1.1 若干基本数学定义及公式 1.1.1 微分的基本公式

(c)’=0 (c 为常数) (a x )’=a x lna

1.1.2 积分的基本公式：

a a dx a x

x

ln =⎰

⎰=x

x e

dx e

1.1.3 分部积分法：

⎰⎰-=dx vu uv dx uv ''

1.1.4 定积分的计算（牛顿-莱布尼兹公式）

⎰

-=b

a

a F

b F dt t f )()()(通常记为：b a b

a

x F dt x f )()(⎰=

1.1.5 复数三角数sin ωt 和cos ωt 的定义

i e e t t i t i 2sin ωωω--=， 2

cos t i t i e e t ωωω-+=

1.2 拉氏变换

1.2.1 拉氏变换的定义：

由拉普拉斯积分：⎰∞

-=0

)()(dt t f e p F pt ……..(1) 所给出的函数)

(p F 称为函数)(t f 的拉氏换式。其中)(t f 是实变数t 的实数函数或者复数函数，p 是复数σi s +，s 和σ分别是其实部和虚部。(1)式代表着从)(t f 到

)(p F 的一种积分变换关系，称为拉氏变换，pt e -称为拉氏变换的核。(1)

式常用简单的符号表示为：}{)()(t f L p F = 而f(t)称为拉氏变换的原函数，F(p)称为像函数。

例1． 求原函数f(t)=1的像函数

}{p

p

e e e dt e dt e

L pt p

pt

t

p pt

1ln )(1.10

0=

-==

==∞-∞--∞

-∞

-⎰⎰ 例2． 求函数at e t f =)(的拉氏变换

{}a

p dt e dt e e

e

L t a p at

pt

at

-=

==⎰⎰∞

--∞-1

.0

)(0

1.2.2 拉氏变换的基本性质：

拉氏变换是一种线性变换，也就是说，若{})()(11p F t f L =、

{})()(22p F t f L =，则：{})()()()(22112211p F p F t f t f L αααα+=+，其中1α和2α是

任意两个复数。

例3． 求t ωsin 的拉氏换式 ∵)(21sin t i t

i e e i

t ωωω--=

∴{}2

2)11(21sin ωωωωω+=+--=

p i p i p i t L 例4． 求t ωcos 的拉氏换式 ∵)(2

1cos t i t i e e t ωωω-+= ∴{}2

2)11(

21cos ωωωω+=++-=p p

i p i p t L

1.2.3 拉氏变换的应用：

拉氏变换的重要应用之一是解线性常微分方程的初值问题，这是由于通过拉氏变换后，原函数的微积运算对应于拉氏换式的代数运算。

原函数微分的换式：若)(t f 的拉氏换式是)(p F ，则)('t f 的拉氏换式是：

{})

0()()0()()()'(

)()(')('0

0f p pF f dt t f e p dt t f e

t f e

dt t f e

t f L pt pt

pt

pt

-=-=-==⎰⎰⎰∞

∞

--∞-∞

-可见对)(t f 求导数（微分）的运算经过拉氏变换之后变为以p 乘)(p F 的代数运算，同时)(t f 的初值)0(f 也进入运算公式中。同样可求得)(''t f 的拉氏换式如下：

{}[])

0(')0()()0(')('')(')('')(''20

0f pf p F p f dt t f e p dt t f e

dt t f e

t f L pt pt

pt

--=-===⎰⎰⎰∞

-∞

-∞

-例：求下图所示L-R 串联电路在开关K 合闸后的电流，设合闸前电路中的电流为零，E 为直流电源。

根据电路理论有：E Ri dt

di

L

=+……..(2) 令)(p I 为)(t i 的拉氏换式，则微分方程(2)的拉氏换式是：

[]p

E

p RI Ri p PI L =

+-)()0()(……..(3) (3)式化简并将初始条件0)0(=i 代入得：)

()(R Lp p E

p I +=

(4)

剩下的问题是从)(p I 求)(t i ，这称为拉氏换式的反演，用部分分式方法将（4）式改写为：

)11()(L

R p p R E p I +-=

∵p

1

的原函数为1、L

R p +

1的原函数为t L

R e

-

∴)1()(t L R

e R

e

t i --= 这就是问题的解。

原函数积分的换式：设⎰=t

dt t f t g 0

)()(，令)(p F 为)(t f 的换式，)(p G 为)(t g 的

换式。因)()('t f t g =，则有：)()0()(p F g p pG =-。但0)0(=g ，故p

p F p G )

()(=。 得变换公式：{}p

p F dt t f L t

)

()(0⎰=

。 即对原函数求积分的运算，经拉氏变换后也变为对相应像函数的代数运算——以p 除像函数（正好是乘法的逆运算）。

例：求下图L-C 串联电路当电容器C 放电时的电流，电容器上的初始电荷为0q ±。

这个电路的方程是：C

q

dt di L

= 其中q 是在t 时刻C 上的电荷：⎰+-=t

q dt t i q 0

0)(

因此电流)(t i 所满足的方程是：⎰=+t

C

q idt C dt di L 001

应用拉氏变换得：[]Cp

q Cp p I i p pI L 0

)()0()(=+- 因0)0(=i ，故得：LC

p LC q p I 11

)(20+=

其原函数为：t LC

LC

q t i 1

sin

)(0-=，这就是问题的解。